Newtons metode

Newtons metode i kalkulus, òg kjend som Newton-Raphson-metoden, er ein iterativ metode for å finna nullpunkta til ein gjeven funksjon , altså løysinga av . 

Han må ikkje blandast saman med newtons metode i optimering, som baserer seg på å finna stasjonære punkt for ein gjeven funksjon .

 Definisjon 
Gjeve eit startpunkt  som den iterative metoden startar frå og ein funksjon  ein ønskjer å finna nullpunkta til, så er newtons algoritme i kalkulus gjeven som

Her er  den deriverte av . Under særskilde føresetnadar bundne av valet av startpunkt , så vil følgja  konvergera mot løysinga . 

I det høvet der  er ein vektorvaluert funksjon, så vert dette:

 er her kjend som jakobimatrisa for funksjonen . 

 Utleiing av definisjon 
Ein ønskjer å finna nullpunkta for ein funksjon , altså løysinga av  ved ein iterativ algoritme på forma:

som vil konvergera mot løysinga  gjeve eit særskilt startpunkt  og eit steg . Me ønskjer i denne seksjonen å motivera steget . For eit gjeve punkt  så ønskjer me å tilnærma funksjonen  i punktet og analysera kva for ein  for eit punkt  som fører til at ein går mot eit minimum,

altså ei løysing av . Newtons metode går ut på å gjera dette og å tilnærma funksjonen i punktet ved hjelp av taylorpolynom.

For ein fleirvariabels funksjon  så er taylorpolynomtilnærminga av funksjonen  gjeven som:

Det vert då nytta ei førsteordens taylorpolynomtilnærming av funksjonen i punktet, som er ei rett linje og er tangent til punktet :

Me finn den -en sånn at denne tilnærminga (tangentfunksjonen) er 0. Løyser ein dette ( med omsyn på ), så får ein newtonsteget:

Newtonsteget i Newtons metode i kalkulus er altså utleitt frå ei førsteordens taylorpolynomtilnærming for funksjonen. For denne tilnærminga løyser ein  med omsyn på . Ein får då punktet  som minimerer tangentfunksjonen i punktet .

Ut i frå , så får me då: 

Kategori:Kalkulus
Kategori:Algoritmar
Kategori:Matematikk