Hamilton-mekanikk

Hamilton-mekanikk er en formulering av lovene som styrer klassisk mekanikk. Den er komplementær til den alternative formuleringen som kalles for Lagrange-mekanikk. Den ble utviklet rundt 1834 av den irske matematiske fysiker William Rowan Hamilton. Begge er i utgangspunktet basert på Hamiltons fundamentale virkningsprinsipp hvor Lagrange-funksjonen for systemet inngår.  Det er nesten ironisk at det var Hamilton som nesten 70 år etter Lagrange viste hvor viktig denne funksjonen er. I Hamilton-mekanikken inngår en partikkels posisjon og impuls på en likeverdig måte. Dermed  kommer en dyp, matematisk struktur klart frem, noe som i Lagrange-formuleringen forblir skjult.

Selv om disse to beskrivelsene opprinnelig var ment å benyttes kun for diskrete partikler, har det senere vist seg at de er begge velegnet til å anvendes også på kontinuerlige system som bølger og elektromagnetiske felt. Bruk av Hamiltons mekanikk er sentral i moderne kvantemekanikk hvor Hamilton-funksjonen styrer den dynamiske utviklingen. Derimot for relativistiske systemer beskrevet ved kvantefeltteorier, er det Lagrange-funksjonen som er mest egnet. Dette er forbundet med kravet om alltid å være i overensstemmelse med Einsteins spesielle relativitetsteori.

Hamiltons prinsipp

Hamilton viste at de mekaniske lovene kunne utledes fra et nytt virkningsprinsipp. For et system av partikler beskrevet ved de N generaliserte koordinatene   som  varierer med tiden t,  er dette basert på  Lagrange-funksjonen



for systemet. Koordinaten q angir en gitt posisjon av systemet i et N-dimensjonalt konfigurasjonsrom. Her er den tidsderiverte  = dqn /dt den n-te komponent av hastigheten til en partikkel. Lagrange-funksjonen kan vanligvis finnes ut fra kunnskap om systemets kinetiske og potensielle energier. For en bevegelse som starter i en gitt posisjon ved tiden t = 0 og fortsetter frem til en annen, gitt posisjon ved et senere tidspunkt t, definerte Hamilton integralet



som systemets prinsipale funksjon. I dag kaller man det i stedet for Hamiltons virkning. Han viste at et vilkårlig system vil alltid bevege seg slik at denne virkningen antar en ekstremal verdi som ofte er et minimum. Dette er Hamiltons virkningsprinsipp.

Bevegelsesligningene kan nå utledes ved vanlig variasjonsregning. Under en liten variasjonen q(t) → q(t) + δq(t) av banen vil da virkningen forandres med



etter å ha foretatt en partiell integrasjon. Her er ⋅ - symbolet innført som en mer kompakt notasjon for Einsteins summekonvensjon å summere over komponenter med samme indeks. Siden endepunktene til alle varierte baner er fikserte, vil her δq = 0 slik at randleddet  er null. I det gjenstående integralet er derimot variasjonen δq ikke null og derfor må inneholdet av parentesen i integranden være null. Det gir



som er en Euler-Lagrange-ligning for hver variable. Tilsammen utgjør de N andreordens differensialligninger som representerer en generalisering av Newtons tredje lov.

Hamiltons ligninger

For hver posisjonsvariabel qn kan man definere en konjugert impuls



som vanligvis kalles for en komponent av den kanoniske impulsen.  Deres variasjon med tiden  er gitt av Euler-Lagrange-ligningen som nå kan skrives på formen



Fra ligningen som definerer den kanoniske impulsen, kan man nå uttrykke hastighetskomponentene   som en funksjon av qn og pn. Disse to set med variable kan så benyttes som nye variable i problemet. Dette er essensen av Hamiltons nye formulering av de mekaniske lovene.

Dette kan mer systematisk gjennomføres ved å betrakte differensialet



hvor  og  betraktes som to uavhengige variable. Ved å innføre den kanoniske
impulsen, kan dette nå skrives om på formen



På høyre side opptrer ikke lenger differensialet av hastigheten , men i stedet differensialet 
dp . Det betyr at hva som står på venstre side, er en funksjon av koordinatene q, impulsene p samt tiden t. Dette er Hamilton-funksjonen for systemet definert som



Den eksplisitte formen finnes ved å bruke uttrykket for den kanoniske impulsen til å finne  som en funksjon av q og p og så sette dette inn på høyre side i denne definisjonen. Dette skiftet av uavhengige variable, kalles en Legendre-transformasjon som også blir utstrakt brukt innen termodynamikken.

