Derivasjon

Derivasjon er en operasjon i matematikk der en bestemmer den deriverte av en funksjon.  For en funksjon av én reell variabel  er den deriverte definert ved

,

dersom grenseverdien eksisterer.  Den deriverte er et mål for endringen i funksjonsverdier  når den frie variabelen  endres.  Geometrisk er den deriverte et uttrykk for stigningstallet til tangenten til funksjonen.

For funksjoner av flere variable kan en definere ulike typer deriverte, som retningsderivert, partiellderivert og totalderivert.

Studiet av derivasjon og differensialer kalles differensialregning.  Analysens fundamentalteorem sier at derivasjon og integrasjon er inverse operasjoner, og en bruker derfor ofte betegnelsen differensial- og integralregning.  Dette fagfeltet er svært viktig både for matematisk analyse og for anvendt matematikk.

 Derivasjon av en reell funksjon av én variabel 

En reell funksjon av én variabel er en funksjon .  Et enkelt eksempel er funksjonen som beskriver en rett linje.  For en rett linje er stigningstallet lik den deriverte til
funksjonen som beskriver linjen.  

 Stigningstallet for en rett linje 
En rett linje kan beskrives med funksjonen

.

Hvis koeffisienten  er lik null, så er funksjonen lineær.  
Koeffisienten  er stigningstallet som styrer vinkelen  som linjen danner med -aksen:

.

Gitt to punkt  og , så finner en stigningstallet ved

Symbolet  brukes for å beskrive en endring i en størrelse, og  og  er samsvarende endringer:

Funksjonen som beskriver en rett linje, har derivert .  

 Formell definisjon av den deriverte 

En funksjon  som avbilder et åpent intervall  av reell tall, er deriverbar i  hvis den følgende grenseverdien eksisterer:

   (med )

Grenseverdien kalles den deriverte til  med hensyn på  i .  Dersom grenseverdien ikke eksisterer, så er funksjonen ikke deriverbar i punktet.  
Hvis funksjonen er deriverbar i et hvert punkt i intervallet, sies funksjonen å være deriverbar i intervallet.  Den deriverte definerer da en ny funksjon i intervallet, ofte skrevet som 
eller :

.

Ordet «differensierbar» brukes synonymnt med «deriverbar».

Det eksisterer mange ulike skriveformer for funksjonen som er resultat av derivasjonen, drøftet i det følgende avsnittet Notasjon.

En funksjon kan være deriverbar i hele , men kan også ha punkter der den ikke er deriverbar. Det eksisterer funksjoner som ikke er deriverbare i noe punkt, for eksempel funksjonen som beskriver
Koch-kurven, navngitt etter Helge von Koch.

 Eksempler 

Den deriverte til funksjonen  i punktet  kan finnes ved å forenkle differensekvotienten

Den deriverte finnes ved å ta grenseverdien når :

.

Vanligvis finnes den deriverte av en funksjon ved hjelp av regneregler for derivasjon og ikke ved bruk av definisjonen, slik som er gjort her.  Regnereglene må imidlertid bevises ved hjelp av definisjonen for den deriverte.  

Et eksempel på en funksjon som ikke er deriverbar overalt, er gitt ved absoluttverdi-funksjonen:

For  er den deriverte lik -1, mens i intervallet  er den deriverte lik 1.  For  eksisterer de to ensidige grenseverdiene, men da disse ikke er like,
så er funksjonen ikke deriverbar for dette argumentet:

.

Et slik punkt hvor den deriverte eksisterer på begge sider, men hvor de ensidige grenseverdiene er ulike, kalles et knekkpunkt for grafen til funksjonen.  

 Høyere-ordens deriverte 

Hvis den deriverte til funksjonen  er deriverbar, kan man definere den andrederiverte eller dobbeltderiverte til  som den deriverte til den førstederiverte.
Denne nye funksjonen kan skrives som .  Tilsvarende kan man definere den tredje deriverte , og så videre.

Den n-te deriverte kalles også den deriverte av orden n.  

Ved å bruke samme eksempel som tidligere, finner en

 Geometrisk tolkning 
Verdien av den deriverte i et punkt generaliserer stigningskoeffisienten for en rett linje.  For en vilkårlig deriverbar funksjon vil verdien av den deriverte være lik stigningskoeffisienten til tangenten til funksjonsgrafen 
i punktet.  

