Union (mengdelære)

En union eller en foreningsmengde av to mengder A og B er i mengdelære mengden av alle elementer som ligger i minst en av A og B. Unionen skrives som A ∪ B. 

Egenskaper til operasjoner på mengder, inkludert union, studeres i mengdealgebra.  

 Formell definisjon 

Unionen av to mengder  og  er definert ved 

.

I et Venn-diagram er unionene lik summen av arealet til hver av de to mengdene.  

Symbolet  for union ble introdusert av Giuseppe Peano i 1888, da han var redd for at tidligere bruk av plusstegn kunne skape forvirring.*

Definisjonen kan generaliseres til et vilkårlig antall mengder:

Her er  en indeksmengde. Uttrykket endelig union brukes når indeksmengden er en endelig mengde, og dette betyr ikke at unionen er en endelig mengde.

Eksempler
 {a, b, c, d} ∪ {c, d, e} = {a, b, c, d, e}
 {x | x er et partall} ∪ {x | x er et oddetall} = {x | x er et heltall}
 {x | x er et menneske} ∪ {x | x er norsk statsborger} = {x | x er et menneske}

En mengde kan generelt ikke ha dupliserte element, og som vist i det første eksempelet, listes felles element c og d bare en gang i unionen.  
I det siste eksempelet er alle elementene i den andre mengden inneholdt i den første.

 Algebraiske egenskaper 

La ,  og  være vilkårlige mengder. Da gjelder en rekke algebraiske egenskaper for union-operasjoner.

Unionen mellom mengder er en assosiativ operasjon, det vil si at parenteser kan plasseres fritt:

En union er også kommutativ:

.

Unionen er idempotent, slik at

.

En union med den tomme mengden har ingen effekt:

.
De to operasjonene snitt og union oppfyller distributive lover:

Dersom og  er delmengder i en grunnmengde , så kan en definere komplementet  som alle elementer i 
som ikke er med i . Da gjelder

Her er  snittet mellom de to mengdene.  Beviset for disse to satsene bygger på De Morgans lover.

 Referanser 

Kategori:Mengdelære
Kategori:Binære operasjoner