Gruppe (matematikk)

En gruppe i matematikken er en mengde elementer sammen med en binæroperasjon. Den må være slik at fire aksiomer er oppfylt. For det første må den være lukket slik at kombinasjonen av to element alltid gir et element i samme gruppe. Videre må den være assosiativ, og det må finnes et enhetselement slik at hvert element har en invers. Et av de mest velkjente eksemplene på en gruppe er mengden av heltall hvor den binære operasjonen er vanlig addisjon. Enhetselementet er da tallet 0. 

Ved å gi en abstrakt formulering av gruppeaksiomene som er uavhengig av konkrete grupper og deres operasjoner, kan en på en fleksibel måte behandle objekter med svært ulikt matematisk opphav. Dette kan gjøres samtidig som man beholder deres vesentlige strukturelle egenskaper. Studiet av grupper kalles gruppeteori.

Grupper har et fundamentalt slektskap med begrepet symmetri. For eksempel, symmetrigruppen til et geometrisk objekt danner en gruppe. Den består av mengden alle transformasjoner som ikke endrer objektet og operasjonen som kombinerer to slike transformasjoner ved å foreta den ene etter den andre. 

 Definisjon 

Grupper er definert på en slik måte at den gjelder for en vid klasse av objekter som deler en del strukturelle egenskaper. Man har en mengde , og en binæroperasjon . Denne operasjonen er slik at man kan kombinere hvilke som helst to elementer  og  fra  og få et annet element . Symbolet  representerer her en generell operasjon, og kan for eksempel stå for addisjon eller multiplikasjon. J. Reed og J. Aarnes, Matematikk i vår tid: En introduksjon, Universitetsforlaget, Oslo (1967).

For at mengden  og binæroperasjonen  skal være en gruppe må følgende fire aksiomer være oppfylt:

 Lukkethet. Hvis  og  er elementer i , er også  et element i .
 Assosiativitet. Hvis ,  og  er elementer i  så gjelder ligningen .
 Identitetselement. Det finnes et element  i  slik at for ethvert element  i , så holder ligningen .
 Invers. For enhver  i  finnes et element  i  slik at , hvor  er identitetslementet.

I allminnelighet er ikke operasjonen kommutativ, det vil si at . Hvis gruppen har denne egenskapen, sies den å være abelsk. Dette adjektivet kommer av den norske matematikeren Niels Henrik Abel. Antall element i gruppen, kalles dens orden. Avhengig av størrelsen på dette tallet, snakker man derfor om små eller store grupper. W. Ledermann, Introduction to the Theory of Finite Groups, Oliver & Boyd, London (1961).

 Enkle eksempel 

Betegnes mengden av heltallene med  Z, så danner de en gruppe hvor binæroperasjonen er addisjon. Den betegnes da med symbolet + på vanlig vis. Elementene i gruppen består av tallene
 .
Det første aksiomet er tilfredsstilt siden summen av to heltall også er et heltall. At addisjon er assosiativ, er også velkjent. Enhetselementet er tallet 0 siden  for alle heltall . Det inverse elementet til  er nå det negative tallet  da . Denne gruppen er abelsk

De positive heltallene danner ingen gruppe da de ikke inneholder inverse element. Men derimot danner de rasjonelle tallene Q en abelsk gruppe under vanlig multiplikasjon. De har formen  hvor  og  er heltall der man ikke tar med 0. Enhetselementet er her , mens det inverse elementet  til  er . Det oppfyller kravet .

På samme måte danner de reelle tallene R en gruppe under addisjon. Summen av to slike tall  og  tilsvarer kombinasjonen av to element og skrives som . Dette er også et reelt tall slik at enhetselementet er . Derfor er det inverse elementet  til  ganske enkelt  . På samme måte kan også elementene i et vektorrom betraktes som en slik abelsk gruppe. Disse gruppene inneholder uendelig mange element som varierer kontinuerlig seg imellom. Slike kontinuerlige grupper kalles vanligvis for Lie-grupper.

Klokkearitmetikk
Den måten vi teller timer på en vanlig klokke med tallene
,
definerer en abelsk gruppe av orden 12 når binæroperasjonen addisjon modulo 12. Hvis klokken er 9 og vi venter 4 timer, vil klokken bli 2,  altså er   når man lar  betegne operasjonen å «addere på en klokke». Mer vanlig er det å skrive dette som  når  der n er et heltall. Enhetselementet er her , mens elementet invers til for eksempel 5,  er 7 fordi 5 + 7 = 12.

