Golomblinjal

Innen matematikken er en Golomblinjal ett sett merker på heltallsposisjoner langs en imaginær linjal, som er plassert slik at alle par av merker står med forskjellig avstand. Antallet markører på linjalen er dens orden, og den lengste distansen mellom to av markørene er dens lengde. Translasjon og refleksjon av en Golomblinjal anses som likegyldig, slik at den minste markøren starter som regel på 0, og den neste markøren settes som regel på den laveste av sine mulige verdier.

Golomblinjalen har fått sitt navn etter Solomon W. Golomb, men har blitt uavhengig oppdaget av Sidon og Babcock

Det er ikke påkrevet at en Golomblinjal skal kunne gi alle distansene opp til dens lengde, men om den gjør det, så kalles den perfekt. Det har blitt bevist at det ikke eksisterer perfekte Golomblinjaler for fem eller flere markører. En Golomblinjal er optimal om det ikke finnes kortere Golomblinjaler med samme orden (antall markører). Å lage Golomblinjaler er enkelt, men å finne den optimale Golomblinjalen for en gitt orden er beregningsmessig meget utfordrende. Distributed.net har gjennomført massivt distriuerte parallelle søk for optimale orden-24, orden-25, orden-26 og orden-27http://blogs.distributed.net/2014/02/25/16/09/mikereed/ Golomblinjaler, og har bekreftet de anslåtte optimale kandidatene
. Distributed.net har også planlagt å finne/bekrefte en optimal Golomblinjal for orden-28. Det var forventet at Golomblinjalene for orden-27 og orden-28 tok kortere tid å finne/bekrefte enn de foregående prosjektene, grunnet oppdagelsen av forbedrede algoritmer.

En praktisk tilnærming til bruk av Golomblinjaler er innen design og utforming av faseordnede radioantenner slik som radioteleskop.

For tiden så er kompleksiteten i å finne en optimal Golomblinjal for en vilkårlig orden-n ukjent, men er oppfattet å være et NP-vanskelig problem

Kjente optimale Golomblinjaler
Den følgende tabellen inneholder alle kjente, verifiserte, optimale Golomblinjaler, hvor de som har markører i reversert orden er utelatt.

 orden  lengde  markørerBevistBevis funnet av 1  0  01952http://mathpuzzle.com/MAA/30-Rulers%20and%20Arrays/mathgames_11_15_04.htmlWallace Babcock 2  1  0 11952Wallace Babcock 3  3  0 1 31952Wallace Babcock 4  6  0 1 4 61952Wallace Babcock 5  11  0 1 4 9 11  0 2 7 8 11ca. 1967John P. Robinson and Arthur J. Bernstein 6  17  0 1 4 10 12 17  0 1 4 10 15 17  0 1 8 11 13 17  0 1 8 12 14 17ca. 1967John P. Robinson and Arthur J. Bernstein 7  25  0 1 4 10 18 23 25  0 1 7 11 20 23 25  0 1 11 16 19 23 25  0 2 3 10 16 21 25  0 2 7 13 21 22 25ca. 1967John P. Robinson and Arthur J. Bernstein 8  34  0 1 4 9 15 22 32 341972William Mixon 9  44  0 1 5 12 25 27 35 41 441972William Mixon 10  55  0 1 6 10 23 26 34 41 53 551972William Mixon 11  72  0 1 4 13 28 33 47 54 64 70 72  0 1 9 19 24 31 52 56 58 69 721972William Mixon 12  85  0 2 6 24 29 40 43 55 68 75 76 851972John P. Robinson 13  106  0 2 5 25 37 43 59 70 85 89 98 99 106  1981John P. Robinson 14  127  0 4 6 20 35 52 59 77 78 86 89 99 122 1271985James B. Shearer 15  151  0 4 20 30 57 59 62 76 100 111 123 136 144 145 1511985James B. Shearer 16  177  0 1 4 11 26 32 56 68 76 115 117 134 150 163 168 1771986James B. Shearer 17  199  0 5 7 17 52 56 67 80 81 100 122 138 159 165 168 191 1991983W. Olin Sibert 18  216  0 2 10 22 53 56 82 83 89 98 130 148 153 167 188 192 205 2161993W. Olin Sibert 19  246  0 1 6 25 32 72 100 108 120 130 153 169 187 190 204 231 233 242 2461994Apostolos Dollas, William T. Rankin and David McCracken 20  283  0 1 8 11 68 77 94 116 121 156 158 179 194 208 212 228 240 253 259 2831997?Mark Garry, David Vanderschel et al. (web project) 21  333  0 2 24 56 77 82 83 95 129 144 179 186 195 255 265 285 293 296 310 329 3338. mai 1998Mark Garry, David Vanderschel et al. (web project) 22  356  0 1 9 14 43 70 106 122 124 128 159 179 204 223 253 263 270 291 330 341 353 3561999Mark Garry, David Vanderschel et al. (web project) 23  372  0 3 7 17 61 66 91 99 114 159 171 199 200 226 235 246 277 316 329 348 350 366 3721999Mark Garry, David Vanderschel et al. (web project) 24  425  0 9 33 37 38 97 122 129 140 142 152 191 205 208 252 278 286 326 332 353 368 384 403 42513. oktober 2004distributed.net 25  480  0 12 29 39 72 91 146 157 160 161 166 191 207 214 258 290 316 354 372 394 396 431 459 467 48025. oktober 2008distributed.net 26  492  0 1 33 83 104 110 124 163 185 200 203 249 251 258 314 318 343 356 386 430 440 456 464 475 487 49224. februar 2009distributed.net 27  553  0 3 15 41 66 95 97 106 142 152 220 221 225 242 295 330 338 354 382 388 402 415 486 504 523 546 55319. februar 2014distributed.net

 Den optimale linjalen ble oppdaget før denne datoen. Denne datoen representerer tidspunktet da linjalen ble funnet å være optimal (fordi alle andre varianter beviselig ikke var mindre).

 Referanser 
S. Sidon, "Ein Satz über trigonometrische Polynome und seine Anwendungen in der Theorie der Fourier-Reihen", Mathematische Annalen 106 (1932), pp. 536–539 og Babcock
Wallace C. Babcock. "Intermodulation Interference in Radio Systems/Frequency of Occurrence and Control by Channel Selection", Bell System Technical Journal 31 (1953), pp. 63–73.



http://n0cgi.distributed.net/cgi/planarc.cgi?user=bovine&plan=2008-10-26.09:52

Se også


Eksterne lenker
 James B. Shearer's Golomb ruler pages
 distributed.net: Project OGR
 In Search Of The Optimal 20, 21 & 22 Mark Golomb Rulers
 "Rulers, Arrays, and Gracefulness" by Ed Pegg Jr.
 Golomb rulers up to length of over 200 (via Internet Archive)


Kategori:Tallteori