Fakultet i matematikk

n n! 0  1 1  1 2  2 3  6 4  24 5  120 6  720 7   8   9   10   15   20   25   50   70   100   170   171   450                          10   10   10
Fakultet eller n-fakultet er i matematikk ein  funksjon som bereknar produktet av dei naturlege tala frå 1 til n. Funksjonen er skriven som symbolet n!, som blir lese som n-fakultet.

Døme: 

 Definisjon 
Formelt kan ein definere n-fakultet som

eller  rekursivt ved

.

Begge definisjonane inkluderer spesialtillfellet 

Funksjonsverdiane definerer ei uendeleg talfølgje som byrjar med 1, 1, 2, 6, 24, 120, 720, 5040, 40320, 362880, 3628800 ...

 Bruk 
Fakultet opptrer naturleg i mange problem i kombinatorikk: Mengda måtar ein kan ordne n objekt i rekkefølgje er lik n!. Mengda måtar ein kan velje ut k objekt frå ei samling på n  objekt er gjeven ved binomialkoeffisienten, definert ved

Bruken av fakultet forenklar òg notasjonen i arbeid med følgjer og rekker. Den matematiske konstanten e kan til dømes definerast som



 Vekstrate 
300px|mini|Plott av den naturlege logaritmen til n! 
Når n  aukar vil n-fakultet vokse fortare enn eit vilkårleg polynom p(n) samt fortare enn eksponensialfunksjonen med argument n. Ein  asymptotisk tilnærming av n! er gjeven ved Stirlings formel,


Frå Stirlings formel kan ein òg utleie ei enkel tilnærming for den naturlege logaritmen til n! ,

Frå dette kan ein sjå at log n! er av  orden  n log n, eit resultat som er viktig for analyse av sorteringsalgoritmer.

 Gammafunksjonen 
mini|Gammafunksjonen

Gammafunksjonen er ei generalisering av fakultet, der definisjonsområdet er utvida frå dei naturlege tala til å omfatte alle relle tal. Funksjonen er definert ved



For heile, positive tal og null  gjeld det at



 Historie 
Notasjonen n! vart innført av den franske matematikeren Christian Kramp i 1808, i verket Éléments d'arithmétique universelle.

Kjelder
Denne artikkelen bygger på «Fakultet (matematikk)» frå ,  den 11. september 2011.  


Bakgrunnsstoff
 factorielle.free.fr

Kategori:Heiltalsfølgjer
Kategori:Kombinatorikk
Kategori:Talteori
Kategori:Funksjonar