Differensial i matematikk

Eit differensial er eit uttrykk i differensialrekning for ei infinitesimal lita endring av ein variabel. Eit differensial er ei endring av ein variabel som er mykje likt den kjende Δx. Skilnaden er at differnsialet  er uendeleg lite, og derfor ikkje har nokon eigentleg verdi. 

 Bruk 
Ein derivert (av ei enkel variabel likning) er forholdet mellom to differensial, vanlegvis skrive  som er Leibniznotasjonen av  i Newtons notasjon for differensiering. Dette kjem av likninga for hellinga  der den einaste skilnaden er at ein har bytta ut delta med differensial, for å vise at verdiane til x og y er i eitt punkt, og ikkje over ein avstand. For ei djupare forklaring sjå derivasjon.

Integral brukar ofte differensial i notasjonen sin. Differnsial er ofte brukt for indikere integrasjonsvariabelen. I måten eit Riemannintegral er definert på, referer det til ei form for tjukkleik, ein ide som matematisk ikkje er korrekt, fordi differensialet representerer ein lineær transformasjon. 

 Differensialet som ein lokal lineær transformasjon 
Fleire forfattarar har prøvd å definere differensialet utan å bruke omgrepet infinitesimal. Denne definisjonen er baset på definisjonen i Apostol si bok:Tom M Apostol (1967). Calculus, 2nd Ed. Wiley. ISBN 0-471-00005-1 og ISBN 0-471-00007-8.

Me tenkjer oss ein funksjon med reelle verdiar, , definert i ei open delmengd  av . Viss  er eit punkt i , så seier vi at  har eit differensial ved  viss det eksisterer  som oppfyller:

  er ein funksjon med reelle verdiar definert for heile 
  er lineær. Det er gjeve at  og :
 For kvar , eksisterer det ein omegn  av  slik at:

 er ofte tenkt som ein funksjon av to n-dimensjonale variablar og skriven . Merk derimot at han ikkje kan definerast over heile . Det er vanleg å skrive variablane  som  og differensialet, viss det eksisterer som . Det er då mogeleg å syne at han er unik og oppfyller: 
 ,
Der  er den n partiellderiverte ved . Dette kan skrivast kortare ved å bruke følgjande notasjon: 
.
I ein dimensjon vert dette: 
.
Ein bør merke seg at  er eit eige symbol, medan  er ein lineær transformasjon av det eindimensjonale rommet. Derfor kan ein ikkje «stryke bort» dei to .

Alle dei partiellderiverte av  ved  er eit nødvendig vilkår for at differensialet kan eksistere ved . Det er derimot ikkje eit tilstrekkeleg vilkår. Det er mogeleg å syne at viss  har eit differensial ved  så er han kontinuerleg ved . Men den følgjande funksjonen: 

har endeleg retningsderiverte i alle retningar ved , og derfor har all partiellderiverte i startpunktet. Han er derimot ikkje kontinuerleg i startpunktet sidan han har verdien  på kvart punkt av parabelen , bortsett frå i startpunktet, der han har verdien . Han har derfor ikkje eit differensial i startpunktet. 

 Forvirring 
Det er vanleg at mattestudentar (særleg i starten) blandar differensial og deriverte, men dei har to matematiske tydingar. 

Differensial er ikkje tal, og kan derfor heller ikkje handsamast som tal, og når dei vert handsama som tal, er det sannsynlegvis for å rekne ut ei tilnærming. Differensiala har same eininga som variablane dei er knytte til.

 Kjelder 


 Sjå òg 
 Partielldifferensial
 Differensiallikning
 Differensialform
 Differensialrekning
 Grense

Kategori:Differensialrekning