Lie-gruppe

Lie-gruppe er innen matematikk en gruppe  som også er en mangfoldighet  der gruppeoperasjonen og dens invers er glatt. Uformelt kan man anse disse som ett geometrisk objekt med en Binær operasjon som Deriverbar uendelig mange ganger.

Navnet kommer fra den norske matematikeren Sophus Lie, som arbeidet med differensialligninger, og oppdaget at løsningene han fant hadde symmetrier. Hans arbeide med disse symmetriene la grunnen for den moderne geometrien, der liegrupper og deres operasjoner på topologiske rom spiller mange av hovedrollene.

Et eksempel er de reelle tallene  med gruppeoperasjon  og standardtopologien: Her er gruppeoperasjonen

kontinuerlig, og det samme gjelder inversfunksjonen

. 

Et annet eksempel vil være en sirkel  og rotasjon med en vinkel .

De fleste Lie-grupper forekommer som matrisegrupper og kan derfor anses som undergrupper av den generelle lineære gruppen

.

Lie fant at siden gruppen da har en Kalkulus, kan man forstå   sin infinitesimale struktur rundt identiteten ved dens Lie-algebra.

 Formell definisjon 
En liegruppe består av en trippel 

der  er en mengde,  er en binær operasjon på mengden og  er en topologi på mengden, slik at  er en gruppe,  er en deriverbar mangfoldighet, og avbildningene  og  gitt av , og , er glatte.

 Referanser 

Kategori:Symmetri
Kategori:Mangfoldigheter
Kategori:Lie-grupper