For å definere tangenten starter en med en sekant gjennom to punkt på funksjonsgrafen,  og .  Ved å la  gå mot null, som i grenseverdien som definerer den deriverte, vil sekanten nærme seg tangenten som grense.  

Ligningen for tangenten i punktet  er

Den andrederiverte er et mål for krumningen til grafen i et punkt.  En rett linje har ingen krumning, og funksjonen har en andrederivert lik null.  

Generelt har grafen til en vilkårlig funksjon en krumning  gitt ved det følgende uttrykket:



 Aritmetisk tolkning 

Den deriverte til en funksjon  i punktet  beskriver den lokale oppførselen til funksjonen i en omegnen om . Fra definisjonen av den deriverte følger det at 

Leddet  er en funksjon av både  og , og leddet må gå mot null når  går mot null.  For en liten verdi av  kan en derfor bruke tilnærmingen

Den deriverte er et mål på den lineære andelen av endringen i , når  endres med et vilkårlig lite tall. En slik vilkårlig liten endring kalles en infinitesimal endring.
Når tilnærmingen brukes for en endelig verdi av , omtales tilnærmingen som en linearisering av funksjonen. 

 Antideriverte 

Antiderivasjon er prosessen for å finne en antideriverte funksjon, også kalt en primitiv funksjon.  En funksjon  er en primitiv funksjon til  dersom funksjonen  er 
dens deriverte, det vil si dersom . 

 Notasjon for deriverte 

Det eksisterer flere forskjellige skriveformer for deriverte, brukt både gjennom historisk tid og i dag. 

Leibniz' notasion

Symbolene ,  og  ble introdusert av Gottfried Leibniz i 1675.F. Cajori: A history of mathematical notations  Bind II, s.204  
Denne skrivemåten er fremdeles vanlig brukt når en ønsker å understreke funksjonssammenhengen .  Den første-ordens deriverte skrives som en infinitesimal brøk

.

Høyere-ordens deriverte av orden n uttrykkes på formen

Den deriverte for et gitt argument  kan med denne notasjonen skrives som

Lagranges notasjon

En svært vanlig form for symbol for den deriverte stammer fra Joseph Louis Lagrange og bruker et primtegn sammen med symbolet for funksjonen.  Notasjonen ble første gang brukt i verket Theorie des fonctions analytiques i 1797.F. Cajori: A history of mathematical notations  Bind II, s.207 
Den deriverte av funksjonen  symboliseres med.  
Høyere-ordens deriverte kan skrives ved å gjenta primtegnet, slik at den andre-deriverte er .  For deriverte av orden høyere enn tre, kan en sette ordenstallet med opphøyd skrift, enten med romertall eller 
med vanlige tallsymbol:

   eller   

Lagranges notasjon er mer praktisk enn Leibniz' når en vil understreke at den deriverte er en selvstendig funksjon.

Newtons notasjon

Newtons notasjon for å symbolisere tidsderiverte går tilbake til 1665.F. Cajori: A history of mathematical notations  Bind II, s.197   Bruk av denne notasjonen finnes vanlig både i fysikk og matematikk. For en funksjon der argumentet representerer tid, kan en prikk over funksjonen symbolisere derivasjon.  Hvis , så
representerer de følgende funksjonene den førstederiverte og den andrederiverte:

.

Prikk-notasjonen er også brukt i differensialgeometri for den deriverte med hensyn på buelengden.

Eulers notasjon

Leonhard Euler forsvarte i 1755 notasjonen  for den deriverte funksjonen, men dette skapte en del forvirring jevnført med Leibniz' skrivemåte.F. Cajori: A history of mathematical notations  Bind II, s.213   
I 1800 foreslo Louis François Antoine Arbogast i steden å bruke en stor bokstav  for en differensialoperator som operert på funksjonen  gir den første-deriverte .F. Cajori: A history of mathematical notations  Bind II, s.208-209   
Den n-te deriverte skrives .
For å presisere hva som er den uavhengige variabelen, så kan denne skrives med nedfelt skrift:  Hvis funksjonen er , så skrives da den deriverte som

   eller   .