Ved å sammenligne det generelle differensialet



med hva som ble utledet tidligere fra Lagrange-funksjonen, finner man sammenhengene



som er  Hamiltons ligninger. Det er 2N slike differensialligninger, alle av første orden, for de uavhengige variable q og p.  For å komme frem til den siste Hamilton-ligningen, er den ovenstående Euler-Lagrange-ligningen benyttet. Til hvert tidspunkt angir verdiene for q og p systemets tilstand som et punkt i et 2N-dimensjonal faserom.

I tillegg følger fra den samme utledningen at



En eksplisitt avhengighet av tiden i Hamilton-funksjonen forekommer derfor kun når en slik forefinnes i Lagrange-funksjonen.

Poisson-klammer

I noen praktiske sammenhenger kan man være interessert i å beregne forandringen med tiden av en funksjon A = A(q,p,t) av de dynamiske variable.  Denne er gitt ved den totale deriverte



Setter man her inn for  og  fra Hamiltons ligninger, kan man skrive resultatet som



etter å ha innført Poisson-klammen [A,H] mellom den variable A og Hamilton-funksjonen H definert som



På samme måte defineres Poisson-klammen mellom to vilkårlige variable A = A(q,p,t) og B = B(q,p,t). Den er antisymmetrisk i den forstand at [A,B] = - [B,A] slik at også [A,A] = 0.

Herav følger et viktig resultat. Ser man nå på den totale forandring av selve Hamilton-funksjonen, blir da ganske enkelt



da [H,H] = 0 og hvor ∂ H/∂ t = - ∂ L/∂ t. Det betyr at når det ikke er noen eksplisitt tidshavhengighet i systemet, er Hamilton-funksjonen konstant. Den er en bevart størrelse som er energien til systemet og betegnes vanligvis med bokstaven E.

Man kan merke seg noen spesielle Poisson-klammer. For eksempel er [qk,A] = ∂ A/∂ pk og [pk,A] = - ∂ A/∂ qk slik at begge Hamilton-ligningene kan skrives på samme form



Dette viser klart symmetrien mellom disse to variable i Hamiltons formulering.

Videre finner man lett at [qi ,qj ] = [pi ,pj ] = 0, mens [qi ,pj ] = δi j uttrykt ved Kroneckers deltasymbol δi j . For en partikkel med dreieimpulsen L = r × p har Poisson-klammene mellom komponentene likedan de symmetriske verdiene [Lx ,Ly ] = Lz  etc. I kvantemekanikken erstattes Poisson-klammene med kommutatorer mellom de tilsvarende kvanteoperatorene.

Harmonisk oscillator

Som et enkelt eksempel på bruk av Hamilton-formalismen, kan man betrakte en endimensjonal harmonisk oscillator med masse m og utslag q beskrevet ved Lagrange-funksjonen



hvor ω foreløbig er en konstant som bestemmer den potensielle energien. Den kanoniske impulsen er  slik at Hamilton-funksjonen



De to Hamilton-ligningene finnes herav å være dq/dt = p/m og dp/dt = - mω 2q . De er begge av første orden og kan løses hver for seg ved å benytte seg at energien E til oscillatoren her er konstant. I den første ligningen kan man derfor benytte at p = √(2mE - m2ω2q2). Det gir differensialligningen



Ved å innføre den nye variable x = √(m/2E) ωq kan denne lett løses ved direkte integrasjon. Resultatet blir



hvor φ0 er en integrasjonskonstant. Oscillatoren svinger derfor periodisk med vinkelfrekvens ω .

Løsningen for impulsen finnes nå fra  p = mdq/dt som gir



Det er lett å sjekke at innsetning av disse to løsningene i Hamilton-funksjonen gir den konstante verdien E. I faserommet beskriver bevegelsen en ellipse.

