Dirac-ligning

Dirac-ligningen er en kvantemekanisk bølgeligning for en relativistisk partikkel med spinn s = 1/2. Den ble utledet av den engelske fysiker Paul Dirac i 1928. Ligningen er av grunnleggende betydning i kvantemekanikken og gjelder for alle fermioner som elektroner og kvarker i standardmodellen for elementærpartiklene. 

Etter etableringen av den ikke-relativistiske Schrödinger-ligningen i 1926 ville Dirac finne en ny bølgeligning som både var i overenstemmelse med kvantemekanikkens prinsipper og Einsteins spesielle relativitetsteori. På den tiden var Klein-Gordon-ligningen kjent for relativistiske partikler, men denne ga ingen positiv sannsynlighetstetthet da den inneholdt andrederiverte med hensyn på tiden. Derfor ville Dirac finne en relativistisk ligning som kun inneholdt en slik førstederivert på samme måte som den vanlige Schrödinger-ligningen.

Den kompakte ligningen Dirac kom frem til, hadde flere egenskaper enn han hadde forventet. I tillegg til at den automatisk ga en forklaring på hvorfor elektronet har spinn-1/2, forenklet ligningen seg til Pauli-ligningen når det beveger seg ikke-relativistisk. Dermed forklarte den også hvorfor elektronet har et gyromagnetisk forhold som er g = 2. På samme måte ga den automatisk riktig spinn-banekobling for elektroner i atomer. En eksakt løsning av ligningen for hydrogenatomet som forklarte alle aspekt av dets finstruktur, ble funnet i 1928 av Walter Gordon. 

Selv om Dirac i begynnelsen ikke forsto betydningen av at ligningen også gir løsninger med negativ energi, innså han likevel etter hvert at disse tilsvarer antipartikler. På samme måte som  den relativistiske Klein-Gordon-ligningen beskriver partikler og deres antipartikler med spinn s = 0, er Dirac-ligningen også en bølgeligning for et tilsvarende Dirac-felt for elementære partikler med spinn s = 1/2. Sammen med Maxwell-feltet ble det snart forent i moderne kvanteelektrodynamikk. I ettertid er det blitt sagt at ligningen var mer intelligent enn Dirac selv. V. Weisskopf, The development of field theory in the last 50 years, Physics Today 34 (11), 69–85 (1981).

Fri partikkel

Den ikke-relativistiske Schrödinger-ligningen inneholder den tidsderiverte ∂/∂t til første orden og er direkte forbundet med energien til partikkelen. Ifølge den spesielle relativitetsteori er tiden bare én av fire retninger i tidrommet som kan transformeres over i hverandre. En relativistisk invariant bølgeligning må være uavhengig av slike transformasjoner. Dirac ville derfor komme frem til en kvantemekanisk bølgeligning som også er lineær i de romlige deriverte ∂/∂x, ∂/∂y  og ∂/∂z. På samme måte som for Schrödinger-ligningen, betyr det at den må inneholde impulsoperatoren  til første orden der ħ  er den reduserte Planck-konstanten. Denne argumentasjonen førte Dirac til ligningen



der c er lyshastigheten og  samt  er fire 4×4 hermitiske matriser. De må oppfylle kravene



der  er Kronecker-delta med verdiene 1 eller 0 avhengig av om indeksene er like eller forskjellige. I tillegg må  som også er verdien av kvadratene til de tre -matrisene. Bølgefunksjonen  er her en 4-komponent kolonnevektor da disse matrisene alle har dimensjon 4×4. Den kalles vanligvis for en «Dirac-spinor».P.A.M. Dirac, The Quantum Theory of the Electron, Proc. Roy. Soc. A117 (778), 610-624 (1928).

Utledning

Formen til Dirac-ligningen er bestemt av at den skal bekskrive en relativistisk partikkel. Har den en masse m, må dens energi E  og impuls p være forbundet med hverandre ved relasjonen



Den ønskede bølgeligningen tilsvarer nå å kunne uttrykke denne energien på den lineære formen



hvor  og  i utgangspunktet er ukjente størrelser. De kan ikke være reelle eller komplekse tall, men muligens matriser. For eksempel har Pauli-matrisene  
egenskapen at



Ved å ta kvadratroten av denne sammenhengen, har man dermed at . Da en partikkel med masse m = 0 har energi E = pc, kan dette benyttes til å gi en relativistisk bølgeligning som er lineær både i ∂/∂t  og ∇. Det er Weyl-ligningen for et masseløst fermion med spinn-1/2. M.E. Peskin and D.V. Schroeder, An Introduction to Quantum Field Theory, Addison-Wesley, Reading Massachusetts (1995). ISBN 0-201-50397-2.

