Gram–Schmidts ortogonaliseringsprossess

Gram–Schmidts ortogonaliseringsprossess er ein algoritme for å generera ein ortonormalisert basis (ortogonal basis med norm 1) frå ei gjeven mengde vektorar knytte til eit indreproduktrom med eit gjeve skalarprodukt .

Metoden vart oppkalla etter Erhard Schmidt og Jørgen Pedersen Gram, sjølv om han tidlegare vart teken i bruk i verka til Laplace og Cauchy.

Han vert nytta i dei høva ein ønskjer ein ortonormal/ortogonal basis. Å finna QR-faktoriseringa av ei matrise er i røynda Gram-Schmidts ortogonaliseringsprossess.

 Algoritme 
Algoritmen er basert på definisjonen av projeksjonar. Ein projeksjon er definert som;

La  vera resulatet av algoritmen, altså den ortonormale basisen. La  vera vektorane det skal konstruerast ein ortonormal basis av. Ein let  og normaliserer vektoren. Vidare vert vektoren  projektert på vektoren . Ut i frå dette vert vektoren som står ortogonalt på denne projeksjonen, altså  . Vidare vert  projektert på flata utspend av  og .  Vektoren som står ortogonalt på denne flata er . Med andre ord så vert .  Slik held algoritmen fram til ein har konstruert ein ortonormal basis.

Heile algoritmen kan oppsummerast stegvis som

For kvart steg vert vektoren normalisert.

Kjelder

Denne artikkelen bygger på «Gram–Schmidts ortogonaliseringsprocess» frå ,  den 8. september 2019.  

Kategori:Lineær algebra
Kategori:Algoritmar