Den prinsipale funksjonen

Det tidsforløpet som systemet får fra løsningen av Euler-Lagrange-ligningene, kalles den klassiske bevegelsen. Fra definisjonen kan man direkte beregne den tilsvarende virkningen som derved blir en funksjon som avhenger av sluttpunktet (q,t) for bevegelsen samt koordinatene til begynnelsespunktet q0 . Denne klassiske virkningen S = S(q,t,q0 ) ble av Hamilton kalt for den prinsipale funksjonen. Fra definisjonen følger direkte at dS/dt = L slik at



Den deriverte ∂S /∂q kan finnes ved å betrakte to nærliggende, klassiske bevegelser som starter i samme punkt, men ender i to nærliggende punkt separert med δq ved et senere tidspunkt t. Disse to bevegelsene vil ha litt forskjellig, klassisk virkning δS som kan leses ut fra den opprinnelige variasjonsregningen som ga Euler-Lagrange-ligningen. Kun randleddet vil nå bidra slik at δS = p⋅δq som betyr at



Innsatt i uttrykket over, betyr det at



som følger fra definisjonen av Hamilton-funksjonen H = H(q,p,t). Uttrykker man i denne impulsen som den deriverte ∂S /∂q, fremkommer dermed differensialligningen



Løsningen av denne vil gi den prinsipale funksjonen og dermed all informasjon om bevegelsen. Hvordan dette er mulig, ble først avklart 1842 - 1843 av den tyske matematiker Carl Gustav Jacob Jacobi. Den kalles derfor for Hamilton-Jacobi-ligningen.

Hamiltons virkningsprinsipp i faserommet

Som samme måte som Euler-Lagrange-ligningene kan utledes fra Hamiltons virkningsprinsipp, kan dette også gjøres for Hamiltons ligninger. Brukes sammenhengen mellom Lagrange-funksjonen og Hamilton-funksjonen, kan Hamiltons virkning skrives som



I integranden inngår nå q og p som uavhengige variable. En infinitesemal variasjon av disse resulterer i en variasjon


av virkningen. I andre ledd kan man benytte at δdq = dδq som etter en partiell integrasjon gir



Her er randleddet null da δq = 0 i begge endepunktene av integrasjonen. Under integralene er δq og δp forskjellige fra null. For at variasjonen δS = 0 må derfor begge parentesene i integralene være null. Det gir nå de to Hamilton-ligningene.

Maupertuis' virkningsprinsipp

I en beskrivelse av et mekanisk system basert på Hamiltons virkningsprinsipp δS = 0 betrakter man varierte baner som går fra et gitt begynnelsespunkt ved en gitt tid og som alle ankommer samtidig i et bestemt sluttpunkt ved et senere tidspunkt. De varierte bevegelsene vil derfor i alminnelighet ha annen energi enn den klassiske bevegelsen.

Oppgir man kravet om at de varierte banene skal ankomme til samme tidspunkt, er det mulig å reformulere dette virkningsprinsippet slik at man bare betrakter varierte baner med samme energi E. Variasjonen av virkningen vil derfor da måtte tilfredsstille δS + Eδt = 0. Fra den generelle definisjonen av Hamiltons virkning har man i dette tilfellet at



Det betyr at det nye virkningsprinsippet kan skrives som δW = 0 hvor W = W(q,E,q0 ) er Maupertuis' virkning



Dette er Maupertuis' virkningsprinsipp som ble funnet allerede på midten av 17-hundreårstallet. Variasjonen δW utføres her mellom et gitt begynnelsespunkt og sluttpunkt for bevegelsen under den betingelse at alle varierte baner har samme energi.

Hamilton så at dette virkningsprinsippet spiller samme rollen i mekanikken som Fermats prinsipp gjør i optikken. Denne nye virkningen kalte han for den karakteristiske funksjonen som er analog til den optiske veilengden i geometrisk optikk. Den tyske matematiker Carl Gustav Jacob Jacobi bidro til å avklare de matematiske aspektene ved disse forskjellige formuleringene.

Sammenhengen S = W -  Et kan sees på som en Legendre-transformasjon hvor man erstatter den variable t i funksjonen S med den variable E i funksjonen W. Da blir δS = δW - Eδt - tδE . Men da δS + Eδt = 0 , må vi derfor ha  δW = Eδt . Det betyr at



som er hva man venter ved en slik transformasjon av variable. Dette resultatet kan brukes til å bestemme tidsforløpet av en bevegelse når Hamiltons karakteristiske funksjon W er kjent.