For en massiv partikkel finner man på tilsvarende vis ved å betrakte  og  som ikke-kommuterende matriser, at



når man gjør bruk av Einsteins summekonvensjon og summerer over par med like indekser. Ved å benytte at  da pi og  pj  kommuterer med hverandre, gir dette betingelsene de fire Dirac-matrisene må oppfylle. De skrives vanligvis på formen



hvor I  i β-matrisen står for en 2×2 enhetsmatrise. Slike enhetsmatriser blir vanligvis ganske enkelt skrevet som 1 så lenge det ikke kan oppstå misforståelser.J.D. Bjorken and S.D. Drell, Relativistic Quantum Mechanics, McGraw-Hill Book Company, New York (1964).

Spinn-1/2

Dirac-ligningen kan skrives på samme form som den tidsavhengige Schrödinger-ligningen



hvor nå 



er Hamilton-operatoren for den relativistiske partikkelen. Posisjonen er gitt ved en vektoroperator  med komponenter som har en fundamental kommutator med komponentene til den konjugerte impulsoperatoren  Den har den kanoniske formen



Da Hamilton-operatoren er uavhengig av posisjonen x, er derfor impulsen til partikkelen konstant. Derimot sier  Heisenbergs bevegelsesligning at



ikke er null slik at partikkelens posisjon forandrer seg med tiden. Uavhengig av dens impuls har den en bevegelse gitt ved  Dette kan bare tolkes som at en Dirac-partikkel alltid har en hastighet som i størrelse er gitt ved lyshastigheten. Fenomenet kalles for «sitterbevegelse» og har vært mye diskutert. En Klein-Gordon-partikkel har en mer normal sammenheng mellom impuls og hastighet. H.A. Bethe, Intermediate Quantum Mechanics, W.A. Benjamin, New York (1964).

En fri Dirac-partikkel har heller ikke en konstant dreieimpuls  Skriver man dens komponenter ved hjelp av Levi-Civita-symbolet som  følger det på samme vis fra



som mer kompakt betyr at  Formen på dette resultatet tilsier å innføre de utvidete Pauli-matrisene



som har dimensjon 4×4. I dette Heisenberg-bildet vil de variere ifølge 



når man benytter kommutatoren  mellom de vanlige Pauli-matrisene. Det betyr at den tidsderiverte av operatoren   er null. Derfor er den totale dreieimpulsen



bevart for en fri Dirac-partikkel. Av denne grunn har den  spinn s = 1/2 hvor den indre dreieimpulsen (ħ/2)Σ har samme årsak som partikkelens  sitterbevegelse.

Adjungert ligning

Dirac-spinoren  er en kolonnevektor med fire komponenter som alle kan være komplekse. Den adjungerte spinoren blir dermed  radvektoren   Da Hamilton-operatoren skal være hermitisk, må også matrisene  og  være det. Den kompleks-transponerte av Dirac-ligningen blir dermed



om omtales vanligvis som den «hermetisk adjungerte» ligningen. 

Bevart strøm

Multipliseres denne med  fra høyre og trekkes så fra den opprinnelige Dirac-ligningen multiplisert med  fra venstre, fremkommer



Ved å definere den skalare størrelsen  og vektoren  kan denne sammenhengen skrives mer kompakt som en kontinuitetsligningen



Den viser at  kan betraktes som en positiv sannsynlighetstetthet for bølgefunksjonen  på samme måte som for Schrödinger-ligningen. Da er  den tilsvarende sannsynlighetsstrømmen som formelt inneholder hastigheten  til partikkelen.

Elektromagnetisk vekselvirkning

Når Dirac-partikkelen har en elektrisk ladning q, kan den koble til både et elektrisk potensial V  og et  magnetiske potensialet A. Dette må gjøres på en slik måte at vekselvirkningen blir invariant under gaugetransformasjoner. I praksis betyr det å gjøre bruk av de minimale substitusjonene



som også benyttes for en Klein-Gordon-partikkel. Det gir Hamilton-operatoren 



for en Dirac-partikkel  i et generelt, elektromagnetisk felt.

For en partikkel med med en viss energi E, kan Dirac-spinoren skrives som



hvor den tidsuavhengige delen er en løsning av egenverdiproblemet  Dette kan løses ved å foreta opp oppsplittingen



som gir de to koblede ligningene



som er generelt gyldige.

