Metrisk rom

Eit metrisk rom i matematikk er ei mengd der det er definert ein metrikk eller eit avstandsmål mellom to vilkårlege element i mengda.

Eit metrisk rom har ein struktur berre bygd opp omkring avstanden mellom to objekt, og definisjonen gjer det mogleg å studere matematiske samanhengar basert på dei formelle eigenskapane til avstandsmålet. Eit matematisk resultat der beviset byggjer eine og åleine på dei generelle eigenskapane til ein metrikk, vil vere gyldig i alle metriske rom.

 Formell definisjon 
Eit metrisk rom  er ei mengd  der det er definert ein metrikk , det vil seie ein funksjon som for to element i mengda returnerer eit ikkje-negativ reelt tal: 

Funksjonen må oppfylle følgjande aksiom. For alle , har me

 (ikkje-negativitet) 
  viss og berre viss 
 (symmetri) 
 (trekantulikskapen) 

 Komplette metriske rom 
Eit metrisk rom  blir sagt å vere komplett dersom ei kvar Cauchyfølgje konvergerer til eit element som òg ligg i .

Mengda av reelle tal  under metrikken  er eit komplett metrisk rom. Det er derimot ikkje mengda av rasjonale tal  med same metrikk. I  er det mogleg å konstruere Cauchyfølgjer som konvergerer mot eit grense som sjølv ikkje er eit rasjonalt tal. 

 -omegn 
Ein  -omegn til eit element  i eit metrisk rom  er definert som ei mengd



Ei punktert -omegn er definert tilsvarande ved å ekskludere elementet :

 Avgrensa mengd i eit metrisk rom 
Ei undermengd  i eit metrisk rom  er avgrensa dersom det eksisterer eit objekt  og ein positiv konstant  slik at for alle 

 Døme på metriske rom 
 Mengda av reelle tal  under metrikken  er eit metrisk rom. Meir generelt er alle dei euklidske romma  metrisk rom.  
 Eit kvart normert vektorrom er òg eit metrisk rom definert med metrikken .

Kjelder
Denne artikkelen bygger på «Metrisk rom» frå ,  den 14. januar 2012.  


Kategori:Matematisk analyse
Kategori:Matematiske strukturar
Kategori:Metrisk geometri
Kategori:Topologi