Partiell derivasjon

Notasjonen for den partiellderiverte for ein funksjon  med variablane  med omsyn på  skriv ein som oftast på forma



men ein også skriva han som . Ein les "den partiellderiverte av  med omsyn på ".

∂, ein stilisert kursiv d, blir brukt for å visa til partiellderiverte og skil det frå deriverte av einvariable funksjonar, .

Den deriverte til ein einvariabla funksjon er stigningstalet til tangenten i punktet . I ein funksjon med to variablar er det uendeleg mange tangentar i kvart punkt , men som oftast er det tangentane parallellt til enten  eller -aksen som er av høgst interesse. Når ein partiellderiverer finn vi stigningstalet til ein av desse to tangentane.

 Definisjon 

 R2 
La  vere ein funksjon av to variablar,  og .

Den partiellderiverte til  med omsyn på  er definert som

 ,

dersom grenseverdien eksisterer.

Korresponderande er den pariellderiverte med omsyn på  definert slik:



 Rn 
Vi kan generalisere definisjonen i andredimensjon til å gjelde for alle dimensjonar

La  vere ein funksjon av  variablar, .

Vi definerer den partiellderiverte til  med omsyn på  slik:



Kvar funksjon i  har  partiellderiverte; ein til kvar variabel.

 Eksempel i R2 
Vi har funksjonen 



Når ein partiellderiverer med hensyn på ein variabel behandlar vi den andre som konstant. Dei to partiellderiverte til  er dermed



Stigningstalet til tangenten parallelt med -aksen i punkt (1,1) er



Tilsvarande har vi stigingstalet til tangenten parallelt med -aksen:



 Partiellderiverte av høgre orden 
Slik som for funksjonar med ein variabel, kan vi definere partiellderiverte av høgre orden for funksjonar med fleire variablar. Dersom ein partiellderivert er deriverbar kan ein fortsette å derivere med omsyn på same eller ein anna variabel så langt det let seg gjere.

Deriverer vi ein førstepartiellderivert med same variabel finn vi den andrepartiellderiverte, og skriv følgjande notasjonar:



Deriverer vi med ein anna variabel får vi ein kryssa andrepartiellderivert



Symmetrien eller likskapen av andre partiellderiverte fastslår at rekkjefølgja for å oppnå ein kryssa andrepartiellderivert er likegyldig



Deriverer vi ein andrepartiellderivert får vi ein tredjepartiellderivert, og så vidare... Deriverer vi ein funksjon -gongar med same variabel får vi n-te ordens partiellderivert



Vi får ein n-te ordens kryssa partiellderivert dersom vi deriverer ein funksjon  gongar med  ulike variablar



 Sjå også 

 Retningsderivert
 Gradient
 Hessematrisen

 Kjelder 

Kategori:Matematisk analyse
Kategori:Funksjonar
Kategori:Differensialrekning
Kategori:Differensiallikningar