Buelengde

Buelengde eller kurvelengde er i geometri lengden av en bue, det vil si et vilkårlig segment av en kurve. For at lengden skal være definert, må buen kunne 
«rettes ut», og dette setter matematisk krav til definisjon av kurven.

Beskrivelse av kurver blir ofte enklere og mer elegant når buelengden brukes som parameter i kurvedefinisjonen, sammenlignet med andre valg av parameter.  

 Prinsippet for definisjonen av buelengde 
En kurve i planet kan tilnærmes ved å trekke linjestykker mellom et endelig sett av punkt på kurven. Linjestykkene definerer en kurve som er stykkevis lineær.  Lengden av hvert linjestykke lar seg lett 
bestemme ved hjelp av Pythagoras’ læresetning, og lengden av den stykkevis lineære linjen er lik summen av linjestykke-lengdene.  
Dersom den krumme kurven er tilstrekkelig glatt, så vil lengden av den stykkevis lineære kurven nærme seg lengden av den opprinnelige kurven når vi øker antallet punkt i settet brukt til å definere tilnærmingen.  

For mange kurver vil det eksistere en minste øvre skranke  for lengden av den stykkevis lineære kurven.  Slike kurver sies å være «rektifiserbare», det vil si i stand til å 
kunne rettes ut. Verdien  defineres som buelengden til den opprinnelige kurven.  

 Buelengden for en glatt romkurve 

En romkurve er en kurve i det euklidske rommet , definert med en parameterframstilling

Kurven er glatt når funksjonene ,  og  er deriverbare og de deriverte er kontinuerlige.  For en slik romkurve er buelengden gitt ved

Her betyr merket den deriverte med hensyn på parameteren , slik at .

Som eksempel kan vi se på lengden av en full sirkelbue, gitt ved parametriseringen

Formelen for buelengden gir det kjente resultatet

 Buelengden til en funksjonsgraf 

Grafen til en reell funksjon av en variabel er en kurve med parametriseringen

Buelengden av funksjonsgrafen er dermed gitt ved

 Buelengden til en plan kurve i polarkoordinater 

For en plan kurve  i polarkoordinater er buelengden

for intervallet .

 Referanser 
  [Arc]

D.J. Struik: Lectures on classical differential geometry, s.5

 Litteratur 

Eksterne lenker

  Om buelengde hos realisten.com  Besøkt 11. desember 2019.

Kategori:Differensialregning
Kategori:Lengde
Kategori:Kurver