Ikke-relativistisk grense

Når partikkelen beveger seg mye langsommere enn lyshastigheten, er dens totale energi E = mc 2 + ENR   hvor ENR << mc 2 er den ikke-relativistiske delen. Den nedre komponenten  av Dirac-spinoren  er da mye mindre enn den øvre komponenten  og kan beregnes fra denne. I denne grensen har man da tilnærmet at



Ved kun å beholde det første leddet i denne ekspansjonen, har man dermed



Innsatt i den øvre ligningen, finner man da at den største delen av Dirac-spinoren  må tilfredsstille



Dette er den tidsuavhengige Pauli-ligningen for en spinn-1/2 partikkel. Den viser at Dirac-partikkelen har et gyromagnetisk forhold g = 2. Hvis man hadde tatt med neste ledd i denne ikke-relativistiske rekkeutviklingen, ville også spinn-banekoblingen fremkomme i den effektive Hamilton-operatoren.J.J. Sakurai, Advanced Quantum Mechanics, Addison-Wesley Publishing Company, Reading, Massachusetts (1967).

Kovariant formulering

Hvis man multipliserer Dirac-ligningen med  fra venstre, kan den omformes til



Den kan nå skrives på kovariant form i det firedimensjonale tidrommet. Benytter man den metriske tensor  med diagonale komponenter  og koordinater   blir da



når man gjør bruk av Einsteins summekonvensjon. Her er  den kovariante gradientoperatoren og  er modifiserte Dirac-matriser. De oppfyller nå



med hermitisk adjungerte  Fra de opprinnelige - og -matrisene er da



Ved å definere den Dirac-adjungerte spinoren som



kan sannsynlighetsstrømmen utvides til en firevektor  med en kovariant divergens 

Frie spinorer
Beskrivelsen av relativistiske partikler er litt enklere når man benytter måleenheter hvor lyshastigheten c = 1. En fri partikkel har da en 4-impuls  der dens energi  er gitt ved massebetinelsen 



og kan være både positiv og negativ. Dirac-spinoren for en fri partikkel med positiv energi har da form som en  plan bølge



der formen til impulsspinoren u (p) er bestemt av Dirac-ligningen. Den gir nå



når man benytter Feynmans slashnotasjon  som gir mer kompakte formler. R.P. Feynman, Quantum Electrodynamics, Frontiers in Physics, W.A. Benjamin Inc, New York (1961), online archive.org Ved å splitte spinoren opp i store og små komponenter, er nå disse bestemt ved matriseligningen



Da nå  kan de små komponentene finnes fra



Dermed tar den fulle impulsspinoren formen



hvor A  er en normeringskonstant og den nøyaktige formen til 2-komponentspinoren  er bestemt av spinnretningen til partikkelen.

Når både partikkelens energi  og  3-impuls er negative, er den tilsvarende løsningen



der B  igjen er en normeringskonstant. Denne impulsspinoren for negative energier betegnes vanligvis  og kan også finne fra matriseligningen 



der nå  Ved å la Dirac-spinoren  ikke lenger betegne en èn-partikkel bølgefunksjon, men et relativistisk kvantefelt, vil disse spinorløsningene med negativ energi beskrive antipartikler.

Normering

Bølgefunksjonen  for en fri Dirac-partikkel kan normeres på flere forskjellige vis. Mest hensiktsmessig er at dette blir gjort på den samme, kovariante måten som for relativistiske Klein-Gordon-partikler. Da definerer man et indreprodukt mellom to slike funksjoner basert på integralet over ladningstettheten  Det gir normeringen



som man da vil skal ha verdien



Det betyr at Dirac-spinorene må være normert slik at



En direkte utregning gir nå normeringskonstantene  når 2-komponentspinorene som angir spinnretningen, er normert som  De relativistiske spinorene tar dermed den endelige formen





hvor indeksen s = 1,2 avhengig av om partikkelen har spinn opp eller ned. Denne normeringen betyr også at indreproduktet 



er som forventet en Lorentz-skalar. I.J.R. Aitchison and A.J.G. Hey, Gauge Theories in Particle Physics, Institute of Physics Publishing, Bristol (1989). ISBN 0-85274-328-9.

For beregning av Feynman-diagram med Dirac-partikler opptrer også ofte produktene



Begge sidene av disse ligningene er nå 4×4 matriser.

