LU-faktorisering

Ei LU-faktorisering innanføre lineær algebra er ei matrisefaktorisering som deler opp ei matrise til i ei nedre triangulær matrise og ei øvre triangulær matrise. LU-faktoriseringa finst for alle kvadratiske matriser og er numerisk stabil. Ho har fleire bruksområde særleg innanføre numerisk lineær algebra, mellom anna for å løysa likningssystem, finna determinantar, rekna ut invers og å undersøkja om ei gjeven matrise er singulær.

 Definisjon 
LU-faktoriseringa finst for alle kvadratiske matriser og er definert til å vera

Her er L er ei nedre triangulær matrise medan U er ei øvre triangulær matrise. 

 Motivering 
LU faktoriseringa kan motiverast fullt og heilt ut frå gaussisk eliminasjon på ei matrise A til ho vert ei øvre triangulær matrise U.

Kvar operasjon på ein rad i den gaussiske eliminasjonen kan uttrykkjast ved elementære matriser der eit tal x på indeks  i matrisa svarar til å leggja rad m gongar verdien x til rad n. For å få matrisa A på ei øvre triangulær form så vert kvar radoperasjon å leggja ein rad til ein rad under. I den elementære matrisa svarer dette til at n alltid vil vera større eller lik m. Altså vil alle elementærmatrisene  vera nedre triangulære.

Produkt av nedre triangulære matriser er også ei nedre triangulær matrise. Inversen av ei nedre triangulær matrise er også nedre triangulær. Altså vil;

Ein kan rekna ut LU-faktoriseringa direkte ved å finna dei elementære matrisene, men numerisk er ikkje dette ei optimal løysing.

 Bruksområde 

 Løysa likningssystem 
Ettersom LU-faktoriseringa faktoriserer i to triangulære matriser kan ein nytta forlengssubstitusjon etterfølgd av baklengssubstitusjon for å finna løysinga. Dette kan vera ein god del meir rekneeffektivt enn å nytta gaussisk eliminasjon direkte.

Når ein har ei LU faktorisering av matrisa  så kan ein løysa systemet ved  ved først framlengssubstitusjon etterfølgd av baklengssubstitusjon. Ein løyser først systemet med nedre triangulære matrisa  ved framlengssubstitusjon og finn y. Ein gjev dette til systemet med den øvre triangulære matrisa  og nyttar baklengssubstitusjon for å løysa det øvre triangulære likningssystemet og finn x.

 Inversutrekning 
Inversen av ei matrise A rekna ut i frå LU-faktoriseringa hennar er gjeven som:

 Singularitet 
Om alle diagonalelement i både L og U er noko anna enn 0, så er matrisa ikkje-singulær.

 Determinant 
Determinanten kan reknast ut ved

Kategori:Lineær algebra
Kategori:Matriser