 Utregning av den deriverte 

Den deriverte til en gitt funksjon regnes vanligvis ut ved å kombinere 

 kjennskap til deriverte for et sett av elementære funksjoner; med
 et sett av derivasjonsregler for å behandle sammensatte funksjoner.

 Derivasjon av elementære funksjoner 

Konstante funksjoner

Potensfunksjonen

Eksponential- og logaritmefunksjoner

Trigonometriske funksjoner

Inverse trigonometriske funksjoner

 Derivasjonsregler 

La ,  og  
være reelle, deriverbare funksjoner. La videre  og
 være reelle tall. Da gjelder:

Faktorregelen

Summeregelen

Produktregelen

Kvotientregelen eller brøkregelen

Kjerneregelen

Kombinert kjerne og produktregel

Inverse funksjoner
Hvis  er en bijektiv funksjon som er deriverbar i  med , og den inverse funksjonen  er deriverbar ved , så gjelder:

Leibniz’ regel

.

Her er  binomialkoeffisienter.

 Implisitt derivasjon 

Hvis en funksjon  er definert implisitt ved en ligning 

, 

så følger det av den generaliserte kjerneregelen for funksjoner av flere variabler at

I denne ligningen er

partiell deriverte av funksjonen .  Forutsatt at den partiell deriverte  er ulik null, så
kan den deriverte av funksjonen  uttrykkes som en brøk:



 Eksempel 

Gitt funksjonen

Den deriverte er da gitt som følger:

Det første leddet er derivert ved å bruke regelen for en potensfunksjon.  Det andre leddet er håndtert ved hjelp av kjerneregelen samt regler for derivasjon av trigonometriske funksjoner og potensfunksjoner.
Derivasjon av det tredje leddet er gjennomført ved å bruke produktregelen.  

 Egenskaper til deriverbare funksjoner 

 Derivasjon og kontinuitet 
En funksjon som er deriverbar for , er også kontinuerlig i .  En funksjon kan altså ikke være deriverbar i en diskontinuitet.  

Omvendt kan en funksjon være kontinuerlig i et punkt, uten å være deriverbar i punktet.  Et eksempel på dette er punktet  for absoluttverdi-funksjonen.  

Dersom funksjonen har en derivert som også er kontinuerlig, sies funksjonen å være kontinuerlig deriverbar.  Hvis den n-te ordens deriverte eksisterer og er kontinuerlig, så er funksjonen
n ganger kontinuerlig deriverbar.  Klassen av slike funksjoner er viktig nok til å ha fått sitt eget symbol:

betegner klassen av funksjoner som er n ganger kontinuerlig deriverbar på definisjonsmengden .  Klassen av kontinuerlige funksjoner er .  
En funksjon som er uendelig mange ganger kontinuerlig deriverbar kalles en glatt funksjon, og klassen av slike funksjoner betegnes som .

Generelt gjelder at

.  

 Middelverdisetningen 

For en funksjon som er deriverbar i et intervall, vil stigningen til sekanten mellom to vilkårlige punkt på grafen til funksjonen være et uttrykk for den midlere endringen til 
funksjonen mellom de to punktene.  Middelverdisetningen uttrykker at grafen til funksjonen mellom de to punktene må ha en tangent med samme stigning som sekanten.  
Setningen kalles også sekantsetningen: 

La  være en funksjon som er kontinuerlig på et lukket intervall  (med ). Anta videre at  er deriverbar i det åpne intervallet .  Da finnes minst ett punkt , slik at 

.

Dersom , medfører dette at funksjonen må ha en derivert mellom  og  som er lik null, det vil si at tangenten er horisontal.
Dette spesialtilfellet av middelverdisetningen kalles Rolles sats.  

 Monotonisitet 

En funksjon er monoton i et intervall dersom den er voksende eller minkende i hele intervallet.  Tilsvarende sier en også at funksjonen er strengt monoton i et intervall dersom den er
strengt voksende eller strengt minkende i hele intervallet.  Disse egenskapene følger direkte fra middelverdisetningen.  

En deriverbar funksjon er voksende i et intervall dersom den deriverte av funksjonen er ikke-negativ i hele intervallet.  Tilsvarende er funksjonen minkende i et intervall dersom den deriverte
er ikke-positiv i intervallet.  