Utvidete Dirac-matriser

Den fundamentale antikommutatoren 



mellom de elementære Dirac-matrisene betyr at deres kvadrat er enten +1 eller -1. I tillegg skifter produktet av to av dem fortegn ved at  faktorene ombyttes. Det betyr at man maksimalt kan multiplisere sammen fire forskjellige slike matriser. Dette spesielle produktet er



hvor i = √-1 er tatt med for å gjøre denne matrisen selvadjungert,  I tillegg er da  og  Med den representasjonen av gammamatrisene som tidligere er brukt, er



Her inngår matriseelementene 1 som i virkeligheten er 2×2 enhetsmatriser.

Matrisen  består av et produkt av fire elementære matriser og er et eksempel på en «utvidet Dirac-matrise». Alle har dimensjon 4×4 og det kan derfor maksimalt finnes 2⋅42 = 32 slike matriser da de kan inneholde komplekse element. Men den fundamentale antikommutatoren utgjør 42 = 16 reelle betingelser. Det finnes derfor i alt 32 - 16 = 16 utvidete Dirac-matriser.

Enhetsmatrisen og  utgjør sammen med de fire elementære Dirac-matrisene til sammen 2 + 4 = 6 matriser. Mens 
 består av et produkt med fire elementære matriser, kan man lage fire forskjellige produkt med tre  elementære matriser. Tilsammen kan disse fire matrisene grupperes som  

Produktet av to elementære matriser kan splittes opp som 



Her er det siste leddet proporsjonalt med en 4×4 enhetsmatrise, mens det første kan uttrykkes ved den antisymmetriske kombinasjonen



Det er i alt 4⋅3/2 = 6 slike matriser. Dermed har man funnet alle de 1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16 utvidete Dirac-matrisene.

Diracs partikkelsjø


En løsning av Dirac-ligningen med negativ energi er vanskelig å forstå. Da ville for eksempel en partikkel med positiv energi kunne gå over til en med negativ energi under utsendelse av et foton med. Desto mer negativ energien er, desto større energi ville fotonet få. Man kunne på dette vise skape en uendelig stor energikilde. Man kunne alternativt definere slike løsninger som ikke-fysiske og se bort fra dem. Da ville man unngå dette energiproblemet, men ville i stedet ha en ligning som ikke lenger var matematisk konsistent.

Ved å gjøre bruk av Paulis eksklusjonsprinsipp som gjelder for elektroner, foreslo Dirac i 1930 at vi befinner oss i en sjø av elektroner hvor alle kvantetilstander med negativ energi er besatt. Selv om den virker veldig lite intuitiv og ville fylle verden med negativ ladning, ville den løse energiproblemet ved at et elektron med positiv energi ikke lenger kan gå over til en tilstand med negativ energi da alle disse tilstandene er okkuperte.

Men med dette bildet av det kvantemekaniske vakuumet, kan nye prosesser opptre. Et foton med energi større enn 2mc 2 kan eksitere et elektron  i sjøen  med negativ energi til å bli et vanlig elektron med positiv energi. Dermed dannes det et hull i sjøen. Da fraværet av noe negativt er positivt, vil et slikt hull opptre som en ny type partikkel med positiv energi og positiv elektrisk ladning. Et slikt hull ville vekselvirke med andre elektroner i sjøen og dermed få en større masse enn det vanlige elektronet. Dirac mente at han dermed også hadde en teori som forklarte eksistensen av protonet.P.A.M. Dirac,  A Theory of Electrons and Protons,  Proc. Roy. Soc. A126  (801), 360–365 (1930). 

Allerede samme år påpekte Robert Oppenheimer at dette forslaget ikke kunne være riktig. Det ville bety at elektronet i et hydrogenatom kunne annihilere protonet ved at elektronet faller ned i den tilsvarende tilstanden med negativ energi ved utsendelse av to fotoner, e + p → γ + γ. Dette ville skje så raskt at atomet ville bli ustabilt. Dirac måtte akseptere at den eneste logiske konsekvens var at det måtte eksistere en annen partikkel med positiv ladning, men ellers med de samme egenskapene som elektronet. Dirac kalte den for et anti-elektron. Akkurat en slik partikkel ble oppdaget av Carl David Anderson i 1932. Han ga den navnet positron da den var et positivt elektron.A. Pais, Inward Bound, Oxford University Press, England (1986). ISBN 0-19-851971-0.

Moderne kvantefeltteori ble etablert omtrent på samme tid. Der finner løsninger med negativ energi en naturlig plass som antipartikler uten at det må begrunnes med en Dirac-sjø. Dette ble spesielt klart ved kvantisering av Klein-Gordon-feltet som beskriver spinn-0 partikler og ikke oppfyller noen form for eksklusjonsprinsipp. Likevel beskriver denne teorien også antipartikler. Wolfgang Pauli kunne derfor spøke med at dette var en «anti-Dirac teori».

