Cauchy–Riemanns ligninger

I kompleks analyse i matematikk betegner Cauchy–Riemanns ligninger to partielle differensialligninger, som blant annet angir nødvendige betingelser for at en kompleks funksjon skal være deriverbar. Ligningene har navnet sitt fra de to matematikerne Augustin Louis Cauchy og Bernhard Riemann, men ble også studert tidligere. De forekommer for første gang i arbeidene til d’AlembertJ. d’Alembert (1752) Essai d’une nouvelle théroie de la résistance des fluides, Paris i 1752, og i 1777 fant Euler en sammenheng mellom dette systemet og analytiske funksjoner.L. Euler (1777) Nova Acta Acad. Sci. Petrop. 10: 3–19. I 1814 brukte Cauchy ligningene til å konstruere sin funksjonsteori,A. L. Cauchy (1814), Mémoire sur les intégrales définies, Œuvres compolètes Ser. 1, 1, Paris (publisert 1882), s. 319–506. mens Riemanns avhandlingB. Riemann (1851), «Grundlagen für eine allgemeine Theorie der Funktionen einer veränderlichen komplexen Grösse», i H. Weber, Riemanns gesammelte math. Werke, Dover, 1953, s. 3–48 om funksjonsteori ble publisert i 1851.

Cauchy–Riemann-ligningene for to reelle funksjoner u(x,y) og v(x,y) er de to ligningene

og
.

Som sagt angir ligningene en nødvendig betingelse for at en kompleks funksjon skal være deriverbar. La f(z) være en kompleks funksjon slik at . Da er f(z) deriverbar i  hvis og bare hvis de partielle deriverte til u og v eksisterer i (x0,y0) og Cauchy–Riemann-ligningene er tilfredsstilt i dette punktet.

 Referanser  

Kategori:Teorem i kompleks analyse
Kategori:Partielle differensialligninger