Kanoniske transformasjoner

I Lagrange-funksjonen er ikke valget av den N generaliserte koordinater q = (q1, q2, ... , qN) entydig. Et annet valg Q = Q(q,t) vil gi de samme Euler-Lagrange-ligningene. En slik forandring av koordinatene, kalles en punkttransformasjon. Hva man velger å bruke i praksis, bestemmes vanligvis av den matematiske forenkling i løsningen man kan oppnå i noen tilfeller.

Punkttransformasjonen Q = Q(q,t) lar også de resulterende Hamiltonske ligninger forbli uforandret. Men i denne formuleringen av mekanikken har man nå 2N uavhengige variable q og p. Man kan nå tenke seg mer generelle transformasjoner q → Q(q,p,t) og p → P(q,p,t) hvorved Hamilton-funksjonen forandres til H(q,p,t) → H'(Q,P,t). Disse kalles for kanoniske transformasjoner hvis de bevarer formen på Hamiltons ligninger, det vil si at de gir som resultat



De nødvendige egenskapene de må ha, følger fra den tidligere utledningen av ligningene fra virkningsprinsippet i faserommet. Det betyr at de må resultere fra en ekstremalisering av virkningen



For at dette skal være i overensstemmelse med den tidligere virkningen S uttrykt ved de variable q og p, må de to integrandene være identiske eller mer generelt adskille seg fra hverandre med et totalt differensial dF. Dette vil nemlig i variasjonsregningen gi opp til et randledd som er lik null i beregningen. Man må derfor ha at



Hvis man nå betrakter funksjonen F = F(q,Q,t), så vil man derfor måtte ha



sammen med H' = H + ∂ F/∂ t . Så hvis funksjonen F er kjent, har man dermed sammenhengen mellom de nye og de gamle koordinatene. Denne kanoniske transformasjonen oppstår fra funksjonen F = F(q,Q,t) som derfor vanligvis kalles for den genererende funksjon.

På samme måte kan man bruke genererende funksjoner gitt ved andre par av variable. For eksempel, vil man benytte q og P i stedet, kan man skrive om den ovenforstående betingelsen  til formen



Venstre side må nå være differensialet av en funksjon G =G(q,P,t). Dette følger utfra hva som opptrer på høyre side av differensialer. Igjen er dette et eksempel på en Legendre-transformasjon hvor man bytter ut den variable Q med P. Resultatet av denne kanoniske transformasjonen er nå



hvor den nye Hamilton-funksjonen fremdeles er gitt som H' = H + ∂ G/∂ t .

Hamilton-Jacobi-ligningen

Med en matematisk løsning av Hamiltons ligninger mener man vanligvis at man kan bestemme funksjonene qn = qn(q0 ,p0 ,t) og pn = pn(q0 ,p0 ,t) som beskriver den fulle bevegelsen av systemet med partikler ut fra gitte verdier q0 og p0 ved et tidligere tidspunkt t0 . Selv om dette kun er praktisk mulig i noen få, spesielle tilfeller, kan man nå ved hjelp av kanoniske transformasjoner i alle fall tenke seg til at man finner en genererende funksjon S(q,P,t) som er slik at den transformerte Hamilton-funksjonen H' = 0.  Fra Hamiltons ligninger følger da at de nye koordinatene Q og P alle er konstante. Dette er den mest enkle løsning man kan tenke seg.

Uttrykt ved den opprinnelig Hamilton-funksjonen H = H(q,p,t) hvor p = ∂ S/∂ q , tilsvarer  H' = 0 at



Denne differensialligningen kalles for Hamilton-Jacobi-ligningen. Løsningen gir denne meget spesielle, genererende funksjonen  S = S(q,P,t) som da i prinsippet gir den fullstendige løsningen av dette mekaniske problemet.

Det er ikke uten grunn at denne genererende funksjonen betegnes med symbolet S som tilsvarer hva som brukes for Hamiltons prinsipale funksjon. Regner man uten den totalderiverte av den med hensyn på tiden, finner man

som er akkurat definisjonen av denne funksjonen som også kalles for Hamiltons virkning.

Sammenhengen med det opprinnelige problemet uttrykt i koordinatene q og p følger nå fra transformasjonsligningene. Fra den første transformasjonsligningen pn = ∂ S/∂ qn kan man ved begynnelsestidspunktet t0  bestemme de ukjente Pn fra begynnelsesverdiene q0 og p0 . Og når dette er gjort, kan man bruke den andre transformasjonsligningen Qn = ∂ S/∂ Pn ved tidspunktet t0  til å bestemme Qn på samme måte. Ved et senere tidspunkt kan man så bruke denne ligningen til å finne qn = qn(Q,P,t) som er løsningen man er på jakt etter. Hvordan alt dette kan matematisk foregå, ble først grundig analysert av den tyske matematiker Carl Gustav Jacobi noen få år etter at Hamilton hadde utviklet denne formuleringen.

