Irrasjonale tal

Irrasjonelle tal er reelle tal som ikkje kan skrivast på brøkform som , der m er eit heiltal og n eit naturleg tal. Døme er  og . Mengda av irrasjonelle tal vert stundom på symbolform uttrykt som , men formar ikkje ein vanleg algebraisk struktur. Dei rasjonelle tala er ei tett, utellbar og ikkje-samanhengande delmengd av dei reelle tala.

 Eigenskapar 

 Det finst irrasjonelle tal 
Dersom N ikkje er eit kvadrattal, så er  eit irrasjonelt tal. Spesielt er  irrasjonelt. Eit geometrisk argument for dette vart funne for 2500 år sidan av pytagorearen Hippasus av Metapontum (eller, det er i alle fall han som har vorte tilegna funnet). Eit meir moderne prov er ved motsegn: Anta at √2 = m/n, der m og n er naturlege tal (me veit at √2 er positiv) og m + n minst mogleg. Då er også , men . 

Anta at det finst naturlege tal m og n slik at . Me vel m og n slik at n er minst mogleg. Då må , så 2 må dela . Då må 2 også dela m, så 4 deler  og dermed også . Det fylgjer at 2 også deler  og dermed også n, så både m og n er partal. Dette vil seia at me også har  med naturlege tal m/2 og n/2. Dette er eit motsegn, sidan her er teljaren endå mindre enn i brøken me starta med.

Eit anna irrasjonelt tal er . Me har igjen eit motseiingsprov:

Anta at et finst naturlege tal m og n slik at . Me vel m og n slik at n er minst mogleg. Då må , så . Sidan 2 er eit primtal, så må då m = 0 og dermed log 2 = 0, noko som ikkje er tilfelle.

Det skal seiast at begge desse prova fyrst vert fullstendige når me har vist at dei gjevne tala faktisk eksisterer. For kvadratrota av 2 finst eit enkelt, geometrisk argument: Hypotenusen x til ein rettvinkla trekant med katetar 1 og 1 tilfredsstiller 2 = x2. Sidan hypotenusen eksisterer, så eksisterer dermed også ei kvadratrot til 2. Eit argument som byggjer direkte på komplettleiksprinsippet finst også: Studerer me mengda A = {x : x 2 < 2}, x reelle tal, så må denne ha ei minste øvre grense sup A. Det er mogleg å visa at sup A korkje er med i A eller A = {x : x 2 > 2 og x > 0}, så difor må (sup A)^2 = 2. (Dersom sup A er med i A, så finst det eit tal høgare enn sup A som også er med i A', og dersom sup A er med i A', så finst det eit tal lågare enn sup A som også er med i A'. Dette strid mot at sup A er den minste øvre grensa til A.)

 Dei irrasjonelle tala dannar inga vanleg algebraisk struktur 
Dei irrasjonelle tala er korkje lukka under addisjon eller multiplikasjon:
  er ikkje eit irrasjonelt tal, sjølv om begge addendane er det.
  er ikkje eit irrasjonelt tal, sjølv om begge faktorane er det.

I tillegg kan me observera at det heller ikkje er tilfelle at dersom a og b er irrasjonelle, så er nødvendigvis  irrasjonell. Me ser på :
 Dersom  er rasjonell, så er resultatet vist umiddelbart.
 Dersom  er irrasjonell, så er  det ettersøkte moteksemplet.

 Dei irrasjonelle tala har inga periodisk desimalutvikling 
I motsetnad til rasjonelle tal har ikkje irrasjonelle tal ei periodisk desimalutvikling. Beviset går ut på å gå ut frå at ei slik desimalutvikling finst og visa at då må talet vera rasjonelt.

 Sjå også 
 Inkommensurabilitet