Rotasjon i vektoranalyse

Rotasjon (ofte kalla curl på fagspråket) er i vektoranalyse ein vektoroperator som skildrar rotasjonen til eit vektorfelt. I kvart punkt i feltet er rotasjonen representert av ein vektor. Eigenskapane til denne vektoren (lengd og retning) skildrar rotasjonen i dette punktet.

Rotasjonsretninga er rotasjonsaksen, som skildra av høgrehandsregelen, og storleiken til curlen er rotasjonsstorleiken. Om vektorfeltet representerer væskestraum til ei væske i rørsle, så er rotasjonen sirkulasjonstettleiken til væska. Eit vektorfelt med rotasjon lik null vert kalla ikkje-roterande. Rotasjonen er ei form for differensiering for vektorfelt. Den tilsvarande forma av fundamentalteoremet i analyse er stokesteoremet, som knyter overflateintegralet til rotasjonen av eit vektorfelt til eit linjeintegral til vektorfeltet rundt ei avgrensa kurve.

Notasjonar som vert nytta for rotasjonen eller curlen er  og  (sistnemnde er mykje nytta i Europa).

Definisjon
Rotasjonen til eit vektorfelt F, skrive , i eit punkt er definert som projeksjonen av forskjellige linjer gjennom dette punktet. Om  er ein vilkårleg einingsvektor, så er projeksjonen av rotasjonen av F på  definert som grenseverdien av eit lukka linjeintegral på eit plan ortogonalt til  når ein i integralet kjem uendeleg nært punktet, delt på arealet som vert omslutta.

Slik sett mappar rotasjonsoperatoren C1-funksjonar frå R3 til R3 til C0-funksjonar frå R3 til R3. mini|Vektororientering av eit linjeintegral

Implisitt er rotasjonen eller curlen definert som :

Her er  eit linjeintegral langs grensa til området det er snakk om (t.d. ), og  er storleiken til området . Om  peikar utover i normalplanet, der   er einingsvektoren perpendikulær til planet (sjå figur til høgre), så er orienteringa av C vald slik at vektoren -tangent til C er positivt orientert visst og berre visst  dannar ein positiv orientert base for R3 (høgrehandsregelen).

Intuitiv tolking

Tenk at vektorfeltet skildrar fartsfeltet til ein væskestraum (som ein stor tank med vatn eller gass) og ein liten ball som ligg i væska eller gassen (senteret av ballen ligg i ro på eit fast punkt). Om ballen har ei ru overflate vil han rotere når væska strøymer forbi. Rotasjonsaksen (orientert i forhold til høgrehandsregelen) peikar i retninga til curlen av feltet i senteret av ballen, og vinkelsnøggleiken til rotasjonen er halve verdien av curlen i dette punktet.

Sjølv om alle straumlinjene er parallelle, kan ballen starta å rotere om væska renn raskare på eine sida enn den andre.

Kjelder

Denne artikkelen bygger på «Curl (mathematics)» frå ,  den 30. november 2009.
 oppgav desse kjeldene:
 Arfken, George B. og Hans J. Weber. Mathematical Methods For Physicists, Academic Press; 6. utg. (2005). ISBN 978-0120598762.


 Bakgrunnsstoff 
 Divergens og rotasjon

Kategori:Lineære operatorar
Kategori:Vektorrekning
Kategori:Analytisk geometri