Gradient

Ein gradient i eit skalarfelt er eit vektorfelt som peikar i retninga der skalarfeltet aukar mest. Helling er i røynda ein gradient. 

Ei generalisering av gradienten for funksjonar i eit euklidsk rom som har verdiar i eit anna euklidsk rom er jakobisk. Ei vidare generalisering for ein funksjon frå eit banach-rom til eit anna er den fréchet derivertee.

 Tolking 
Tenk deg eit rom der temperaturen er gjeven av eit skalarfelt , slik at i kvart punkt  er temperaturen  (vi reknar her at temperaturen ikkje endrar seg med tida). I kvart punkt i dette rommet vil gradienten til  syne i kva retning temperaturen stig raskast. Storleiken til gradienten vil avgjere kor raskt temperaturen stig i denne retninga. 

Tenk deg ein ås der høgda over havet i kvart punkt  er . Gradienten til  i eit punkt er ein vektor som peikar i retninga der hellinga er brattast. Kor bratt hellinga er i dette punktet er avgjort av storleiken til gradientvektoren. 

Gradienten kan nyttast til å måle korleis eit skalarfelt endrar seg i alle retninga, ikkje berre den retninga med størst endring. Dette gjer ein ved å ta eit prikkprodukt. Tenk deg åsen igjen og at den brattaste hellinga i åsen er 40 %. Om ein veg går rett opp åsen så vil den brattaste delen av vegen òg vere på 40 %. Om vegen i staden går på skrått oppover åsen (gardientvektoren), så vil ikkje vegen vere like bratt. Til dømes, om vinkelen mellom vegen og retninga rett opp åsen på projektert ned på eit horisontalt plan er 60º, så er den brattaste hellinga på vegen 20 %, som er 40 % gangar cosinus til 60º. 

 Definisjon 
Gradienten (eller gradientvektorfeltet) til ein skalar funksjon  er skriven som  (han kan òg skrivast som ), der  (nablasymbolet) skildrar differensialoperatoren til vektoren, del. Notasjonen  vert òg nytta for gradienten. Gradienten til f er definert som eit vektorfelt der komponentane er partiellderiverte av . Altså:

Her er gradienten skrive som ein rekkjevektor, men vert ofte mistolka som ein søylevektor. Når ein funksjon er avhengig av ein parameter som tid, så omhandlar som regel vektoren berre dei romlege derivative. 

 Uttrykk for gradienten i tre dimensjonar 
Gradientforma er avhengig av koordinatsystemet som er nytta. I kartesiske koordinatar vert uttrykket over skrive som

som ofte vert skriven ved å nytte dei vanlege vektorane :

I sylindriske koordinatar vert gradienten gjeven som: 

der  er kompassvinkelen,  er aksekoordinaten og eρ, eθ and ez er einingsvektorar som peiker langs koordinatretningane. 

I sfæriske koordinatar:

der  er kompassvinkelen og  er senitvinkelen. 

 Døme 
Til dømes er gradienten til ein funksjon i kartesiske koordinatar

er:

 Kjelder 
 Denne artikkelen bygger på «Gradient» frå , den 21. juli 2009. 
  oppgav desse kjeldene:
 .


Kategori:Differensialrekning
Kategori:Vektorrekning