For systemer med konstant energi E kan Hamilton-Jacobi-ligningen omformes ved å benytte at S = W - Et hvor W er den karakteristiske funksjonen. Da tar ligningen formen



Den spilte en viktig rolle de første årene i utviklingen av kvantemekanikken og spesielt i Bohr-Sommerfeld-kvantisering av elektronbevegelsen i de enkleste atomene. For hydrogenatomet kan den løses eksakt.

Eksempel

For enkelt å illustrere bruk av Hamilton-Jacobi-ligningen, kan man igjen benytte den 1-dimensjonale harmoniske oscillatoren. Med konstant energi blir da ligningen



Løsningen av denne er gitt ved integralet



som ganske lett kan finnes ved elementære funksjoner. Men hvis man kun er interessert i finne et uttrykk for selve bevegelsen som funksjon av tiden, kan man her benytte direkte at t = ∂ W/∂ E som gir



Dette er samme integralet som oppsto tidligere ved direkte bruk av Hamiltons ligninger. Det gir igjen



hvor φ0 er en integrasjonskonstant som kan bestemmes enklest fra oscillatorens posisjon q0 ved tidspunktet t0 = 0 .

Klassisk mekanikk som geometrisk optikk

En ikke-relativistisk partikkel med masse m  er beskrevet ved  Hamilton-funksjonen  H = p2/2m  + V(x)   når den
har potensiell energi V(x) . Denne er uavhengig av tiden, og partikkelen har derfor en gitt energi E .

For å finne bevegelsen til partikkelen har man nå flere fremgangsmåter å benytte. Man kunne forsøke å løse den tilsvarende Euler-Lagrange-ligningen eller de tilsvarende Hamilton-ligningene. Ekvivalent kan man benytte Maupertuis' virkningsprinsipp eller Hamilton-Jacobi-ligningen. Det er her interessant å sammenligne fremstillingen som følger fra disse to metodene.

Stråler med partikler

Maupertuis' virkning er gitt ved integralet



Da impulsen p = md r/dt og differensialet dr  er parallelle vektorer, er derfor W = ∫ pds hvor størrelsen av impulsen er gitt ved p2 = 2m(E - V) og linjeelementet ds = |dr |. Dermed kan virkningen finnes fra integralet



Den klassiske banen finnes så ved variasjonsregning basert på kravet at δW = 0 ved å sammenligne alle baner med samme energi E. Er banen kort nok, er løsningen den banen som har den minste virkningen.

Matematisk er denne beregningen lik med å finne banen til en lysstråle med utgangspunkt i Fermats prinsipp som gjelder i geometrisk optikk. Dette sier at lyset velger den banen som har kortest mulig optisk veilengde



Her er n = n(x) brytningsindeksen til mediet lyser beveger seg gjennom. Er lyshastigheten i vakuum c0 , er den c = c0 /n i mediet. Man kan derfor løse det mekaniske problemet ved å finne banen for lys i et medium med brytningsindeks



Når man snakker om en lysstråle i geometrisk optikk,  spiller det i den forbindelsen ingen rolle om den virkelig består av lyspartikler eller lysbølger. Men fra eikonalapproksimasjonen vet man at bølgebeskrivelsen gir effektivt lysstråler når lyset har en bølglelengde som er mye kortere enn alle andre karakteristiske lengder i systemet. Da oppfører lyset seg som klassiske partikler.

Fronter av bølger
I stedet for å bruke Maupertuis' virkningsprinsipp for å finne bevegelsen til partiklene, kan man også bruke  Hamilton-Jacobi-ligningen. Den karakteristiske funksjonen W = W(x) vil da for den gitte Hamilton-funksjonen måtte oppfylle differensialligningen



Ut fra løsningen vil da ligningen W(x) = konst beskrive en flate i rommet. Da impulsvektoren til partikkelen er gitt som p = ∇W, vil den overalt stå normalt på slike flater. Dette minner igjen sterkt om geometrisk optikk beskrevet i eikonalapproksimasjonen hvor bølgevektoren k står vinkelrett på faseflatene.

