Abel-teoremet

Abel-teoremet eller Abels teorem er eit matematisk teorem for potensrekkjer som knyter grenseverdien til summen av koeffisientane. Det har namn etter opphavsmannen, den norske matematikaren Niels Henrik Abel. 

Teoremet
Teoremet seier at om ein potensserie av reelle tal konvergerer for ein positiv verdi av argumentet til funksjonen, vil definisjonsmengda til ein uniform konvergens minst gå opp til og med dette punktet.Abel's Convergence Theorem ved Wolfram Mathworld

Uttrykt matematisk:

La a = {ai: i ≥ 0} vera ei vilkårleg rekkje av reelle eller komplekse tal, 
og la  vera potensrekkja med koeffisientane a. 

Gå ut frå at rekkja   konvergerer.  

Då vil 

I det spesielle tilfellet der alle koeffisientane ai
er reelle og ai ≥ 0 for alle i, vil uttrykket over
 gjelda også når rekkja  ikkje konvergerer. I dette tilfellet er begge sidene av
uttrykket lik +∞.

I ein meir generell versjon av dette teoremet gjeld dette: Viss r er eit tilfeldig reelt tal ulik null og rekkja  konvergerer for dette talet, følgjer det at  om me tolkar grensa for dette uttrykket som ei einsidig grense, frå venstre viss r er positiv og frå høyre viss r er negativ.

Eksempel
La  Då  konvergerer (av konvergenskriteriet for alternerande rekkjer), følgjer


La  Igjen følgjer det av konvergenskriteriet for alternerande rekkjer at  konvergerer, og at


Bruksområde
Bruken av Abel-teoremet er knytt til at det gjer det mogleg å finna grensa til ei potensrekkje mens argumentet  (dvs. z) nærmar seg 1 nedanfrå, sjølv i høve der konvergens radius R, for potensrekkja er lik 1 og ein ikkje kan fastslå om grensa burde vera endeleg eller ikkje. Sjå til dømes binomialrekkjene.

Ga(z) blir kalla den genererande funksjonen for sekvensen a.  Abel-teoremet er ofte nyttig ved generering av funksjonar med sekvensar av reelle ikkje-negative verdiar, som sannsynsgenereande funksjonar.  Det er særleg nyttig i teorien om Galton-Watson-prosessar.

Bakgrunnsstoff
Kari og Per Hag,  Niels Henrik Abel og uendelige rekker - et tema i fagdidaktikken! , Tangenten nr. 1 1999
Karl Egil Aubert, Abels addisjonsteorem (PDF) ved abelprisen.no
 Abel summability ved PlanetMath
 A.A. Zakharov (2001), Abel summeringsmetode, i Hazewinkel, Michiel, Encyclopaedia of Mathematics, Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1556080104

Kjelder
Denne artikkelen bygger på «Abels teorem» frå ,  den 16. november 2011.  


Kategori:Matematiske rekkjer
Kategori:Matematiske teorem
Teoremet