Σ-algebra

En familie  av delmengder av mengden  kalles en sigma-algebra dersom

  er ikke tom. (Det finnes minst en delmengde .)
 Lukket under komplement: Hvis  er med i  så er komplementet  også være med i 
 Lukket under tellbare unioner: Hvis  er en samling av mengder i  er også unionen  med i 

Det følger at  og  er med i :
Tar vi en vilkårlig mengde  i  (som finnes, ved egenskap 1) har vi at komplementet  er i  ved egenskap 2, og ved egenskap 3 får vi at da må unionen  og dens komplement  være i .

 Eksempel 
Den enkleste -algebraen på en gitt mengde  er den trivielle: , for en delmengde  av . Går vi til den andre enden av skalaen er den største -algebraen på en gitt mengde samlingen av alle delmengder av , .

La  være mengden  av alle naturlige tall, og la
familien  bestå av de 4 delmengdene ,  (alle oddetall)
 (alle partall) samt  selv.
 er da en sigma-algebra.

En svært viktig -algebra er Borel -algebraen.  Denne definerer vi som -algebraen generert av alle de åpne mengdene på en mengde . Dersom vi betrakter de reelle tallene vil da de åpne mengdene være åpne intervaller, og dermed kan vi skrive . Ved egenskapene 2 og 3 kan vi vise at også de lukkede mengdene, de halvåpne mengdene og åpne og lukkede stråler genererer Borel -algebraen. Igjen for de reelle tallene får vi da at Borel -algebraen også er generert av ,, og .

 Referanser 
Bartle, Robert G: The Elements of Integration and Lebesgue Measure. Wiley Classics Library

Kategori:Algebraer
Kategori:Målteori