Matematisk funksjon

Ein funksjon er i matematikken ein relasjon som knyter kvart element i ei gitt mengd til eitt element i ei anna mengd.

 Definisjon 

La A og B vere to mengder. Ein relasjon f er ein funksjon frå A til B om f tilordnar eit unikt element i B til kvart element i A. Viss y ∈ B vert tilordna x ∈ A, skriv ein f(x) = y. A er då definisjonsmengda til f, og f(A) = {y : y = f(x), x ∈ B} er verdimengda; mengda av alle y som kan skrivast som f(x) = y. 

I mengdelæra vert ein funksjon f frå A til B definert som ei delmengd av det kartesiske produktet A×B med eigenskapen at viss a er eit element i A, så finst nøyaktig eitt element b i B sånn at (a,b) ∈ A×B. Denne definisjonen samsvarer med det me vanlegvis vil kalla grafen til funksjonen.

 Notasjon 
Viss f er ein funksjon med definisjonsmengd A og verdimengde B, skriv ein .

 tyder at y er biletet av x under f, det vil seie at f(x)=y.

For ei delmengd S ⊆ A, kan ein definere biletet av S under f slik: 

 Eigenskapar 

La f vere ein funksjon frå A til B.

Funksjonen er injektiv viss det for kvart element y ∈ B, ikkje finst meir enn eitt element x ∈ A sånn at f(x) = y. Dette inneber at kardinaliteten åt A ikkje er større enn kardinaliteten åt B.

Funksjonen er surjektiv viss det for kvart element y ∈ B, finst minst eitt element x ∈ A sånn at f(x) = y. Med andre ord er f surjektiv viss f(A) = B. Dette inneber at kardinaliteten åt A ikkje er mindre enn kardinaliteten åt B.

Funksjonen er bijektiv viss han er både injektiv og surjektiv, det vil seie at det for kvart element y ∈ B finst nøyaktig eitt element x ∈ A sånn at f(x) = y. Funksjonen f er bijektiv viss og berre viss han har ein inversfunksjon f-1: B → A med eigenskapane at for kvar ein x ∈ A er f-1(f(x)) = x og for kvar ein y ∈ B er f(f-1(y)) = y. Dette inneber at A og B har same kardinaliteten.

 Døme 

Det finst uendeleg mange funksjonar. Elementære, men likevel viktige døme er:

Karakteristiske funksjonar: . Funksjonen karakteriserer ei mengd E = {x : f(x) = 1}.

Enkle funksjonar: Lineære summar av karakteristiske funksjonar.

Polynom: Funksjonar på forma .


Kategori:Mengdelære
Kategori:Elementær matematikk
Kategori:Matematiske relasjonar