Legendrepolynom

Legendrepolynom er i matematikk løysingar til differensiallikninga til Legendre: 

Dei er kalla opp etter Adrien-Marie Legendre. Denne ordinære differensiallikninga møter ein som regel i fysikk og andre tekniske felt. Særleg oppstår han når ein løyser Laplace-likninga (og tilknytte partielle differensiallikningar) i sfæriske koordinatar.  

Differensiallikninga til Legendre kan løysast ved å bruke standar potensrekke-metode. Likninga har regulære singularpunkt ved x = ±1 så generelt vil løysinga til ei rekkje omkring origo berre konvergere for |x| < 1. Når n er eit heiltal er løysinga Pn(x) som er regulær ved x = 1 òg regulær ved x = −1 og rekkjene fr denne løysinga vert avslutta (er altså eit polynom).

Desse løysingane for n = 0, 1, 2, ... (med normaliseringa Pn(1) = 1) dannar ei polynomrekkje av ortogonale polynom kalla Legendrepolynoma. Kvart Legendrepolynom Pn(x) er eit nte-grads polynom. Det kan uttrykkast ved hjelp av Rodrigues-formelen:

At desse polynoma tilfredsstiller differensiallikninga til Legendre () følgje av differensieringa (n+1) multiplisert på begge sider av identiteten 

og ved å bruke den generelle Leibniz-regelen for gjentakande differensieringar.  Pn kan òg definerast som koeffisientar i ei Taylorrekkje-utviding:

.

I fysikk dannar denne funksjonen grunnlaget for multipolutvidingar.

Sjå òg
 Tilknytt Legendrefunksjon
 Gaussisk kvadratur
 Gegenbauerpolynom
 Legendre sine rasjonelle funksjonar
 Turán-ulikskapane
 Legendrebølgjer

Kjelder 

Denne artikkelen bygger på «Legendre polynomials» frå ,  den 9. mars 2010. 
 oppgav desse kjeldene:
 .

Bakgrunnsstoff
Ei rask uformell utleiing av Legendrepolynom i kvantemekanikken til hydrogen
Wolfram MathWorld om Legendrepolynom
Modul for Legendrepolynom av John H. Mathews

Kategori:Spesielle hypergeometriske funksjonar
Kategori:Ortogonale polynom
Kategori:Polynom