Følgje

Ei følgje er i matematikk ei ordna liste av objekt i ei mengd. Mengde objekt eller ledd i følgja kan vere endeleg eller telbart uendeleg, og det vil seie at objekta kan nummererast ved hjelp av dei naturlege tala.

Dersom det n-te leddet i ei uendeleg følgje i eit metrisk rom nærmar seg ein grenseverdi når n aukar, blir det sagt at følgja er konvergent. Ei følgje som ikkje er konvergent er divergent. Følgjer opptrer i alle område av matematikk, og studiet av følgjer er ein viktig del av matematisk analyse. Konvergente følgje spelar ei spesielt viktig rolle, blant anna i definisjonen av irrasjonale tal.

Følgjer der elementa er reelle eller komplekse tal kallast ofte talfølgjer. Tilsvarande er ei funksjonsfølgje ei følgje der elementa er  funksjonar. On-Line Encyclopedia of Integer Sequences er ein database over følgjer av heiltal.

Ei rekkje er definert som summen av ei endeleg eller uendeleg følgje.

 Formell definisjon 
Ei uendeleg følgje er ein funksjon frå mengda av dei naturlege tala N:

Følgje vert sagt å vere definert i mengda V, der V er verdiområdet til funksjonen. Funksjonsverdiane  vert kalla ledda i følgja. 

Alle dei følgjande døma indikerer vanleg notasjon for ei følgje: 

For ei endeleg følgje vert det nytta ei endeleg delmengd av N som indeksmengd i staden for N. Vanlegvis nyttast mengda  eller mengda  for ei følgje med n element.

 Grenseverdi og konvergens 
Ei følgje  i eit metrisk rom konverger mot ein grenseverdi x dersom det for ein kvar verdi av epsilon  eksisterer eit heiltal N slik at 

der d  er metrikken. Eksistensen av ein grenseverdi kan skrivast som

.

Definisjonen kan kompakt skrivast som

Cauchyfølgjer
Ei cauchyfølgje eller ei fundamentalfølgje er ei følgje i eit metrisk rom der avstanden mellom to vilkårlege element gradvis blir mindre og mindre jo lenger ut i følgja dei to elementa er. 

Eit metrisk rom vert sagt å vere komplett dersom ei kvar cauchyfølgje i rommet konvergerer mot ein grenseverdi som er inneheldt i rommet. Mengda av reelle tal er komplett, medan mengda av rasjonale tal ikkje er det.

 Avgrensa følgjer 
Ei følgje  i eit metrisk rom er avgrensa dersom verdiområdet er avgrensa.  Det vil si at det eksisterer eit element x i det metriske rommet og ein konstant M slik at 

.

Ei kvar konvergent følgje er avgrensa. 

 Monotone følgjer 
Ei følgje av reelle tal  er monoton dersom ho er opptil eller nedtil monoton:

Ei opptil monoton følgje vert òg kalla monotont veksande. Ei monoton minkande følgje er det same som ei nedtil monoton følgje.

Ei monoton følgje er konvergent visst og berre visst ho er avgrensa. 

Delfølgjer
Ei delfølgje er avleidd frå ei følgje  ved å velje ut ei delmengd av ledda, men halde rekkefølgja. La  vere ein monoton veksande følgje av naturlege tal. Ei delfølgje kan då skrivast som

Som døme er  ei delfølgje av følgja .

Dersom delfølgja er konvergent med grenseverdi x, seier ein at x òg er ei delfølgjegrense for følgja .

Bolzano-Weierstrass' teorem kan formulerast som at ei kvar avgrensa følgje av reelle tal inneheld ei konvergent delfølgje.

 Cauchyprodukt 
Cauchyproduktet av to følgjer  og  er definert som ei ny følgje  der kvart ledd er definert ved summasjonen

 Døme 

Døme 1: Aritmetiske følgjer 
Ei aritmetisk følgje er ei talfølgje der differensen mellom to påfølgjande ledd er konstant, dvs

Aritmetiske følgjer er divergente for alle verdiar av konstanten d ulik null.

Døme 2: Geometriske følgjer 
Ei geometrisk følgje er ei talfølgje der forholdet mellom to påfølgjande ledd er konstant, dvs

Følgjene konvergerer mot null dersom absoluttverdien av konstanten k er mindre enn 1.

Døme 3: Harmoniske følgjer 
I ei harmonisk følgje er ledda definert som inversen av ledda i ei aritmetisk følgje. Dersom følgja  er ei aritmetisk følgje med ledd ulik null, så vil  vere ei harmonisk følgje. Ledda i ei harmonisk følgje kan definerast ved

der d er ein konstant slik at (-1/d) ikkje er eit naturleg tal.

Døme 4: Fibonaccifølgje
Ei fibonaccifølgje er definert rekursivt ved 

Fibonaccifølgja er divergent.

Døme 5: Følgje for Eulertalet 

Grenseverdien er eulertalet e.

Døme 6 

Døme  7 

 Sjå òg
 Primtalsørken

Kjelder
Denne artikkelen bygger på «Følge (matematikk)» frå ,  den 11. september 2011. 
 oppgav desse kjeldene:

Kategori:Elementær matematikk
Kategori:Følgjer og rekkjer