Hyperbolsk funksjon

Ein hyperbolsk funksjon er funksjonane sinh (sinus hyperbolicus), cosh (cosinus hyperbolicus), tanh (tangens hyperbolicus), coth (cotangens hyperbolicus), sech (secans hyperbolicus) og csch (cosecans hyperbolicus).

Her er e grunntalet i det naturlege logaritmesystemet.

Dei hyperbolske funksjonane har eigenskapar som er analoge med dei trigonometriske funksjonane. På same måte som  og  kan nyttast til å parametrisere ein sirkel, kan dei hyperbolske funksjonane  og  parametrisere ein hyperbel. 

Standard algebraiske uttrykk
256px|thumb|sinh, cosh og tanh
256px|thumb|csch, sech og coth
Dei hyperbolske funksjonane er :

 Hyperbolsk sinus:

 Hyperbolsk cosinus:

 Hyperbolsk tangens:

 Hyperbolsk cotangens:

 Hyperbolsk secans:

 Hyperbolsk cosecans:

Hyperbolske funksjonane kan introduserast via imaginære sirkelvinklar:

 Hyperbolsk sinus:

 Hyperbolsk cosinus:

 Hyperbolsk tangens:

 Hyperbolsk cotangens:

 Hyperbolsk sekant:

 Hyperbolsk cosecant:

der i er den imaginære eininga definert som i2 = −1.

Dei komplekse formene i definisjonane over kjem frå Eulerformelen.

Nyttige forhold

Dermed:

Ein kan sjå at cosh x og sech x er jamne funksjonar, medan dei andre er odde funksjonar.

Hyperbolsk sinus og cosinus tilfredsstiller identiteten

som liknar den pythagoreiske trigonometriske identiteten. Ein har òg

for dei andre funksjonane.

Den hyperbolske tangensen er løysinga til det ikkje-lineære grenseverdiproblemet:

Det kan visast at arealet under kurva til cosh x alltid er like bogelengda:, Extract of page 472

Inverse funksjonar som logaritmar

Deriverte



Standardintegral

Where C is the constant of integration.

Taylorrekkjer
Det er mogeleg å uttrykke funksjonane over som Taylorrekkje:

Funksjonen sinh x har ei Taylorrekkje med berre odde eksponentar for x. Dermed er han ein oddefunksjon, som er −sinh x = sinh(−x), og sinh 0 = 0.

Funksjonen cosh x har ei Taylorrekkje med berre jamne eksponentar for x. Derfor er han ein jamn funksjon, altså symmetrisk med omsyn til y-aksen. Summen av sinh- og cosh-rekkjene er ei uendeleg rekkje av eksponentialfunksjonen.

 (Laurentrekkje)

 (Laurentrekkje)

der

 er det n-te Bernoullitalet
 er det  n-te Eulertalet

Kjelder
Denne artikkelen bygger på «Hyperbolic function» frå ,  den 21. november 2011. 
 oppgav desse kjeldene:

Bakgrunnsstoff

Kategori:Elementære spesialfunksjonar
Kategori:Eksponential
Kategori:Hyperbolsk geometri