Klokkearitmetikk er et eksempel på modulær aritmetikk. For hvert positivt heltall m har man da på samme måte en abelsk gruppe med m element som kombineres ved modulær addisjon analogt med klokken der m = 12.

Undergrupper

I enhver gruppe  finnes det en undermengde  med element som seg imellom oppfyller de fire gruppeaksiomene. Et av disse elementene må være enhetselementet . Denne delmengden kalles da en undergruppe eller mer sjelden en delgruppe. For eksempel inneholder gruppen Z av alle heltall under addisjon en undergruppe 2Z som består av alle like tall {... -4, -2, 0, 2, 4, ... }. Summen av to slike tall er et nytt partall. Derimot danner ikke oddetallene noen undergruppe da de gir et liketall under en binær addisjon.

Et teorem som først ble bevist av Lagrange, sier at ordenen til en undergruppe av en endelig gruppe, må være en faktor av dennes orden. For eksempel kan en gruppe med 6 element, kun ha undergrupper med 1, 2 eller 3 element. Gruppen med ett element er triviell og består bare av enhetselementet . Formelt sett kan man også betrakte hele gruppen  som en slik triviell undergruppe av seg selv. En endelig gruppe hvis orden er et primtall, vil derfor ikke ha noen ikke-trivielle undergrupper. Den er en syklisk gruppe.

Den minste, ikke-trivielle gruppen til Z, består av de to elementene {0,1} når de addereres som binære tall. Det vil si at 0 + 1 = 1 og 1 + 1 = 0 slik at den også er syklisk. Vanligvis betegnes den med C2 eller eventuelt  Z2. Den samme gruppen kommer frem ved å kombinere de to elementene {1, -1} ved vanlig multiplikasjon. Da er 1⋅(-1) = -1 og (-1)⋅(-1) = 1. Begge disse to algebraiske strukturene tilsvarer derfor samme gruppe C2 med to element (e, g) som kombineres ved e × g = g og g × g = e.

Homomorfier
Funksjoner eller avbildninger  mellom to grupper som bevarer gruppestrukturen, kalles for homomorfier. Dette betyr at hvis  og   er to grupper, så er en gruppehomomorfi mellom dem en funksjon  slik at  for alle . Hvis funksjonen er både injektiv og surjektiv, så er den en isomorfi. Det betyr at gruppene er essensielt like. 

Eksemplet med gruppene bestående av {0, 1} som kombineres ved en binær addisjon og gruppen {1, -1} hvor elementene kombineres ved multiplikasjon, viser en isomorfi dem imellom. Begge kan da karakteriseres som den abstrakte gruppen C2. Likedan kan alle de like elementene i heltallsgruppen Z avbildes på +1, mens de odde tallene avbildes på -1. Dermed har man en homomorfi
 hvor uendelig mange element avbildes på en gruppe med bare to element. Dette tilsvarer ikke noe annet enn med at summen av et odde tall og et like tall alltid er et odde tall, mens summen av to odde tall er et liketall.

Sykliske grupper
En endelig, syklisk gruppe er en abelsk gruppe hvor alle elementene er potenser av et bestemt element.  Hvis dette elementet kalles g og gruppens orden er n, inneholder den  elementene  



når man benytter multiplikativ notasjon og skriver g2 = g × g og så videre. Da er enhetselementet e =  g0 =  gn. Elementet g kalles for gruppens generator eller primitive element. Hvis man istedet hadde brukt additiv notasjon, ville g × g = 2g etc. Enhetselementet blir da e = ng = 0 og kombinasjonen av element tilsvarer modulær addisjon.

Når gruppen G er generert av elementet g, skrives dette vanligvis som G = < g >. Den vanlige betegnelsen på den sykliske gruppen av orden n, er Cn eller Zn. J.B. Fraleigh, A First Course in Abstract Algebra, Addison-Wesley Publishing Company, Reading MA (1976).

De to tallene {1, -1} danner den sykliske gruppen C2 = < -1 > under vanlig multiplikasjon. Nå er disse to tallene løsningen av den enkle ligningen . Den sykliske gruppen C3 har element som er løsninger av den tilsvarende ligningen . De er det reelle tallet  og de to komplekse tallene



der i = √-1 er den  imaginære enheten. Da z12 = e 4π i /3 =   og z13  =  når man benytter Eulers likhet, er z1 et primitivt element slik at .

