Imaginær enhet

I matematikk er den imaginære enhet  et komplekst tall med egenskapen . Navnet er gitt fordi ethvert komplekst tall  kan skrives på formen , der  og  er  reelle tall.  Dersom  er lik null sies det komplekse tallet å være rent imaginært

Komplekse tall er viktige i mange deler av matematisk analyse, og den imaginære enheten opptrer hyppig i matematiske formler.  Et viktig eksempel er Eulers formel, med spesialtilfellet Eulers likhet.

Historisk var innføringen av komplekse tall motivert av studiet av polynomligninger.  Den imaginære enhet er en  rot i andregradsligningen .

i og −i
Likningen  har to distinkte løsninger som er additive inverse. Når en løsning  av likningen er fastslått, er også  en løsning. 

Den mest presise forklaringen er å si at selv om det komplekse feltet definert ved
 er unikt opp til isomorfisme, er det ikke unikt opp til en unik isomorfisme — det er nøyaktig 2 feltautomorfismer fra , identiteten og automorfismen som sender  til . (Det må bemerkes her at dette ikke er de eneste automorfismene til ; men de er de eneste feltautomorfismene til  hvor den reelle del er fast.)

Et liknende problem oppstår hvis de komplekse tall fortolkes som  reelle 2 × 2-matriser, fordi både  er løsninger av likningen . I dette tilfelle kommer de tvetydige resultatene fra det geometriske valg av hvilken «retning» rundt enhetssirkelen som er «positiv». En mer presis forklaring er å si at automorfismegruppen til den spesielle ortogonale gruppen  har nøyaktig to elementer — identiteten og automorfismen som bytter om «med klokken»- og «mot klokken»-rotasjoner.

Mulige falske løsninger
Den imaginære enhet noteres eller behandles ikke som . Denne notasjonen er reservert enten den prinsipale kvadratrotfunksjonen, som bare defineres for reelle , eller for den prinsipale grenen av den komplekse kvadratrotfunksjonen. Å forsøke å anvende beregningsregler for den prinsipale (reelle) kvadratrotfunksjonen for å håndtere den prinsipale gren av den komplekse kvadratrotfunksjonen vil frembringe falske løsninger:

Beregningsreglen
 er bare gyldig for de reelle, ikke-negative tall  og .

Potenser av i

Potensene av  gjentas i en syklus:

Dette kan uttrykkes med følgende mønster hvor  er et vilkårlig heltall:

i og Eulers formel
Hvis man tar Eulers formel , og setter inn , får man

Hvis begge sider opphøyes i potensen , idet man husker at , får man følgende identitet:

Det er lett å fastslå at  har et uendelig antall løsninger på formen

hvor  er et vilkårlig heltall.

Alternativt symbol
I elektrofag og beslektete områder blir den imaginære enhet ofte skrevet som  for å unngå sammenblanding med betegnelsen for elektrisk vekselstrøm.

Kategori:Kompleks analyse
Kategori:Matematiske konstanter