Delmengde

En delmengde av en mengde  er i mengdelære en mengde  som er inneholdt fullt og helt i mengden  Alle elementene i  er altså også elementer i . Dette skrives  og .

Enhver mengde er en delmengde av seg selv.  er en ekte delmengde dersom  inneholder elementer som ikke er i .

Når  er en delmengde i , så er  en overmengde.  Mengden av alle mulige delmengder til en mengde  kalles potensmengden til .

 Formell definisjon 
 er en delmengde til  hvis og bare hvisP. Suppes: Axiomatic set theory s.22-23 

.

Siden alle elementer i  er inneholdt i , så er  en delmengde av seg selv.   er en ekte delmengde til  hvis og bare hvis

.

 Notasjon 

Inklusjonsoperatoren er en binær relasjon som brukes for å vise en delmengde:

.

I noen framstillinger brukes denne notasjonen både ved mengdelikhet  og for ekte delmengder.P.R. Halmos: Naive set theory s.3  En ekte delmengde kan da vises med følgende notasjon, om enn lite brukt:

I andre framstillinger er notasjonen  reservert for ekte delmengder, og det generelle tilfellet skrives slik:

.

Denne siste skrivemåten er brukt i de videre eksemplene.   

For å vise at en mengde  ikke er en delmengde av , kan en skrive

,

med eller uten likhetstegnet inkludert. 

 Eksempler 

Mengden  er en ekte delmengde av .

Mengden av naturlige tall er en ekte delmengde av de rasjonale tallene, som igjen er en ekte delmengde av de reelle tallene.

Mengden av menn født i Oslo er en delmengde av mengden av alle som er født i Oslo.  

 Egenskaper 

For en vilkårlig mengde  gjelder grunnleggende egenskaper:

.

Her er  den tomme mengden.  Siden en mengde er en delmengde av seg selv, så er inklusjonoperatoren  en refleksiv binær relasjon.  Dersom  er en delmengde til , så gjelder

. 

Inklusjonsoperatoren  er antisymmetrisk, en egenskap som ofte brukes for å vise at to mengder er like: 

.

Operatoren er også transitiv:

.

 Relaterte mengder 

Når  er en delmengde i , så er  en overmengde, men dette siste begrepet brukes ikke så ofte som delmengde. Notasjon for en overmengde er tilsvarende som for en delmengde:

. 

Mengden av alle mulige delmengder i en mengde  kalles potensmengden.  Hvis , så er potensmengden gitt ved 

.

En partisjon er en inndeling av en mengde i disjunkte delmengder.

 Litteratur 

 Referanser 

Kategori:Mengdelære

ro:Mulțime#Submulțimi