Greens teorem

Greens teorem uttrykker en sammenheng mellom et integral i planet langs en lukket kurve og et integral over flaten som kurven omslutter. For to vilkårlige, men glatte funksjoner  og  kan det skrives som 



hvor C = ∂D er randen eller omkretsen til flaten D. Det er en enkel utgave av det mer generelle Stokes' teorem for det spesielle tilfelle at den lukkete kurven ligger i et plan. M.L. Boas, Mathematical Methods in the Physical Sciences, John Wiley & Sons, New York (1983). ISBN 0-471-04409-1.

Teoremet har sitt navn fra den engelske matematiker George Green som levde på begynnelsen av 1800-tallet. Han skrev et stort arbeid som ble publisert i 1828 med mange viktige resultat innen vektoranalysen, men ikke noe om dette spesielle teoremet. Derimot gjorde han bruk av divergensteoremet som derfor ofte bærer hans navn i tillegg til Gauss' navn. Greens teorem kan betraktes som divergensteoremet i et plan.
Flere år senere benyttet Cauchy teoremet i forbindelse med komplekse integrasjoner i planet. Først i 1851 ga Riemann et bevis for det. V.J. Katz, The History of Stokes' Theorem, Mathematics Magazine, 52 (3), 146-156 (1979). 

Todimensjonalt divergensteorem

Betrakter man et vektorfelt F = (Q, -P ) i et todimensjonalt plan der Q = Q(x,y) og P = P(x,y), sier divergensteoremet at



hvor  n er en normalvektor til kurven C = ∂D  som er randen eller omkretsen til flaten D. For et differensielt linjeelement  vil da  da disse to vektorene står vinkelrett på hverandre. Dermed blir



som er Greens teorem.

Et lengre bevis
Først beviser vi teoremet for et rektangel R. Da vil teoremet se slik ut:

Ved lineariteten til Riemann-Integralet skriver vi dobbeltintegralet over R om til følgende:

Siden R er et rektangel lar vi , betrakt først integralet:

Ved Fundamentalteoremet i Kalkulus ser vi at

Og for   får vi at 

Disse resultatene gir oss et nytt uttrykk for høyre side av det opprinnelige uttrykket vårt

For linjeintegralet deler vi opp rektangelet i fire linjer som åpenbart har positiv orientering.

Vi kan parametrisere den første kurven med 

 hvor 

den andre kurven med

 hvor 

den tredje kurven med

 hvor 

og til slutt:

 med 

Med disse parametriseringene kan vi uttrykke linjeintegralet slik:

Vi betrakter først

Vi ser umiddelbart at integralene over  og  vil bli null, det er siden den eneste variabelen som endrer seg medfører endringer på y-koordinatene og ikke x-koordinatene i det hele tatt.

Ved definisjonen til linjeintegralet får vi at 

Ser vi på   observerer vi at integralene over  og  blir null. Vi får derfor at

Vi får derfor at vårt opprinnelige linjeintegral er lik:   , Plugger vi dette uttrykket inn i samme ligning som uttrykket vårt for dobbeltintegralet får vi:

  Som er ekvivalent til at , altså uttrykkene er like.

Siden alle regioner i  kan bli tilnærmet så nærme som vi vil med en sum av rektangler må Greens teorem også holde for mer generelle områder. Dette er fordi for to rektangler  og 

som tangerer hverandre med  så vil , dermed kan vi si at beviset er fullført. 

Eksterne lenker

 E.W. Weisstein, Green's Theorem, Wolfram MathWorld.
 HaraldHVL,  «Greens teorem - Eksempler», Youtube video
 Harald Hanche-Olsen, Intro til Greens teorem, forelesning ved NTNU

Referanser

Kategori:Teorem i differensialregning