Variansanalyse

Variansanalyse (ANOVA, frå det engelske «analysis of variance») er eit fellesomgrep for ei rekkje statistiske metodar for å teste likskap mellom to eller fleire utval, der éin eller fleire faktorar gjer seg gjeldande. Variansanalyse er i dei enkle tilfella eit alternativ til Z/t-testane for å samanlikne gjennomsnitt i populasjonar.

Dei to grunnleggjande formene for variansanalyse skildrast gjerne som 'einvegs' og 'tovegs' variansanalyse. I einvegs tilfellet undersøkingar ein berre éin eigenskap som varierer mellom gruppene, i tovegstilfellet undersøkjer ein òg variasjonar innover i gruppene.

 Variansanalyse med éin faktor 
Det enklaste tilfellet for variansanalyse er tilfellet der ein har  grupper med like storleikar , og ønskjer å samanlikne gjennomsnitta til gruppene. Han nyttar gjerne der ein ønskjer å samanlikne skilnader i respons på forskjellige handsamingar (treatments) i forskjellige grupper.

Hypotesen ein testar er for ei mengd populasjonarDevore/Berk 2007, side 540. 

  minst to av gruppene er forskjellige.

Føresetnadene for testen er at alle observasjonane er uavhengige normalfordelte tilfeldige variable med lik varians.

 Kvadratavvik og varians 
Dei fundamentale storleikane i variansanalysen er kvadratavvik totalt (SST), mellom individ og gruppe (SSE) og mellom gruppe og totalt gjennomsnitt (SSTr). Desse er definert vedDevore/Berk 2007, side 544. 

Samanhengen mellom desse gjev opphav til den fundamentale ANOVA-identiteten SST = SSTr + SSE.Devore/Berk 2007, side 547. Videre har vi atDevore/Berk 2007, side 545.

Dette gjev opphavet til det ein kallar ein ANOVA-tabell:Devore/Berk 2007, side 548.
 Variasjonskjelde  Fridomsgrader  Kvadratavvik  Varians  f-verdi Grupper  I - 1  SSTr  MSTr = SSTr/(I - 1)  MSTr/MSE Feil  I(J - 1)  SSE  MSE = SSE/[I(J - 1)]   Total    IJ - 1  SST    

 Test av nullhypotesen 
For å teste nullhypotesen, brukar ein ofte ein f-test. Testobservatoren er gjeven ved

som ein reknar har ein -fordeling. Forkastingsområdet for  er  for ønskt signifikansnivå 

 Tukeys prosedyre 
F-testen er eit godt utgangspunkt for å samanlikne gjennomsnitta i fleire populasjonar, men han gjev ikkje svar på kva av populasjonane som er signifikant ulike kvarandre. Tukeys prosedyre nyttar ei Q-fordeling til å rekne ut kva intervall gjennomsnitta i populasjonen kan ligge i for å vere signifikant like kvarandre. For eit signifikansnivå  definerer vi  som 

Dei gjennomsnitta som har større differanse enn  vert rekna å vere signifikant ulike, med signifikansnivå Devore/Berk 2007, side 552.

 Relasjon til t-testen 
For tilfellet med to populasjonar, vil variansanalyse og ein alminneleg t-test gje same resultat for hypotesen  mot . T-testen er meir fleksibel, då ein og kan teste om eit gjennomsnitt er større enn, eller mindre enn eit anna. 

For  kan ein i prinsippet òg utføre t-testar for alle kombinasjonar av grupper, men dette vil gje større sannsyn for type 1-feil.Devore/Berk 2007, side 557, 563.

Kjelder

Denne artikkelen bygger på «Variansanalyse» frå ,  den 12. september 2011. 
 oppgav desse kjeldene:
 Jay L. Devore and Kenneth N. Berk: Modern Mathematical Statistics with Applications. Thomson 2007.


Kategori:Statistiske testar
Kategori:Parametrisk statistikk