På lignende måte består kan man illustrere den sykliske gruppen av fjerde orden med de fire tallene C4 = {1, i, -1, -I } som kombineres ved vanlig multiplikasjon av kompelse tall. Den er generert av elementet i da i 2 = - 1 og  i 3 = - i slik at  i 4 = 1. Likedan er den sykliske gruppen med seks element generert av det komplekse tallet . Den består da av elementene {1, z, z 2, z 3, z 4, z 5}. De er løsninger av ligningen  og danner en regulær sekskant i det komplekse planet.

Symmetrigrupper 

En matematisk gruppe kan uttrykke symmetrien  til en geometrisk figur, et regelmessig mønster eller et molekyl sammensatt av mindre atomer. Slike symmetrigrupper er viktige innen fysikk og kjemi.

Som et enkelt eksempel kan man se på bokstaven A i et plan hvor den står på en horisontal x-akse mens en y-akse står vinkelrett på denne gjennom dens toppunkt. Bokstaven er nå symmetrisk om y-aksen. Man kan tenke seg et speil langs denne aksen stående vinkelrett på xy-planet slik at bokstaven blir reflektert i speilet. Det er derfor vanlig å si at y-aksen er et symmetrisk speilingsplan for denne bokstaven. Derimot er en tilsvarende refleksjon i x-aksen ingen symmetrioperasjon. 

Betegner man denne operasjonen eller transformasjonen av bokstaven med symbolet s, vil den ha to symmetrier e og s der e beskriver enhetstransformasjonen som betyr at bokstaven forblir i sin opprinnelig stilling. Disse to symmetritransformasjonene danner nå den sykliske gruppen } da  = e fordi to speilinger er det samme som ingen speiling.

Dihedral gruppe D2

D2ersxsyee  r  sx  syr r  e  sy  sx sx sx  sy  e  r sy sy  sx  r  e

En langstrukket bokstav H  har den samme symmetrien. Men denne har også en slik refleksjonssymmetri om x-aksen slik at man har to speilingsoperasjoner sx og sy i dette tilfellet. Begge er refleksjoner slik at sx2 =  sy2 = e. 

Nå kan disse to symmetrioperasjonene også kombineres. Hvis man først utfører sy og så sx, er det vanlig å skrive dette som sx × sy = sx sy. For å se hva som skjer under denne kombinerte operasjonen, tenker man seg at objektet H i dette tilfellet har tall 1, 2, 3, og 4 i hvert hjørne eller eventuelt bokstavene A, B, C og D. Da vil man se at den doble speilingen er det samme som en rotasjon r  på 180° mot klokken om en z-akse vinkelrett på xy-planet. En dobbel slik rotasjon tilsvarer  en dreievinkel 360° som er ingen rotasjon slik at . Hvis de to speilingene blir gjort i motsatt rekkefølge, kommer man frem til samme resultat. Matematisk kan det nå skrives som  = r. Lignende betraktninger viser at  = sy og  = sx.

Bokstaven H er derfor symmetrisk eller invariant under fire transformasjoner som utgjør den dihedrale gruppen med fire element }. Egenskapene til gruppen følger fra alle mulige kombinasjoner av to og to gruppeelement og kan sammenfattes i det som vanligvis kalles en Cayley-tabell etter Arthur Cayley. Denne gruppen er abelsk som man kan se fra tabellen ved at den er symmetrisk om diagonalen. Da den er generert av r og s = sx, kunne den likså godt være beskrevet som } fordi  der  = e og . Både gruppen } og } er undergrupper. Ofte blir denne gruppen også omtalt som  Kleins Vierergruppe eller 4-gruppe V4. 

Navnet dihedral har samme bakgrunn som dihedral vinkel og kommer av at man kan tenke seg at plane figurer har to sider, en forside og en bakside.