Da flatene W(x) = konst ligger fast i rommet, vil derimot flatene for den prinsipale funksjonen S = W - Et = konst bevege seg. I figuren er vist to nærliggende flater W = a og W = b . Ved tiden t = 0 sammenfaller de med de tilsvarende flatene S = a og S = b . Men ved et litt senere tidspunkt dt har flaten  S = a  flyttet seg til flaten W = a + Edt. Likedan har flaten  S = b  flyttet seg til flaten W = b + Edt. Hastigheten som flatene beveger seg med, er u = ds/dt hvor ds er den lille distansen et punkt på flaten har beveget seg i denne korte tiden. I dette tidsrommet har S-flaten beveget seg mellom to W-flater med dW = Edt . Men samtidig er også 
dW = |∇W | ds da gradienten ∇W står normalt på flaten. Dermed forflytter S-flatene seg med en lokal hastighet



Aksepterer vi nå den optiske analogien, vil vi kunne kalle dette for en fasehastighet for flaten S = konst  som opptrer her som en bølgefront. Den er i alminnelighet forskjellig fra hastigheten v = p/m til partikkelen.
Eksempel

En ball som blir kastet med hastighet v i en retning θ med x-aksen, vil bevege seg i potensialet V = mgy når y-aksen er rettet oppover og g er tyngdeakselerasjonen. Hamilton-Jacobi-ligningen for bevegelsen er da



Her er E = mv 2/2 ballens konstante energi og ∂W/∂x = mv cosθ dens bevarte impuls langs x-aksen. Den fulle virkningsfunksjonen er dermed gitt ved integralet



Impulsen langs y-aksen er nå gitt som



og blir null i en høyde ymax =  (v sinθ)2/2g  der kvadratroten er null. I det punktet er ballens opprinnelige kinetiske energi i y-retningen gått over til ren potensiell energi.

Ved å utføre integralet finner man virkningsfunksjonen som



Når den gis en serie med konstante verdier, vil den beskrive en serie krumme kurver i xy-planet. Ballen vil så bevege seg langs en parabel som overalt vil skjære disse kurvene vinkelrett.

Materiebølger

På begynnelsen av 1920-tallet utforsket den franske fysiker Louis de Broglie muligheten for at partikler også kunne ha bølgeegenskaper på samme måte som lys. Det fikk han til å foreslå at en partikkel med energi E kan beskrives som en bølge med frekvens ν = E/h hvor h er Plancks konstant. Denne ide ble kort tid senere videreført av den østerrikske fysiker Erwin Schrödinger som så en sammenheng mellom disse materiebølgene og bølgefrontene som finnes i Hamilton-Jacobi-ligningen.

Bølgen med amplitude Ψ(x,t) for en partikkel med energi E vil da ha en bestemt vinkelfrekvens ω = 2πν slik at den har den harmoniske tidsavhengigheten



hvor i = √(-1) er den imaginær enhet. Hvis man antar at disse bølgene oppfyller den vanlige bølgeligningen



hvor nå u = E/p er fasehastigheten, vil funksjonen ψ(x) derfor måtte oppfylle den reduserte ligningen



hvor det er naturlig å ha innføre den reduserte Planck-konstanten   ħ = h/2π . Men nå er for denne partikkelen p2 = 2m(E - V) slik at ligningen kan skrives som



Dette er den stasjonære Schrödinger-ligningen som viser seg å være riktig for å beskrive partikler på atomært nivå der kvantemekanikken erstatter den makroskopiske beskrivelsen. Man ser altså at klassisk mekanikk tilsvarer geometrisk optikk hvor de underliggende bølgeegenskapene ikke lenger viser seg.

 Se også 
 Variasjonsregning
 Lagrange-mekanikk
 Virkningsprinsipp
 Hamiltons virkningsprinsipp
 Maupertuis' virkningsprinsipp

Litteratur

 A. Sommerfeld, Vorlesungen über Theoretische Physik, Band I: Mechanik, Akademische Verlagsgellschaft, Leipzig (1964).
 H. Goldstein, Classical Mechanics, Addison-Wesley Publishing Company, New York (1959).
 L. N. Hand and J. D. Finch, Analytical Mechanics,  Cambridge University Press, England (2008).

Kategori:Hamilton-mekanikk
Kategori:Dynamiske systemer