Den tomme mengden

Den tomme mengden, også kalt nullmengden, er i mengdelære en mengde som ikke inneholder elementer. Et vanlig symbol for denne mengden er Ø.

 Introduksjon 
Verken i naiv mengdelære eller aksiomatisk mengdelære blir utsagnet «x er et element i mengden M» definert. Utsagnet blir enten tatt som intuitivt eller som en grunnleggende udefinert formel.P. R. Halmos: Naive set theory s.8 P. Suppes: Axiomatic set theory s.15 
Eksistensen av en tom mengde, en mengde uten innhold av elementer, blir håndtert tilsvarende. Noen fremstillinger introduserer eksistensen som et aksiom.

Eksistensialitetsaksiomet for mengder sier at to mengder er like dersom de inneholder de samme elementene – det finnes med andre ord kun én mengde som ikke inneholder elementer. Denne kalles derfor den tomme mengden, snarere enn en tom mengde.
Også navnet nullmengden er i vanlig bruk. 
Begrepet «nullmengde» brukes imidlertid også om andre mengder, for eksempel mengden av argument som gjør en funksjon lik null. 

Den tomme mengde skrives {}, 0 eller mest vanlig som Ø  (). Det siste symbolet ble innført av Andre Weil i Bourbaki-gruppen, brukt i en artikkel i 1939.  Valg av symbolet var inspirert av bokstaven Ø.

Alle andre mengder enn den tomme mengden er ikketomme.

Egenskaper

For en vilkårlig mengde  gjelder følgende:P. Suppes: Axiomatic set theory s.24ff 

Den tomme mengden er en delmengde av :

.

Unionen mellom  og den tomme mengden er :

.

Snittet mellom  og den tomme mengden er den tomme mengden:
.

Den tomme mengden er et element i potensmengden til :

.

For mengdedifferansen gjelder

Det kartesiske produktet av  og den tomme mengden er tomt:
. 

Den tomme mengden har følgende egenskaper:

Dens eneste delmengde er den tomme mengden selv:
.

Potensmengden til den tomme mengden er en mengde som kun inneholder den tomme mengden:P. Suppes: Axiomatic set theory s.47 

Den tomme mengden har kardinaltall definert lik  null:P. Suppes: Axiomatic set theory s.114 

.

I et topologisk rom er den tomme mengden samtidig både en åpen mengde og en lukket mengde.

 References 

 Litteratur 

Kategori:Mengdelære