En deriverbar funksjon er strengt voksende i et intervall dersom den deriverte av funksjonen er positiv i hele intervallet.  Tilsvarende er funksjonen strengt minkende i et intervall dersom den deriverte
er negativ i intervallet.  

 Ekstremalverdier og vendepunkt 

Dersom en funksjon er deriverbar i et punkt , så er  et nødvendig vilkår for at funksjonen skal ha et ekstremalpunkt for dette
argumentet.  Et punkt der den deriverte er lik null kalles et stasjonært punkt.E.J.Borowski, J.M.Borwein: Dictionary of mathematics s.558 
Sammen med punkt der funksjonen ikke er deriverbar og eventuelle endepunkt for et definisjonsintervall, kalles dette også kritiske punkt.  
Et ekstremalpunkt må alltid være et kritisk punkt.T. Lindstrøm: Kalkulus s.246 
Et terassepunkt er et stasjonært punkt der den deriverte ikke skifter fortegn. 

For et punkt  der en funksjon er deriverbar vil hver av de to følgende testene gi tilstrekkelige vilkår for at punktet er et maksimumspunkt:

  er et lokalt strengt maksimumspunkt dersom  og den deriverte skifter fortegn fra positiv til negativ når  vokser gjennom .

  er et lokalt strengt maksimumspunkt dersom  og .  

Tilsvarende har en for et minimumspunkt:

  er et lokalt strengt minimumspunkt dersom  og den deriverte skifter fortegn fra negativ til positiv når  vokser gjennom .

  er et lokalt strengt minimumspunkt dersom  og .  

Kartlegging av ekstremalpunkt inngår som en viktig del av funksjonsdrøfting.  

 Krumning og vendepunkt 

En funksjon er konveks i et intervall dersom en rett linje mellom to vilkårlige punkt i intervallet ligger over grafen til funksjonen i intervallet.  
Dette kan også uttrykkes som at grafen til funksjonen vender den hule siden oppover eller krummer opp.  Funksjonen er strengt konveks dersom grafen ligger helt under den rette linjen.  
Tilsvarende kan en definere at funksjonen er konkav, dersom den vender den hule siden nedover eller krummer ned.  

En deriverbar funksjon er konveks eller krummer opp i et intervall dersom den deriverte er voksende i intervallet.  
En funksjon som er to ganger deriverbar, er strengt konveks i et intervall dersom den dobbelt-deriverte  er positiv i intervallet.  Den dobbelt-deriverte
kan også være lik null i isolerte punkt i intervallet.

Funksjonen  har dobbelt-derivert .  Funksjonen er altså strengt konveks i hele .

I differensialgeometri er krumningen  til en funksjon gitt ved det følgende uttrykket:

Et vendepunkt er et stasjonært punkt  der funksjonen skifter krumning, fra opp til ned eller omvendt.  Dette vil være tilfelle dersom den dobbelt-deriverte skifter
fortegn i punktet.  

Funksjonen  har dobbelt-derivert .  Funksjonen har altså et vendepunkt i .

 Taylorrekker 

Taylors teorem sier at en funksjon som er () ganger kontinuerlig deriverbar på et intervall , kan tilnærmes med et polynom i intervallet, og teoremet gir også et uttrykk for feilen 
i denne tilnærmingen.  Dersom  er et vilkårlig punkt i intervallet, så er

Her er  taylorpolynomet av grad :

.

Restleddet  kan uttrykkes på flere forskjellige måter, og Joseph Louis Lagranges form er gitt som: G. Thomas, R. Finney; Calculus and Analytic Geometry s.795 

.

Argumentet  er en verdi mellom  og .  Når  svarer Taylors formel til middelverdisetningen.  

I mange praktske anvendelser brukes tilnærmingen , og restleddet er da et uttrykk for feilen i tilnærmingen.  Feilen vil typisk vokse når  fjerner seg fra verdien .

For en glatt funksjon kan en i noen tilfeller vise at funksjonen kan uttrykkes som en uendelig konvergent taylorrekke:



Denne sammenhengen gjelder imidlertid ikke for alle glatte funksjoner.  En glatt funksjon som samsvarer lokalt med sin egen taylorrekke, kalles en analytisk funksjon.E.J.Borowski, J.M.Borwein: Dictionary of mathematics s.16 

 Analysens fundamentalteorem 

Analysens fundamentalteorem uttrykker en sammenheng mellom derivasjon og integrasjon.T. Lindstrøm: Kalkulus s.331 

Hvis  er en integrerbar funksjon, så er funksjonen

kontinuerlig i intervallet .  Hvis  er deriverbar i , så er også  deriverbar i dette punktet, og .

