Asymptote

En asymptote til en funksjon er i analytisk geometri en rett linje som funksjonen nærmer seg når argumentet eller funksjonsverdien går mot pluss eller minus uendelig.
Noen forfattere krever at funksjonen ikke krysser asymptoten uendelig mange ganger, men dette er ikke et vanlig krav.
Alternativt kan en asymptote defineres som tangenten til grafen til funksjonen i uendelig.

Når  er en asymptote til funksjonen , så kan dette også uttrykkes som at  nærmer seg  asymptotisk, når  går mot en gitt grenseverdi.

En asymptote kan være vertikal, horisontal eller skrå.  Beskrivelse av eventuelle asymptoter er en viktig del av kartleging av egenskapene til en funksjon.  
En parabel har ingen asymptoter, eksponentialfunksjonen har én, hyperbelen har to og tangensfunksjonen har uendelig mange asymptoter.

En asymptote er vanligvis en rett linje, men begrepet kan generaliseres til å gjelde en vilkårlig kurve, en kurvelineær asymptote.

Navnet «asymptote» kommer fra latin asymptota (linea), «(en linje som) ikke møtes». 

 Formell definisjon 

En funksjon  har en asymptote  når  går mot uendelig dersom

Tilsvarende vil  være en asymptote for funksjonen når  går mot minus uendelig dersom

Uttrykket sier at avstanden mellom funksjonen og asymptoten stadig blir mindre når  vokser mot pluss eller minus uendelig. For  vil asymptoten være horisontal, for alle andre verdier
vil asymptoten være skrå.  

Funksjon har en loddrett asymptote  dersom funksjonen går mot pluss eller minus uendelig når  nærmer seg , enten ovenfra, nedenfra eller fra begge sider. 
Dette er oppfylt dersom minst ett av de følgende uttrykkene er sann:

 Eksempler 

 Eksponentialfunksjonen  

Eksponentialfunksjonen  har én asymptote:  Når  går mot minus uendelig vil funksjonen nærme seg den horisontale asymptoten .

 Hyperbelen 

En hyperbel har to asymptoter.  Eksempelvis vil hyperbelen  ha både - og -aksen som asymptoter.

 En oscillerende funksjon 
Funksjonen definert ved

oscillerer omkring -aksen og krysser aksen uendelig mange ganger.  Denne aksen er en asymptote, så lenge en ikke stiller krav til antall skjæringspunkt mellom funksjonsgrafen og asymptoten.

 Tangensfunksjonen 

Tangensfunksjonen  har uendelig mange vertikale asymptoter, definert for verdiene

 Metoder for å bestemme asymptoter 

 Generell metode for å finne en skrå asymptote 

For en gitt funksjon  kan en undersøke om funksjonen har en asymptote  ved først å undersøke grenseverdiene

Her må en undersøke både når  går mot minus og pluss uendelig, det vi si at  enten er lik  eller .
Dersom en grenseverdi er endelig, så har funksjonen en skrå asymptote.  Da kan den andre koeffisienten  bestemmes ved 

Som illustrasjon kan en undersøke funksjonen gitt ved

Her eksisterer grenseverdier for  både når  går mot minus og pluss uendelig:

For den andre koeffisienten finner en

Det vil si at den rette linja  er en skrå asymptote både når  går mot
minus og pluss uendelig. 

 Vertikale asymptoter 

En funksjon som kan skrives som et kvotientuttrykk

vil ha vertikale asymptoter i nullpunkter til funksjonen , dersom  er ulik null for disse verdiene. 
For en verdi av  der både  og  har et nullpunkt, kan en bruke l'Hôpitals regel for å finne grenseverdien for  når  nærmer seg 
dette nullpunktet.

 Rasjonale funksjoner 

En rasjonal funksjon er en funksjon på formen

der både  og  er polynomer.  Som beskrevet i forrige avsnitt vil funksjonen ha vertikale asymptoter i nullpunkt til funksjonen , 
dersom  er ulik null for disse verdiene. 

Dersom polynomene  og  er av samme grad, så vil funksjonen ha en horisontal asymptote , der  er lik forholdet mellom
koeffisientene til den høyeste potensen i teller og nevner.  Den følgende funksjonen vil for eksempel ha en horisontal asymptote lik :

En rasjonal funksjon der graden til  er lik graden til  pluss 1 kan ha en skrå asymptote.  Denne kan en finne ved å utføre polynomdivisjon. 
Som eksempel kan se på funksjonen

Når  går mot uendelig vil det siste leddet i det høyre uttrykket gå mot null.  Funksjonen har derfor asymptoten  når  går mot uendelig.  
Funksjonen har også en vertikal asymptote i .  

Dersom graden til  er større enn graden til  pluss 1, så vil funksjonen ikke ha rette linjer som asymptoter.  Den kan imidlertid ha en kurvelineær asymptote.  

 Kurvelineære asymptoter 
Vanligvis vil en asymptote være definert som en rett linje.  Det er imidlertid mulig å generalisere begrepet til å omfatte en vilkårlig plan kurve.  La A være en plan parametrisk kurve,
definert ved koordinatene .  Anta at avstanden mellom et punkt på kurven og origo går mot uendelig når parameteren  går mot en gitt grense  (som kan være uendelig).  
La B være en annen gitt kurve, og anta at den korteste avstanden mellom A og 'B går mot null når  går mot .  Kurven B sies da å være en kurvelineær asymptote til A,
i motsetning til en vanlig definert lineær asymptote. 

Som eksempel, så har funksjonen

en kurvelineær asymptote gitt ved

.

Denne omtales som en parabolsk asymptote, siden kurven B er en parabel.

 Etymologi 

Navnet «asymptote» kommer fra latin asymptota (linea), «(en linje som) ikke møtes». 
Adjektivet asymptotus (fem. asymptota) kommer igjen fra gammelgresk ἀσύμπτωτος asýmptōtos 
(«ikke-sammenfallende»), jfr. ἀ- («ikke-») + συν- («sammen», «med») + πτωτός perfektum partisipp m'' av «å falle»). 

Referanser

 s.390

 s.31



  s.30

Litteratur




Kategori:Matematisk analyse
Kategori:Analytisk geometri