Komplekse tal

Dei komplekse tala er den algebraiske lukkinga av dei reelle tala og kan uttykkast som mengda av alle  , kor  og  er reelle tal og  er definert slik at .  er ein kropp under naturleg addisjon og multiplikasjon.

La  kor .   er den reelle delen av  og  er den imaginære delen av .

 Definisjon og konstruksjon 
Dei komplekse tala kan definerast og konstruerast på fleire måtar.  Me definerer fyrst eksplisitt , kor .  Det er ikkje vanskeleg å sjå at dette utgjer ein kropp, kor den additive inversen til  er gitt ved  og den multiplikative inversen til  (gitt at ikkje både ) er gitt ved

At addisjon og multiplikasjon er assosiative operasjoner og distribuerar over kvarandre følgjer frå at addisjon og multiplikasjon av dei reelle tala har desse eigenskapene.  Me har dermed vist at  utgjer ein kropp ut frå denne definisjonen.

Det er også mogleg å konstruera dei komplekse tala frå polynomringen  til .  Merk fyrst at polynomet  er irredusibelt over dei reelle tala.  Dermed utgjer kvotientringen ein kropp, kor  er idealet generert av .  Multiplikasjon og addisjon i  er arva frå multiplikasjon og addisjon i .   består av element på formen  kor  og .

 Sjå også 
 Algebraens fundamentalteorem
 Kroppsutviding
 Røter av komplekse tal

Kategori:Komplekse tal
Kategori:Elementær matematikk
Kategori:Kompleks analyse
Kategori:Elastisitet