Euler-ligningene

Eulerligningene styrer bevegelsen til en kompressibel og ikke-viskøs væske i væskedynamikken. Ligningene er en enklere form av Navier-Stokes-ligningene med null viskositet og varmekonduksjon, men blir vanligvis skrevet slik som her, fordi de direkte representerer bevaring av masse, bevegelsesmengde og energi. Ligningene har fått navn etter Leonhard Euler. I denne artikkelen tenker vi oss at den klassiske mekanikken gjelder, se relativistiske Eulerligninger for en diskusjon av kompressible væsker når farten nærmer seg lysfarten.

På differensial form er ligningene: 

der  er den totale energien per volum ( er den indre energien per masse for væsken),  er trykket,  er væskens fart og  tettheten. Den andre ligningen inkluderer divergens av en binær tensor, og er kanskje klarere i indeksnotasjon:

Merk at ligningene over er uttrykt på bevaringsform, siden denne formen legger vekt på det fysiske opphavet deres (og er den enkleste formen for datasimuleringer av væskedynamikk). Bevegelsesmengdekomponenten i Eulerligningene blir vanligvis uttrykt som:

men denne formen skjuler den direkte sammenhengen mellom Eulerligningene og Newtons andre bevegelsesligning (særlig er det ikke intuitivt hvorfor denne ligningen er korrekt og  ikke er korrekt).

I bevaringsvektorform blir Eulerligningene

der

Denne formen viser at  er flukser.

Ligningen over representerer altså bevaring av masse, tre komponenter av bevegelsesmengde, og energi. Det er derimot fem ligninger og seks ukjente. For å få en lukket problemstilling må man bruke tilstandsligningen, og den mest vanlige formen av denne er den ideelle gassloven (f.eks. , der ρ er tettheten, γ er en adiabatisk indeks, og e den indre energien).

Det ekstra leddet som har med p kan tolkes som det mekaniske arbeidet som et væskeelement gjør på væskeelementene rundt. Disse leddene blir summert opp til null i en inkompressibel væske. 

Den mer kjente Bernoulliligningen kan utledes ved å integrere Eulerligningene langs en strømlinje, hvis man setter tettheten til å være konstant.

Kategori:Partielle differensialligninger
Kategori:Fluiddynamikk