Laplace-transformasjon

Laplacetransformasjon er ein matematisk operasjon som overfører ein funksjon frå tidsplanet til eit komplekst plan, kalla -planetAppel, W., Mathématiques pour la physique et les physiciens, 4. utg., H&K Editions, 2008.Arfken, B.B. og Weber, H.J., Mathematical methods for physicists, 6. utg., Elsvier Academic Press, 2005.Dyke, P.P.G., An introduction to Laplace transforms and Fourier series, Springer, 2001.. Ved å gjere det vil enkelte matematiske operasjonar kunne bli enklare å utføre. Dette gjeld spesielt derivasjon, integrasjon og foldning. Transformasjonen er kalla opp etter Pierre-Simon Laplace.

Den tidsdiskrete varianten av laplace-transformasjonen er kjend som Z-transformasjonen.

 Definisjon 
Den einsidige laplacetransformasjonen er definert:

,

der  er ein funksjon (eller eit signal) i tidsplanet,  er kompleks frekvens,   er den imaginære eininga,  er vinkelfrekvensen (rad/s) og σ er reell. I eit stabilt system er σ negativ, og tilsvarar demping. Innan matematikk og fysikk er det vanleg å nytta symbolet  for den imaginære eininga, i staden for . I samband med ingeniørfag nyttar ein som oftast symbolet , for å unngå forveksling med elektrisk straum, som òg har symbolet .

 Tosidig Laplace-transform 
Ein kan òg definera ein to-sidig Laplace-transformasjon, som


 Invers Laplace-transformasjon 
Den inverse Laplace-transformasjonen transformerer frå det komplekse frekvensplanet (-planet) attende til tidsplanetKuo, F.F., Network analysis ans syntesis, John Wiley & Sons., 2. utg., 1966.:


der  er eit reelt tal større enn den største av realdelane til alle singularitetane til , og  er avgrensa på integrasjonsvegen.

 Operasjonar i s-planet 
I -planet vert derivasjon erstatta av multiplikasjon med , og integrasjon vert erstatta av divisjon med , noko som er mykje enklare operasjonar.

Foldning av dei to signala  og  vert i tidsplanet utført som

der  er foldningsoperatoren, som er ein kompakt notasjon for foldning. I -planet tilsvarar dette multiplikasjon:

der  og  er Laplacetransformasjonane av  respektivt , som er enklare å utføra. På same vis tilsvarar foldning i -planet multiplikasjon i tidsplanet.

 Praktisk bruk 
Laplacetransformasjon spelar ein vikig rolle i samband med analyse og syntese av lineære dynamisk system.  innan signalhandsamingLathi, B.P., Linear systems and signals, Oxford Univ. Press, 2010.Haykin, S. og van Veen, B., Signals and systems, John Wiley & Sons, 1999. og reguleringsteknikkBalken, J.G., Reguleringsteknikk, bind 1, Tapir, 1977.Kuo, B.C., Automatic control systems, 6. utg., Prentice-Hall, 1991..

 Sjå òg 
 Fouriertransformasjon
Z-transformasjon

 Referansar 


Kategori:Integraltransformasjonar
Kategori:Differensiallikningar
Kategori:Fourieranalyse
Kategori:Transformasjonar
Kategori:Signalhandsaming
Kategori:Reguleringsteknikk