Kardioide

Kardioide er ei «hjarteforma» algebraisk kurve av 4. grad. 

 Likningar 
Basert på skildringa av ein rullande sirkel kring ein fast sirkel, der begge sirklane har radius a, kan kardioiden skildrast av dei parametriske likningane:

I det komplekse planet vert dette

Her er a radiusen til sirkelen som skapar kurven, og den faste sirkelen er sentrert ved origo. Punktet som skapar kurven rører den faste sirkelen ved (a, 0), toppunktet. Parameteren t kan eliminerast ved 

eller i rektangulære koordinatar,

Desse likningane kan forenklast noko med å flytte den faste sirkelen til høgre a einignar og velje punktet på den rullande sirkelen slik at han rører den faste sirkelen i origo. Dette endrar orienteringa til kurven slik at toppunktet vert til venstre. Dei parametriske likningane vert då:

eller i det komplekse planet,

Med å erstatte u=tan t/2, 

gjeve ei rasjonal parametrisering:

or

Denne parametriseringa kan òg skrivast

og i denne forma er det tydeleg at likninga for denne kardioiden kan skrivast i polarkoordinatar som 

der θ erstattar parameteren t. 
Dette kan òg skrivast

som impliserer at kurven er eit medlem av familien av sinusforma spiralar.

I kartesiske koordinatar vert likninga for kardioiden 

 Metriske eigenskapar 
Arealet til flata til kardioden kan reknast ut frå polarlikninga:

eller 6 gonger arealet til sirkelen som skapte kurven.

Bogelengden til kardioden kan reknast ut nøyaktig, noko som er sjeldant for algebraiske kurver. Den totale lengda er
.

 Kjelder 
Denne artikkelen bygger på «Cardioid» frå ,  den 14. september 2011.  


 Bakgrunnsstoff 

Kategori:Kurver