Kepler-problemet

Kepler-problemet er problemet med å avgjere vinkelen mellom to radiar som avgrensar ein elliptisk sektor med kjent areal. Dette spelar ei særs viktig rolle i teorien for planetrørslene. 

Matematisk definisjon

Den sentrale krafta F som varierer i styrke med omvendte kvadratet av avstanden r mellom dei:

der k er ein konstant og  syner til einingsvektoren langs linja mellom dei.  Krafta kan vere anten tiltrekkjande (k<0) eller fråstøytande (k>0). Den samsvarande skalare potensialet (den potensielle energien til ein ikkje-sentral lekam) er:

Løysinga på Kepler-problemet

Rørslelikninga for radien  til ein partikkel med masse  som flyttar seg i eit sentralt potensial  er gjeven av Lagrange-likningane 

 og vinkelmomentet  er bevart.  For å illustrere dette er det første leddet på venstesida null for sirkelforma omlaup, og den nytta innoverretta krafta  er lik sentripetalkrafta , som venta.

Om L er ulik null så let definisjonen av vinkelmoment ei endring av den sjølvstendige variabelen frå  til 

gjeven den nye rørslelikninga som er tidsuavhengig



Utvidinga av første leddet er



Denne likninga vert kvasilineær når ein byter variablane  og multipliserer begge sider med   





Etter å byte inn og omarrangere:

For ei omvendt kvadratlov som gravitasjons- eller elektrostatisk potensial, kan potensialet skrivast


Banen  kan ein få frå den generelle likninga

der løysinga er konstanten  pluss ei enkel sinuskurve

der  (eksentrisiteten) og  (faseforskyvinga) er konstantar i integrasjonen. 

Dette er den generelle formelen for eit kjeglesnitt som har eit focus i origio;   svarar til ein sirkel,  svarar til ein ellipse,  svarar til ein parabel, og  svarar til ein hyperbel. Eksentrisiteten  er knytt til den totale energien  (jf. Laplace–Runge–Lenz-vektor)

Samanliknar ein desse likningane syner ein at  svarar til ein ellipse (alle løysingar som er tette banar er ellipsar),  varar til ein parabel, og  svarar til ein hyperbel.  for perfekte sirkelforma banar (den sentrale krafta er nøyaktig lik sentripetalkrafta, som avgjer den påkravde vinkelfarten for ein gjeven sirkelradius.

For ei fråstøytande kraft (k > 0) gjeld berre e > 1.

Kjelder
Denne artikkelen bygger på «Kepler problem» frå ,  den 20. juni 2016. 
 oppgav desse kjeldene:

Kategori:Klassisk mekanikk
Kategori:Johannes Kepler