Fourier-transformasjon

Fourier-transformasjon (ofte forkorta til FT) er ei lineæravbilding som transformerer ein funksjon av reelle variablar med komplekse verdiar til ein annanChampeney, D.C., A handbook of Fourier theorems, Cambridge University Press, 1987.Bracewell, R.N., The Fourier transform and its applications, McGraw-Hill, 1986.. I applikasjonar som signalhandsaming transformerer ein typisk frå tidsplanet til frekvensplanet. Dette kan samanliknast med at ein akkord i musikk kan skildrast av notane som vert spelt. Så i praksis så dekomponerer fouriertransformasjonen ein funksjon, eller eit signal, i ein sum av oscillerande funksjonar, som kan uttrykkast som - og -funksjonar, eller som ein sum av eksponentialfunksjonar.

Fourier-transformasjon og generaliseringane er emne i Fourier-analyse. Det er mogeleg å definere Fourier-transformasjonen til ein funksjon av fleire variablar, noko som til dømes er viktig i det fysiske studiet av bølgjer og biletehandsaming. Det er òg mogleg å generalisere Fourier-transformasjonen på diskrete strukturar som endelege grupper.

 Definisjon 
Det finst fleire vanlege måtar å definere fouriertransformasjonen av ein integrerbar funksjon. Denne artikkelen nyttar definisjonen: 

  for  ∈ ,

der . Når variabelen  representerer tid (med SI-eininga sekund), representerer transformasjonsvariabelen  vinkelfrekvens, som kan konverterast til temporal frekvens  (i Hz). Etter som Fourier-transformasjonen dekomponerer signalet   i frekvenskomponentar , med ulik frekvens og amplitude, vert ho kalla analyselikninga.

 Invers Fourier-transformasjon 
Invers transformasjon, som typisk transformerer frå frekvensplanet til tidsplanet, vert definert somDyke, P.P.G., An introduction to Laplace transforms and Fourier series, Springer, 2001.
   for alle reelle t.

Faktoren  er ein skaleringskonstant, som syter for at energien er den same i tids- og frekvensplanet; sjå Parsevals teorem. Etter som den inverse Fourier-transformasjonen syntiserer eit signalet  i tidsplanet, som ein sum av ulike oscillerande bølgjer (frekvenskomponentar) , med ulik frekvens og amplitude, vert ho kalla symteseselikninga.

 Samanhengen med Laplace-transformasjonen 
Fourier-transformasjonen kan sjåast på som eit spesialtilfelle av den to-sidige Laplace-transformasjonen. Laplace-transformasjonen transformerer eit signal til det komplekse -planet, der  er ein kompleks frekvensvariabel. I samband med Fourier-transfroma er realdelen  sett til null. slik at ein ender ein opp med den imaginære delen av frekvensvariabelen , som ligg på den imaginære aksen i -planet. At dei ulike Fouirer-komponentane (frekvens-komponentane) ligg på den imaginære aksen betyr at dei er periodiske. Fourier-transformasjonen er med andre ord eit speialtilfelle av Laplace-transformasjonen, som vert nytta når signalet  er periodiskt.

 Eigenskapar 

 Linearitet 
Fouriertransformasjonen er ei lineæravbilding:



 Funksjonsprodukt og folding 
For produkt av funksjonar gjeld


her markerer  ein foldingsoperator (konvolusjon).

 Tids- og frekvensforskyving 



 Derivasjon 
For deriverte av funksjonar gjeld



 Referansar 



Kategori:Grunnleggjande fysikk
Kategori:Fourieranalyse
Kategori:Integraltransformasjonar
Kategori:Signalhandsaming