Dihedral gruppe D3

Regulære polygoner har mange symmetrier som kan uttrykkes ved større, dihedrale grupper. For eksempel, en likesidet trekant forblir uforandret hvis den

 roteres 120°, 240° eller 360° = 0° mot urvisesen om en akse vinkelrett  på trekantens plan 
 speiles gjennom tre akser S1, S2 og S0 som går gjennom hvert av hjørnene og vinkelrett mot motsatt side

D3r0r1r2s0s1s2r0r0  r1  r2  s0  s1  s2r1 r1  r2  r0  s1  s2  s0r2 r2  r0  r1  s2  s0  s1s0 s0  s2  s1  r0  r2  r1s1 s1  s0  s2  r1  r0  r2s2 s2  s1  s0  r2  r1  r0
Rotasjonen på 120° kan man tenke seg utført mot klokkeretningen og kalles r1. Da tilsvarer  en rotasjon på 240° i samme retning, mens  er enhetselementet da denne rotasjonen tar trekanten tilbake til den opprinnelige posisjonen. Elementet r1 er det inverse av r2 da  = . De tre rotasjonene {r1, r2, r0} danner den sykliske gruppen C3.

De tre speilingsaksene S1, S2 og S0 ligger fast i rommet og blir ikke påvirket av transformasjonene. Kaller mann de tilsvarende speilingsoperasjonene for 
s1, s2 og s0 vil hver av dem generere en C2 undergruppe da  og tilsvarende for de to andre elementene.

Man finner for eksempel at Produktet av to rotasjoner er alltid en ny rotasjon, mens produktet av en rotasjon og en speiling er en ny speiling. Man finner  for eksempel at ,  og . Samtidig er ,  og , Den dihedrale gruppen } med seks element er derfor ikke abelsk. Den er den minste, ikke-abelske gruppen.

Dihedrale grupper

Den dihedrale gruppen D3 er generert av de to elementene r = r1  og s = s0 da de to andre speilingstransformasjonene er gitt som  og  hvis rotasjonen r  er med klokken. Den består derfor av de seks elementene } i den vanlige notasjon hvor man utelater multiplikasjonstegnet.

Tilsvarende symmetrigrupper finnes for alle regulære polygoner, for eksempel kvadratet og femkanten. Den regulære n-kanten forblir uforandret under en rotasjon r  på 360/n grader vinkelrett på dens plan. Samtidig er den invariant under refleksjon i n forskjellige speilingsakser gjennom hjørnene og vinkelrett på motsatt side. Kaller man en av disse speilingsoperasjonene for s, så består den fulle, dihedrale  symmetrigruppen Dn av 2n element som kan skrives som



Gruppen kan betraktes som et produkt av de to sykliske gruppene Cn = < r > med rn = e og C2 = < s > hvor s 2 = e. Alle disse gruppene har den egenskap at produktet av en speiling og en rotasjon er en ny speiling, mens produktet av to speilinger er det samme som en rotasjon. Mange dihedrale symmetrier kan sees i kunst og arkitektur. H. Weyl, Symmetry, Princeton University Press, Princeton NJ (1969).

Hvert gruppelement tilsvarer en symmetritransformasjon. Dette kan illustreres ved å betrakte D4 som er symmetrigruppen for et kvadrat. Ved å tenke seg tall i dets hjørner, kan man følge med effekten av de åtte forskjellige transformasjonene. 

 140px   r0 (gjør ingenting)  140px  r1 (rotasjon 90° til høyre)  140px  r2 (rotasjon 180° til høyre)  140px  r3 (rotasjon 270° til høyre) 140px  s0 (horisontal speiling)  140px  s1 (speiling i 24-diagonal) 140px  s2 (vertikal speiling)  140px  s3 (speiling i 13-diagonal) Elementene i symmetrigruppen D4 til et kvadrat. Hjørnene er bare fargelagt og nummerert for å visualisere operasjonene.

Disse består først av fire rotasjoner med klokken på 0°, 90°, 180° og 360° om dets sentrum beskrevet ved gruppelementene , ,  og . I tillegg inneholder gruppen fire speilingstransformasjoner. Hvis  beskriver en speiling om den horisontale midtlinjen mellom to sidekanter, vil  speile om diagonalen som går fra sydvest til nordøst,  speile om den vertikale midtlinjen, mens  speiler om diagonalen fra det sydøstre til nordvestre hjørnet.

Transformasjonsgrupper

Når en symmetrigruppe virker på en figur eller et objekt som har gruppens fulle symmetri, blir det transformert over i en identisk utgave av seg selv. Men hvert gruppeelement representerer en bestemt operasjon eller transformasjon i rommet og kan også virke på andre objekt med mindre eller ingen tilsvarende symmetri. Når dette objektet er i en viss tilstand, vil det derfor kunne bli bragt over i andre tilstander ved at gruppens element eller operasjoner virker på det. 