Teoremet gir en bruksanvisning for kunne integrere en funksjon , omtalt som integranden.  Dersom den antideriverte til integranden kan bestemmes som , så er

.

 Derivasjon av en kompleks funksjon av én variabel 

 Formell definisjon 

Definisjonen av en kompleks funksjon  er i notasjon lik definisjonen for en reell funksjon:

.

Forskjellen ligger i definisjonen av grenseverdien, som nå er definert i det komplekse planet.  Den komplekse størrelsen  skal nå kunne nærme seg null langs en vilkårlig rute i det kompekse planet.  
Dette gjør at definisjonen av deriverbarhet for komplekse funksjoner er et strengere krav enn deriverbarhet for reelle funksjoner.  Realdelen og imaginærdelen av en kompleks funksjon kan hver for seg være
deriverbare, uten at den komplekse funksjonen er deriverbar.  

En kompleks funksjon kan være deriverbar i et punkt, uten å være deriverbar i andre nærliggende punkt.  En kompleks funksjon sies å være en analytisk funksjon i et punkt dersom funksjonen er deriverbar i en 
omegn om punktet.  Begrepet holomorf funksjon er synonymt med analytisk funksjon.  En funksjon som er analytisk i hele det komplekse planet, kalles en hel funksjon.

 Cauchy-Riemann-ligningene 

En kompleks funksjon kan generelt skrives på formen

der  er den imaginære enheten, med egenskapen .  De to funksjonene  og  er reelle funksjoner.  Hvis funksjonen  er 
deriverbar, så er også de to Cauchy-Riemann-ligningene oppfylte.  Dette er to differensialligninger på formen

Ligningene er oppkalt etter Augustin Louis Cauchy og Bernhard Riemann.  Den deriverte er gitt ved



Omvendt gjelder at dersom de to funksjonene  og  har kontinuerlige deriverte med hensyn på begge variablene, og de deriverte oppfyller Cauchy-Riemann-ligningene, så er funksjonen  deriverbar.  

 Eksempler 

Den komplekse eksponentialfunksjonen kan defineres ved

De to funksjonene 



har begge kontinuerlige deriverte og oppfyller Cauchy-Riemann-ligningene.  Da følger det at

Også den komplekse eksponentialfunksjonen er lik sin egen derivert.  Eksponentialfunksjonen er en hel funksjon.  Siden de trigonometriske funksjonene  og  kan defineres
som lineærkombinasjonar av den komplekse eksponentialfunksjonen, er også disse to funksjonene hele.  Alle polynomfunksjoner er hele funksjoner.  

Den komplekse funksjonen  er deriverbar kun for argumentet . 

 Generalisering til andre typer funksjoner 

Flere typer deriverte kan defineres for funksjoner, også for funksjonstyper der argumentet ikke er et reelt eller et komplekst tall.  

 Retningsderivasjon for skalarfelt 

Et skalarfelt er en reell funksjon av flere variable, på formen

Argumentet  er her en n-dimensjonal vektor.

For et skalarfelt kan en definere den retningsderiverte i retningen  vedT.M. Apostol: Calculus , Bind II  s.252ff 

forutsatt at grenseverdien eksisterer.  Det er ikke krav at vektoren  skal ha lengde lik én.  Eksistens av en retningsderivert er ikke tilstrekkelig for at
funksjonen skal være kontinuerlig.  

Den retningsderiverte oppfyller et middelverditeorem, tilsvarende en funksjon av én variabel:  Dersom den retningsderiverte  eksisterer for alle
verdier av  i intervallet , så er

 Partiell derivasjon 

For et skalarfelt er den partiellderiverte det samme som den retningsderivert langs en av akseretningene, 
gitt at retningsvektoren har lengde én.  Vanligvis uttrykkes definisjonen av den partiellderiverte med hensyn på variabelen  på
formen

,

forutstatt at grenseverdien eksisterer.  Et skalarfelt med definisjonsmengde i  kan ha  partiellderiverte.  

