Parabel

En parabel er i matematikk en type kjeglesnitt, en plan kurve dannet som skjæringslinjen mellom et plan og en kjegleflate.  Andre typer
kjeglesnitt er ellipser og hyperbler.  

En parabel kan defineres geometrisk som en samling av punkt som ligger like langt fra et gitt punkt som fra en gitt rett linje.  Analytisk kan en 
parabel beskrives ved hjelp av en andregradsligning i to variable.  For at ligningen skal framstille en parabel må diskriminanten definert ved ligningskoeffisientene være lik null.  
I visse tilfeller kan parabelen degenerere til to rette linjer.

 Geometrisk definisjon 

En parabel kan defineres som det geometriske sted for et punkt som ligger like langt fra et gitt punkt som fra en gitt rett linje.  Punktet kalles for brennpunktet eller fokus,
og linjen kalles styrelinje eller direktrise.  Generelt er et kjeglesnitt det geometriske sted for et punkt der avstanden fra brennpunktet er proporsjonal med avstanden til styrelinjen,
og proprosjonaliteteskonstanten kalles eksentrisiteten.  En parabel er altså et kjeglesnitt med eksentrisitet lik 1.

Et plan som skjærer en rett kjegleflate med sirkulær basis vil framstille en parabel dersom toppvinkelen i kjeglen er lik vinkelen som planet danner med kjegleaksen.  Eksempelvis vil en kjegle som har 
toppvinkel lik nitti grader danne en parabel dersom planet står normalt på en generatrise i kjegleflaten.   

 Polarform 
Gitt en styrelinje og et brennpunkt F, og la avstanden mellom disse være .  
For et vilkårlig punkt på parabelen P er avstanden til styrelinjen alltid lik avstanden til brennpunktet:

Linjen normalt på styrelinjen gjennom brennpunktet kalles aksen til parabelen.  
I polarkoordinater  med polen definert i brennpunktet og akse langs parabelaksen kan dette skrives som

Toppunktet til parabelen er punktet der , det vil si i avstanden  fra brennpunktet.  Korden mellom to punkt på parabelen, gjennom brennpunktet,
kalles latus rectum, og lengden  av denne er

Halve korden kalles semi-latus rectum, med lengde .

 Standardform i kartesiske koordinater 

En standardform for parabelen, også kalt en kanoniske formen, er en ligning for de kartesiske koordinatene  som framkommer når -aksen defineres langs parabelaksen,
-aksen defineres parallelt med styrelinjen og origo velges i toppunktet for parabelen:

Ligningen har én parameter, her .  Alternativt skrives ligningen ved hjelp av semi-latus rectum  eller med avstanden  mellom brennpunktet og toppunktet.
Det er også mulig å legge parabelaksen langs -yaksen, slik at  og  bytter plass i ligningen.  

Standardformen kan utledes fra polarformen, ved å bruke sammenhengen mellom polarkoordinatene og de kartesiske koordinatene:



Standardformen med origo i toppunktet kan skrives som en parameterframstilling på formen

En alternativ kanonisk form framkommer ved å legge origo i brennpunktet:



 Generell kvadratisk form 

En generell kvadratisk form



vil framstillen en parabel dersom diskriminanten  er lik null:

Ligningen kan overføres til standardformen ved hjelp av en koordinattransformasjon, en translasjon og en rotasjon.  

 Degenererte parabler 

En parabel med diskriminant lik null vil degenerere dersom determinanten til matriseformen er lik null.  Matriseformen er

Determinanten  til matrisen  er gitt ved

Tabellen under gir en oversikt over degenererte parabler, forutsatt at .

  Kjeglesnitt   To parallelle reelle linjer   To parallelle sammenfallende linjer   To parallelle imaginære linjer   To parallelle reelle linjer   To parallelle sammenfallende linjer   To parallelle imaginære linjer

 Egenskaper 

For en parabel på standardformen med sentrum i toppunktet er ligningen for tangenten i punktet  gitt ved

 Generaliseringer 

Ved å rotere en parabel rundt aksen framkommer en omdreiningsflate kalt en paraboloide.  En slik flate brukes i mange innretninger der målet er å fokusere innkommende stråler, for eksempel en 
parabolantenne for radiokommunikasjon og en lyddusj for retningsstyrt lyd.

 Historie 

For en felles oversikt over historien til kjeglesnitt, se avsnittet om kjeglesnittenes historie.  

 Se også 

Ellipse
Hyperbel
Kjeglesnitt
Andregradsligning

 Referanser 

: J.D. Lawrence; A Catalog of Special Plane Curves s.61ff 
: G. Thomas, R. Finney; Calculus and Analytic Geometry s.432 
: G. Thomas, R. Finney; Calculus and Analytic Geometry s.430 

 Litteratur 





Kategori:Kurver
Kategori:Kjeglesnitt