Gruppelementene kombineres på samme måte som før og er gitt ved dens Cayley-tabell. Men i dette generelle tilfellet er det mer korrekt å si at gruppen ikke lenger er en symmetrigruppe, men virker som en transformasjonsgruppe. De opptrer i mange sammenhenger i teoretisk fysikk.

På lignende måte kan man illustrere effekten av den dihedrale gruppen D3 = < r, s > med r 3 = s 2 = e. Man kan tenke seg at r står for en rotasjon på 120° i det komplekse planet og derfor er representert ved det komplekse tallet r =  e 2π i /3. Videre kan s representere kompleks konjugasjon. Begge disse operasjonene virker på det komplekse tallet e iθ  hvor θ er en vilkårlig vinkel. Denne vil da forandres når de seks gruppelementene virker på tallet. For eksempel ser man at



Derfor er rs = sr 2 oppfylt eller r1s0 = s0r2 i den opprinnelig notasjonen. Det viser at denne avbildningen av D3 på operasjoner  i det komplekse planet er en isomorfi.

Permutasjonsgrupper
For å se hvordan transformasjonene i gruppen D3 virker på en likesidet trekant, kan man merke dens hjørner med tall slik at utgangsposisjonen er 123, det vil si at tallene 1, 2 og 3 følger etter hverandre i en retning mot urviseren på en klokke. En rotasjon på 120° vil da transformere trekanten til 312, mens en speiling om en akse vinkelrett på siden 12, vil bringe den over i posisjon 213. Hver posisjon av trekanten er derfor gitt ved en permutasjon av de tre tallene 1, 2 og 3. Det er ialt 3! = 6 forskjellige slike posisjoner som i dette tilfellet er lik med antall element i symmetrigruppen.

De seks forskjellige posisjonene til trekanten kan genereres ved to enkle operasjoner som er transposisjoner. Den ene  bytter om tallene 1 og 2 og  bytter om tallene 1 og 3. Geometrisk kan man tenke seg at a er en refleksjon om speilingsaksen gjennom hjørne 3 når denne følger med trekanten under de forskjellige transformasjonene, mens b er en speiling rundt aksen gjennom hjørne 2 på samme måte. Effekten av disse elementære operasjonene blir dermed
 e : 123 → 123 
 a : 123 → 213
 b : 123 → 321
 ab : 123 → 312
 ba : 123 → 231
 aba : 123 → 132

hvor e = a 2 = b 2 er enhetselementet. Produktet ab representerer en rotasjon 120° mot klokken, mens ba er en tilsvarende rotasjon i motsatt retning. Det inverse elementet til ab er derfor (ab)-1 = ba som bekreftes ved at  = . På samme vis gir (ab)2 = abab en rotasjon 240° mot klokken slik at (ab)3 = e tar trekanten  tilbake til utgangsposisjonen.

Permutasjon av n forskjellige objekt gir opphav til permutasjonsgruppen Sn  med n ! element. I det spesielle tilfellet at n = 3 ser man at S3 er isomorf med den dihedrale gruppen D3. Dette gjelder ikke for de større, dihedrale gruppene. Men generelt har Cayley vist at enhver gruppe av orden n er isomorf med en undergruppe til Sn.

Kontinuerlige grupper

De reelle tallene R danner en kontinuerlig gruppe under addisjon med 0 som enhetselement. Den kan også betraktes som en transformasjonsgruppe definert ved at det reelle tallet x blir transformert til  hvor a også et reelt tall. Det er her en parameter som karakteriserer transformasjonen . Tenker man seg x som et punkt på den reelle tallinjen, så representerer denne transformasjonen en translasjon T(a) definert ved 



Produktet av to translasjoner er T(a)T(b) = T(a + b) og T(a) har et invers element som er T -1(a) = T(-a). Denne  kontinuerlige gruppen er det enkleste eksempel på det som kalles en 1-parameter Lie-gruppe etter den norske matematiker Sophus Lie.

Ved bruk av eksponentialfunksjonen har man isomorfien  T(a)  = e ka hvor k er en vilkårlig konstant som er den samme for alle elementene i gruppen. Denne funksjonen spiller en sentral rolle i beskrivelsen av alle Lie-grupper. R. Gilmore, Lie Groups, Lie Algebras and Some of Their Applications, John Wiley & Sons, New York (1974). ISBN 0-471-30179-5.