For en funksjon  kan en bruke flere typer notasjon for partiellderiverte:



De partiellderiverte uttrykker endringene i funksjonen i hver av retningene parallelt med aksene.  Dersom  representerer
variasjonen i temperatur i et rom, så er  et mål for temperaturendringen i -retningen.  

Gradienten til en funksjon er en vektor sammensatt av alle partiellderiverte.  For  uttrykkes gradienten som

Denne vektoren vil peke i retningen der funksjonen endrer seg mest.  Dersom gradienten er definert, så er den retningsderiverte i retningen  gitt ved

Også for partiellderiverte kan en definere høyere-ordens deriverte, i alle kombinasjoner, for eksempel



Hessematrisen er en matrise av alle de andre-ordens partiell deriverte til et skalarfelt.  Ekstremalverdier for et skalarfelt kan studeres ved hjelp av
gradienten og hessematrisen.  

Et tilstrekkelig vilkår for at de to partiell deriverte  og  skal være like i et punkt, er at begge eksisterer og er kontinuerlige i punktet.T.M. Apostol: Calculus , Bind II  s.277 

 Derivasjon for vektorfelt 

Et vektorfelt er en funksjon der både argument og funksjonsverdi er vektorer:


For hver av komponentene i funksjonsverdien kan en definere partiellderiverte:

Jacobimatrisen til et vektorfelt er en -matrise der elementene er første-ordens partiellderiverte:

For vektorfelt kan en også definere total derivasjon.

 Total derivasjon 

Den totalderiverte til et generelt vektorfelt er en transformasjon som lokalt er den beste lineære tilnærmingen til funksjonen.  

En funksjon , hvor  er en åpen mengde i  kalles totalt deriverbar eller totalderiverbar i punktet ,
hvis det finnes en lineær avbildning  slik at

 .

Hvis en slik lineær avbildning  eksisterer, er den entydig bestemt og avhenger ikke av hvilken norm som benyttes.

For  svarer den totalderiverte til den ordinære deriverte av en reell funksjon.  For et skalarfelt er , og den totalderiverte er lik gradienten til funksjonen.
For et vektorfelt er jacobimatrisen en representasjon av den lineære transformasjonen. 

En funksjon som er totalderiverbar i et punkt, vil være kontinuerlig i punktet.   

Hvis den totalderiverte eksisterer i et punkt, så eksisterer også alle de partiellderiverte i punktet.
Omvendt vil ikke eksistensen til samtlige partiell deriverte i et punkt  garantere at den totalt deriverte eksisterer i punktet. 
Er de partiellderiverte definert og kontinuerlige i en omegn om , så er funksjonen totalderiverbar i .

 Anvendelser 

 Beskrivelse av endringer 

Derivasjon blir brukt i mange matematiske modeller der en må beskrive endringer av en eller annen type.  Typisk vil en endring av en størrelse
 over tid kunne uttrykkes som den deriverte  eller en partiell derivert .  En endring i størrelsen i rommet
kan tilsvarende beskrives som en partiell derivert med hensyn på en romlig koordinat eller en gradient. 

Den førstederiverte til en strekning  etter tiden  representerer en skalar hastighet, mens den andrederiverte
er et uttrykk for akselerasjonen.   I det tredimensjonale rommet er den deriverte a posisjonsvektoren  lik
den vektorielle hastigheten. 

Vinkelhastigheten er definert som den tidsderiverte av en rotasjonsvinkel, og vinkelakselerasjonen er den andrederiverte.

 Differensialligninger 

En differensialligning er en ligning som kombinerer deriverte av en funksjon med funksjonen selv samt koeffisienter der den uavhengige variabelen inngår.  
Et eksempel er differensialligningen

Den ukjente i en differensialligning er en funksjon.  Ligningen over har løsningen 

,

der  og  er vilkårlige konstanter.  

Dersom den ukjente er en funksjon av én variabel, sies ligningen å være en ordinær differensialligning.  En partiell differensialligning inneholder partiellderiverte,
og den ukjente er en funksjon av flere variable.   

Newtons bevegelseslov kan gi opphav til mange differensialligninger. Loven kombinerer kraft , masse  og akselerasjon :

Dersom kraften for eksempel kan uttrykkes som en funksjon av posisjonen , så leder dette til en differensialligning for posisjonen.  