Dirac-sjøen fikk en gjenoppstandelse i forbindelse med utviklingen av halvledere. De inneholder forskjellige ledningsbånd med tilllatte elektrontilstander. Her kan oppstå vakanser eller hull som opptrer som positive ladningsbærere.N.W. Ashcroft and N.D. Mermin, Solid State Physics, Holt, Reinhart and Winston, New York (1976). ISBN 978-0-030-83993-1.

Kvantefeltteori

Da Dirac-ligningen beskriver både partikler og deres antipartikler, kan den vanligvis ikke betraktes som en kvantemekanisk bølgeligning for en enkelt partikkel. Derimot må den betraktes som feltligningen for Dirac-feltet  som beskriver spinn-1/2 fermioner. Det tilsvarer at Klein-Gordon-ligningen for skalarfeltet   er feltligningen for spinn-0 bosoner.

På samme måte som feltteorien for ikke-relativistiske fermioner, må Lagrange-tettheten for et fritt Dirac-felt være



der  Her er spinoren  en kolonnematrise med fire komponenter  Tilsvarende er den adjungerte spinoren  en rekkematrise med fire komponenter   Da er for eksempel  der man bruker Einsteins summekonvensjon og summerer over de to like indeksene på høyre side.

Den resulterende Euler-Lagrange-ligningen for  gir nå Dirac-ligningen



Ved bruk av den kovariante formalismen for en slik relativistisk teori der gradienten er   tar ligningen den mer kompakte formen  På samme måte blir da Lagrange-tettheten 



som viser tydelig at den er en Lorentz-skalar.

Feltet har også en konjugert impuls som er



Den behøves for å beregne energien i feltet og kan finnes fra Hamilton-tettheten



Etter kvantisering av feltet vil den gi dets Hamilton-operator.

Kvantisering

Relativistiske fermioner må oppfylle Paulis eksklusjonsprinsipp. Det betyr at når Dirac-feltet kvantiseres og blir en feltoperator , må det gjøres ved bruk av antikommutatorer på samme måte som for ikke-relativistiske fermioner. Da må



som betyr at komponentene av feltoperatoren oppfyller den fundamentale antikommutatoren



Det kan gjøres ved å innføre kreasjon og annihilasjonsoperatorer for Dirac-partiklene og deres antipartikler på samme måte som for Klein-Gordon-feltet. Først blir derfor det klassiske feltet uttrykt ved løsninger av den frie Dirac-ligningen ved en firedimensjonal  Fourier-transformasjon,



hvor firevektoren  slik at  og deltafunksjonen opptrer fordi feltet skal beskrive partikler med masse m. Den kan splittes opp som



hvor  er den relativistiske energien til en partikkel med impuls p. Den firedimensjonale Fourier-transformasjonen splittes dermed opp i to tredimensjonale transformasjoner. Feltoperatoren tar formen



etter man i det siste leddet har latt   og latt  Fourier-komponentene bli antikommuterende operatorer bortsett fra 



Her vil nå  skape en partikkel, mens  vil fjerne den. Det samme gjelder for antipartikler med  og  I denne fremstillingen er det en konsekvens  av definisjonen  Den er i overensstemmelse med Diracs innføring av en uendelig stor «Dirac-sjø» der man ved å fjerne en partikkel med negativ energi, skaper en antipartikkel med positiv energi.

Ved hjelp av disse feltoperatorene kan Hamilton-operatoren for Dirac-feltet finnes. På samme måte som for Klein-Gordon-partikler vil den da uttrykkes ved de sammensatte operatorene  og  som teller opp antall partikler og antipartikler som finnes i forskjellige tilstander. Det kommer spesielt tydelig frem når man beregninger operatoren for total, elektrisk ladning i feltet. Den blir



som viser at partikler og deres antipartikler opptrer med motsatt ladning.

Referanser

Eksterne lenker

 P.A.M. Dirac, Theory of electrons and positrons, Nobel prize lecture (1933).
 P.A.M. Dirac, The history of the positron, video lecture given by Dirac (1975).
 B. Simons, Relativistic Quantum Mechanics, lecture at Cambridge University (2009).
 University of Alberta, Dirac equation, web pages

Kategori:Kvantemekanikk
Kategori:Partielle differensialligninger
Kategori:Fysiske ligninger