Setningen om uendelig mange aper

Setningen om uendelig mange aper (engelsk: infinite monkey theorem) er et sannsynlighetsteoretisk teorem som sier at en «ape» som trykker helt tilfeldig og uavhengig på tastene på en skrivemaskin i uendelig lang tid, vil nesten sikkert (det vil si: med sannsynlighet 1) frembringe enhver gitt, endelig tekst – for eksempel en vilkårlig setning, eller et helt skuespill av William Shakespeare.

Teoremet brukes ofte som et pedagogisk eksempel på forskjellen mellom et grenseutsagn (uendelig tid og uendelig mange forsøk) og praktiske, fysiske begrensninger (endelig tid og endelige ressurser). At sannsynligheten er 1 i grensen, betyr ikke at det er «praktisk sannsynlig» innenfor noen realistisk tidsramme.

 Forklaring 
I denne sammenhengen er «nesten sikkert» et teknisk uttrykk: hendelsen har sannsynlighet 1, selv om den i et hvilket som helst endelig tidsrom kan være ekstremt usannsynlig. «Apen» er heller ikke ment bokstavelig, men som en metafor for en abstrakt prosess som genererer en uendelig tegnfølge ved uavhengige, tilfeldige valg.

 Bevisidé (skisse) 
Anta en skrivemaskin med et endelig antall taster, og la hvert tasteslag være uavhengig og like sannsynlig. Da har enhver bestemt tekststreng av lengde  en positiv sannsynlighet  for å forekomme i en forhåndsvalgt blokk på  tegn.

Sannsynligheten for at strengen ikke forekommer i én slik blokk er . For  uavhengige blokker er sannsynligheten for ingen treff

som går mot 0 når . Dermed går sannsynligheten for minst ett treff mot 1.

 «Nesten sikkert» og praktisk sannsynlighet 
For lange tekster blir  så liten at «forventet ventetid» blir astronomisk. Teoremet er derfor ikke en påstand om hva som er realistisk mulig, men om hva som følger logisk av uendelig mange uavhengige, tilfeldige forsøk.

 Historie 
Metaforen ble brukt tidlig på 1900-tallet av den franske matematikeren Émile Borel i sannsynlighets- og fysikksammenheng.
Fysikeren Arthur Eddington bidro senere til å popularisere bildet i en kjent framstilling fra 1928.
Jorge Luis Borges drøfter idéhistorien i essayet «The Total Library» (1939).

 Faktiske aper 
Forsøket er et tankeeksperiment. Reelle aper oppfører seg ikke som uavhengige, jevnt tilfeldige generatorer, og «ape ved tastatur»-prosjekter har mest illustrert nettopp dette.

 Se også 
 Sannsynlighet
 Borel–Cantelli-lemmaet
 Uendelighet
 Babels bibliotek

 Referanser 

Kategori:Matematiske problemer
Kategori:Tankeeksperiment