Polarkoordinatsystem

Eit polarkoordinatsystem er eit koordinatsystem der kvart punkt i eit  plan er avgjort ut ifrå avstanden frå eit gjeve punkt (vanlegvis origo) og vinkel i tilhøve til x-aksen. I eit vanleg kartesisk koordinatsystem blir punkta avgjort ut ifrå avstanden til kvar koordinatakse.

Prinsippet i polarkoordinatar er at ein angjev alle punkt ved hjelp av følgjande informasjon:
 Punktet sin vinkel (gradar eller radianar ) i tilhøve til kva ein ville kalle x-aksen i eit rektangulært koordinatsystem, θ.
 Punktet sin avstand frå origo, r.

 Konvertering mellom polare og kartesiske koordinatar 
mini|250px|Ein figur som viser tilhøvet mellom polare og kartesiske koordinatar.
Omrekning av polarkoordinatar til kartesiske koordinatar kan gjerast ved:

Medan omrekninga frå kartesiske koordinatar til polarkoordinatar kan gjerast ved: 
 (gjeven ved Pythagoras’ læresetning),  og

Alle desse formlene føreset at referansepunktet for polarkoordinatsystemet er origo. 
Arcsinfunksjonen er den inverse funksjonen til sinusfunksjonen og gjev ei løysing i intervallet [−π/2,+π/2], så formelen for θ vil gje ei løysing i intervallet [−π/2,+π/2].  
Dersom ein vil finne θ i intervallet [0, 2π) kan ein òg bruke:

 Bruk av polarkoordinatar 
mini|En sirkel

Ei likning uttrykt i polarkoordinatar er kjent som ei polar likning. Normalt er desse likningane gjevne ved å definere r som ein funksjon av θ. Denne definisjonen gjev visse fordeler i bruken av polarkoordinatar i tilhøve til kva ein kan oppnå med rektangulære. Særleg fordelaktig er det å bruke polarkoordinatar der det inngår noko sirkulært. Det enklaste tenkjelege dømet er å framstille ein sirkel. Her er definisjonen av ein sirkel med radius 1. 

Lengda til det rørlege punktet vert altså sett til konstant å vere lik éin, som altså er avstanden frå origo til periferien. Deretter blir sett vinkelen til å variere mellom dei 0 og 2π eksklusiv (eller 0 og 360° i vinklar), der heile sirkelen er med.

 Arkimedisk spiral 
mini|Ein arm av ein arkimedisk spiral likninga r(θ) = θ for 0 < θ < 6π
Ein arkimedisk spiral er ein spiral som vart oppdaga av Arkimedes, som kan forklarast med polarkoordinatar. Spiralen har formelen 

Ved å forandre a vil spiralen skifte form, medan b er distansen mellom kurvene, som for ein gjeven spiral alltid er konstant. Den arkimediske spiralen har to kurver, ein for θ > 0 og ein for θ < 0. Dei to kurvene startar i origo. Sett bort frå kjeglesnitta var denne kurven av dei første til å bli skildra. Kurva er òg eit godt døme på kurver som blir best skildra med polarkoordinater.

 Polar rose 
mini|Ei polar rose med likning: 
Ei polar rose er ei matematisk kurve som ser ut som ein blome med kronblad og kan defineres som ei enkel polar likning: 

For ein kvar konstant  (inkludert 0). Dersom k er eit heiltal vil desse likningane gje kurver der «blomen» har k kronblad når k  er eit oddetal og 2k  kronblad når  k er eit partal. Dersom k er eit rasjonalt tal, men ikkje eit heiltal vil ein òg få fram ein blome der kronblada overlappar kvarandre. Her må derimot definisjonsintervallet for kurva vere større enn [0, 2π) for at «blomen» skal bli komplett. Merk at det er umogeleg å definere ei kurve der ein får , der n er eit heiltal, kronblad.
Variabelen a gjev lengda på kronblada.

 Kjeglesnitt 
Alle kjeglesnitta kan òg uttrykkast ved hjelp av polarkoordinatar gjennom formelen:



Der e er eksentrisiteten. og  er semi latus rectum

Dersom , vil likninga gje ein hyperbel;   gjev ein parabel medan  gjev ein ellipse. Spesialtilfellet  vil gje ein sirkel mad radius  .

 Bruk i tre dimensjonar 
Polarkoordinatar kan òg nyttast til bruk i tre dimensjonar. Kulekoordinatar og sylinderkoordinatar inneheld begge polarkoordinatplanet, utvida med ein ekstra akse.

 Sylinderkoordinatar 
mini|250px|Punktet P plotta med sylinderkoordinatar
Sylinderkoordinatsystemet er ei utviding av polarkoordinatar med ein ekstra z-akse, på same måte som det kartesiske koordinatsystemet i tre dimensjonar. Den tredje koordinaten er vanlegvis uttrykt med ein h eller ein z, som skildrar høgda til det øvre planet i sylinderen. Alle tre koordinatane blir då skrive (r, θ, h).

Samanhengen mellom dei tre sylinderkoordinatane og dei respektive kartesiske koordinatane blir

 Kulekoordinatar 
mini|250px|Punktet P plotta med kulekoordinatar
Kulekoordinatsystemet er eit koordinatsystem basert på polarkoordinatar. Kulekoordinatar skil seg frå polarkoordinatar ved at høgda frå xy-planet blir skildra av ein vinkel φ frå z-aksen, og at radiusen på xy-planet r er skildra med ρ som er radiusen frå origo til flata til ein lekam på eit vilkårleg punkt. Vinkelen til φ varierer med storleikane 0°-180° eller 0-π radianar. Alle dei tre koordinatane blir då skrive (ρ, θ, φ).

Samanhengen mellom dei tre kulekoordinatane og dei respektive kartesiske koordinatane blir;

 Kjelder 
 Denne artikkelen bygger på «Polarkoordinatsystem» frå ,  den 9. januar 2012.  


Kategori:Koordinatsystem