Boltzmanns konstant

Boltzmanns konstant (k eller kB) er en fysisk konstant som knytter energien til partiklene i en gass til den temperatur som gassen har.  Den ble innført av Max Planck for å forklare egenskaper ved varmestråling. Han ga den navn etter den østerrikske fysiker Ludwig Boltzmann som spilte en viktig rolle i etablering av statistisk mekanikk. Konstanten opptrer i mange fundamentale sammenhenger som Boltzmann-fordelingen og Boltzmanns lov for beregning av entropien til et generelt system.

Etter omdefineringen av SI-enhetene i 2019 ble Boltzmanns konstant knyttet til definisjonen av enheten kelvin for absolutt temperatur. Den ble da bestemt å ha verdien



Denne er presis og har ingen usikkerhet knyttet til seg. IUPAC Gold Book, Boltzmann constant, k (2020).  

Konstanten regnes i dag som en av de sju fundamentale enhetene som alle andre enheter er utledet fra i SI-systemet. Mest direkte er den forbundet med den universelle gasskonstanten R ved relasjonen  hvor NA  er Avogadros konstant. Derfor er gasskonstanten en avledet og ikke fundamental størrelse. Da den forbinder energi og temperatur, kan man velge å måle temperatur i samme enhet som energi, for eksempel joule. Det tilsvarer å sette kB  = 1 og ville være et eksempel på bruk av en naturlig enhet for temperatur. På lignende vis benyttes ofte relativistiske enheter hvor lyshastigheten c = 1 slik at både tid og lengde kan måles med samme enhet.

Denne konstanten ble tilsynelatende aldri benyttet av Boltzmann selv. Forklaringen er sannsynligvis at på hans tid så man ingen mulighet for  å beregne absolutte verdier for entropien til et system. Det ble først mulig ved etableringen av kvantemekanikken som Planck satte i gang i forbindelse med sin forklaring av egenskapene til sort stråling.. Konstanten ble derfor i begynnelsen kalt for «Plancks konstant». Men snart ble denne betegnelsen også benyttet for Plancks egen og absolutt nye kvantemekaniske konstant h. Dermed var det naturlig å innføre navnet «Boltzmanns konstant» for kombinasjonen R/NA som hadde opptrått tidligere. Max Planck, The Theory of Heat Radiation, Dover Publications, New York (1959).

Opptreden

Kanskje den mest fundamentele sammenheng der Boltzmanns konstant opptrer, er hans lov for hvordan entropien S  til et system er gitt ved antall mikrotilstander W  som er tilgjengelig for det. Den ble formulert av Planck som



hvor den naturlige logaritmen inngår. Loven sier at jo større antall tilgjengelige tilstander er, desto større er systemets entropi. Når det er i ltermisk likevekt, kan det ikke lenger finne flere mikrotilstander. Deres antall er maksimalt og derfor også systemets entropi. På denne måten inneholder denne formuleringen en forklaring av termodynamikkens andre hovedsetning og gjør det også mulig å beskrive fluktuasjoner rundt likevektstilstanden og hvordan denne kan nås. M. Longair, Theoretical Concepts in Physics, Cambridge University Press, England (2003). ISBN 978-0-521-52878-8.

Når temperaturen til systemet avtar, vil også antall tilgjengelige tilstander reduseres. Men dette antall  kan aldri bli mindre enn W = 1, noe som betyr at entropien alltid må være S ≥ 0. Den kan ikke bli negativ som før Planck var et mysterium. Dette er innholdet av det som noen ganger omtales som termodynamikkens tredje hovedsetning. 

Maxwell-Boltzmann statistikk

Når systemet er i likevekt ved en bestemt temperatur T, befinner det seg i en «makrotilstand» som inneholder et maksimalt antall mikrotilstander. Sannsynligheten for å finne det nøyaktig i en mikrotilstand med energi Ea, er gitt ved Boltzmann-fordelingen



hvor Z  er en normeringskonstant som kalles systemets partisjonsfunksjon. Herav kan man beregne dets midlere energi som kan identifiseres med systemets indre energi samt andre av dets termodynamiske egenskaper. D.V. Schroeder, Introduction to Thermal Physics, Addison Wesley Longman, San Fransisco, CA (2000). ISBN 0-201-38027-7.

Denne sannsynlighetsfordelingen hadde sitt utspring i Maxwells hastighetsfordeling for partiklene i en gass. Av den grunn sies partikler som oppfyller denne fordelingen, å følge Maxwell-Boltzmann statistikk. Den gjelder for like partikler som i prinsippet kan adskilles fra hverandre. Derimot kan helt identiske partikler som fotoner og elektroner ikke på noen måte skilles fra hverandre og må beskrives ved kvantestatistikk. Boltzmanns konstant inngår da på en litt annen måte. F.W. Sears, An Introduction to Therrmodynamics, the Kinetic Theory of Gases and Statistical Mechanics, Addison-Wesley Publishing Company, Reading MA (1956).

Statistisk mekanikk

Trykket i en ideell gass som er i termisk likevekt ved temperaturen T, kan beregnes i kinetisk teori. Inneholder den N  partikler i et volum V, gir det tilstandsligningen



På samme måte kan den indre energien finnes og blir



Da den skyldes kun partiklenes bevegelse i det tredimensjonale volumet, betyr det at hver frihetsgrad til én partikkel bidrar med kBT/2  til denne energien. 

Dette ligger til grunn for ekvipartisjonsprinsippet som sier at hver slik frihetsgrad skal bidra med et tilsvarende beløp. Da molekyler består av flere atomer, vil de også kunne rotere og oscillere. Vanlig  luft består hovedsakelig av molekylene N2 og O2.  Bidraget til den frie energien fra disse frihetsgradene kan beregnes ved bruk av statistisk mekanikk. Det vil variere med temperaturen på en måte som er bestemt av Boltzmann-fordelingen.

Referanser

Eksterne lenker
 Boltzmanns konstant (CODATA-verdi) hos NIST.

Kategori:Termodynamikk
Kategori:Fysiske konstanter