Rotasjoner
Et punkt på enhetssirkelen kan angis ved en vinkel θ som varierer fra 0° til 360°. Roterer man dette punktet en vinkel φ mot klokken, ender det opp i punktet θ + φ. Slik rotasjoner danner også en 1-parameter Lie-gruppe hvor rotasjonsvinkelen φ er parameteren til gruppen. Skriver man et element i denne trappen som R(φ), vil da produktet av to rotasjoner gi en tredje rotasjon ). Hvert element kan derfor skrives på en tilsvarende måte som for 1-parameter translasjoner, men med den forskjell at en rotasjon på 360° skal føre punktet tilbake til utgangspunktet og derfor representere enhetselementet i gruppen. Det oppnås nå ved å skrive hvert element som



hvor n er et heltall og vinkelen φ uttrykkes i radianer. Enhetselementet e = R(2π ) følger nå fra Eulers likhet .

Tallet n sies å angi representasjonen man benytter av denne rotasjonsgruppen. I det enkleste tilfelle er n = 1 som gir den fundamentale representasjonen. Den kan illustreres i det komplekse planet ved å rotere det komplekse tallet  som danner vinkelen θ med x-aksen. En rotasjon R(φ) tilsvarer da å multiplisere z med  som gir det nye tallet  Skriver man  og benytter Eulers formel til å skrive , finner man at  resultatet blir  hvor



Dette er den vanlige formen for en rotasjon φ i xy-planet.

Translasjoner i rommet kommuterer med hverandre. Beveger man seg for eksempel 10 m langs x-aksen og så 20 m langs y-aksen, kommer man frem til samme punkt som når man først flytter seg like langt langs y-aksen og så langs x-aksen. Den tredimensjonale translasjonsgruppen er derfor abelsk. Det er derimot ikke den tredimensjonale rotasjonsgruppen. Roterer man for eksempel en bok 180° om x-aksen og så 180° om y-aksen, blir ikke resultatet det samme om man gjør de to operasjonene i motsatt rekkefølge.

 Historie 

Den opprinnelige motivasjonen for gruppeteori var å finne løsninger av polynomligninger av grad høyere enn fjerdegradsligningen.
På slutten av 1700-tallet viste Lagrange at ombytte eller permutasjoner av røttene kunne gi bedre innsikt i egenskapene til løsningene. Dette arbeidet ble videreført av Ruffini som ved århundreskiftet viste at femtegradsligningen generelt ikke lar seg løse ved algebraiske metoder. 

Noen år senere fant Abel en feil i dette beviset selv om konklusjonen var korrekt. Men noen femtegradsløsninger lar seg løse. Abel kom frem til visse egenskaper  som ligningen da må ha. Omtrent samtidig klarte Galois å komme frem til en mer generell klassifisering av løsbare polynomligninger ved å kunne assosiere en viss  Galois-gruppe med hver slik ligning. Denne er basert på permutasjoner av røttene til ligningen. Hvis denne har  grad n, er Galois-gruppen en undergruppe av den symmetriske gruppen Sn.  Ligningen har en algebraisk løsning for spesielle egenskaper ved denne gruppen.

Ideene til Galois ble først avvist av hans samtidige, og de ble publisert etter hans død. De regnes ofte som begynnelsen på gruppeteorien. Mer generelle undersøkelser av permutasjonsgruppen ble i de følgende årene gjennomført av Cauchy. På midten av 1800-tallet ga  Cayley den første abstrakte, definisjonen av en endelig gruppe.

Geometri var det andre feltet hvor grupper ble brukt systematisk. Dette var spesielt en sentral del av Kleins Erlangen-program fra 1872. Etter som hyperbolsk og projektiv geometri ble oppdaget, brukte Klein gruppeteori til å systematisere dem. Lie hadde nær kontakt med Klein i disse årene og begynte å studere kontinuerlige grupper i forbindelse med transformasjoner av differensialligninger. Siden har disse gruppene blitt omtalt som Lie-grupper. H. Wussing, The Genesis of the Abstract Group Concept, Dover Publications, New York (1984). ISBN 0-486-45868-7.

Se også

 Gruppeteori
 Lie-grupper

 Referanser 

Eksterne lenker

 MT3818,  Symmetry groups of plane figures, forelesning ved University of St. Andrews, Scotland.
 F. Oggier and A.M. Bruckstein, Groups and symmetries , forelesninger ved NTU, Singapore (2014).

Kategori:Gruppeteori
Kategori: Symmetri
Kategori:Matematiske strukturer