Statistisk forventning

Forventning eller forventningsverdi er ein storleik innan sannsynsrekning. Forventninga til ein stokastisk variabel er ein verdi, slik at viss ein gjentek eksperimentet som ligg til grunn for variabelen mange gonger, vil gjennomsnittet av utfalla nærme seg forventninga.
I det diskrete tilfellet er forventninga lik summen av sannsynet for kvart utfall, multiplisert med verdien av dette utfallet.

For ein stokastisk variabel X, skriv ein E[X] for forventningsverdien til X.

 Definisjon 

 Forventningsverdien til ein diskret stokastisk variabel  
Viss X er ein diskret stokastisk variabel, og tek verdiane x1, x2, ... med sannsyn høvesvis p1, p2, ... så er forventningsverdien E(X) gjeven ved

Viss X kan ta teljeleg uendeleg mange forskjellige verdiar, er denne summen ei uendeleg rekkje. I dette tilfellet eksisterer forventningsverdien E[X] berre viss denne rekkja konvergerer absolutt.

 Forventningsverdien til ein stokastisk variabel med tettleiksfunksjon 

Viss ein stokastisk variabel X har tettleiksfunksjon f(x), er forventningsverdien gjeven ved

Forventningsverdien eksisterer berre viss integralet  konvergerer.

 Generell definisjon 

Generelt blir forventningsverdien definert som følgjer: Viss X er ein P-integrerbar stokastisk variabel frå eit sannsynsrom (Ω, Σ, P) til , der B er den borelske σ-algebra over  så definerast :

 Empirisk forventning 
Den empiriske motsatsen til forventning er gjennomsnittet.
Forventning estimerast ofte ved gjennomsnitt og trimma gjennomsnitt og for symmetriske fordelingar òg ved medianen.

 Eigenskapar 

Forventning er ein lineær operator, så for vilkårlege konstantar  og  og ein stokastisk variabel  gjeld

 Døme

Eit døme på ein diskret stokastisk variabel er gjennomsnittsresultatet av ei nlang serie med kast (100 eller fleire) med ein terning med 1-6 «auge» på sidene.  Er terningen rett, dvs. riktig balansert, har kvar av sidene sannsynet 1/6 for å visast. Forventa mengd auge blir då 1/6 x 1 + 1/6 x 2 + 1/6 x 3 + 1/6 x 4 + 1/6 x 5 + 1/6 x 6 = 3,5. 

Kjelder
Denne artikkelen bygger på «Forventning» frå ,  den 15. februar 2012.  


Kategori:Sannsynsteori
Kategori:Sannsynsfordelingar