 Et eksempel fra økonomi 

I mikroøkonomi kan en analysere forskjellige former for produksjonsfunksjoner, for å skape forståelse for
makroøkonomiske sammenhenger. Det er først og fremst den typiske oppførselen til en produksjonsfunksjon som er av interesse:
Hvordan reagerer de avhengige variablene  (for eksempel den mengden av en vare som produseres) når  (for eksempel arbeid eller kapital)
økes med en (infinitesimal) enhet.

En grunntype av produksjonsfunksjoner er den nyklassiske produksjonsfunksjonen. Denne
funksjonen har egenskapen at produksjonen stiger når argumentet øker, samtidig som at økningen avtar når argumentet vokser.
For eksempel kan man ha den følgende produksjonsfunksjonen for en virksomhet:



Den deriverte følger av kjerneregelen:

 .

Da rotuttrykket alltid er positivt, vil produksjonen øke med økende innverdi. Den andrederiverte er gitt ved

 .

Denne er alltid negativ, så økningen er synkende.

 Historie 


Problemstillingen som differensialregningen betrakter, var kjent som tangentproblemet helt siden antikken.
Den nærliggende løsningen var å approksimere tangenten ved hjelp av sekanter over et positivt, men 
vilkårlig lite intervall. Den tekniske vanskeligheten bestod av å regne med slike infinitesimalt små
intervallengder. Pierre de Fermat løste rundt 1640 tangentproblemer for polynomer. Her beskrev han
den deriverte, men uten å betrakte grenseverdier, og uten å forklare hva den matematiske rettferdiggjøringen
for fremgangsmåten hans var. På samme tid valgte Descartes en algebraisk fremgangsmåte, hvor han
anbrakte en sirkel nær kurven. Her vil sirkelen skjære kurven i to punkter, med mindre sirkelen og kurven tangerer hverandre.
Da var det mulig å bestemme stigningen til tangenten for visse kurver.

På slutten av 1600-tallet lyktes det Isaac Newton og Gottfried Wilhelm Leibniz uavhengig av hverandre
å utvikle fungerende fremgangsmåter uten selvmotsigelser. Newton og Leibniz angrep problemet fra forskjellige
vinkler. Mens Newton nærmet seg problemet via momentanhastighetsproblemet, prøvde Leibniz å løse det geometrisk
ved hjelp av tangentproblemet. Arbeidene deres tillot en abstraksjon fra den rent geometriske beskrivelsen,
og regnes derfor som begynnelsen av matematisk analyse. De ble først og fremst kjent gjennom boka til adelsmannen
Guillaume François Antoine, marquis de L'Hôpital, som fikk privatundervisning av Johann Bernoulli og 
publiserte dennes forskning innen analyse. De derivasjonsreglene som er best kjent i dag, er først og fremst
basert på verkene til Leonhard Euler, som satte sitt preg på funksjonsbegrepet. Newton og Leibniz arbeidet
med vilkårlig små tall, men som er større enn null. Dette ble kritisert av samtidige som ulogisk, eksempelvis av
biskop Berkeley i det polemiske skriftet The analyst: or a discourse addressed to an infidel mathematician.
Differensialregningen ble likevel, tross den herskende usikkerheten, konsekvent videreutviklet, i første rekke
på grunn av de tallrike anvendelsene i fysikk og andre områder av matematikken. Symptomatisk for den tiden
var prisutskrivningen til Det prøyssiske vitenskapsakademiet i 1784:

Først på begynnelsen av 1800-tallet lyktes det Augustin Louis Cauchy å gi differensialregningen den
logiske stringensen vi er vant til i dag, i det han gikk bort fra de infinitesimale størrelsene og definerte
den deriverte som grenseverdien til stigningen av sekantene. Den definisjonen av grenseverdier som brukes i
dag ble formulert av Karl Weierstraß på slutten av 1800-tallet.

 Se også 

 Retningsderivert
 Lie-derivert
 Kovariant derivasjon

 Referanser 

Litteratur



Eksterne lenker
  Function calculator
 Kalkulator som kan derivere funksjoner av én variabel

Kategori:Differensialregning
Kategori:Funksjoner