Pi

mini|Når diameteren til ein sirkel er 1, er omkrinsen lik π

Den matematiske konstanten pi (π) er eit irrasjonalt tal definert som omkrinsen til ein sirkel dividert med diameteren til sirkelen. Tilnærma verdi er 3,14159. Når diameteren til ein sirkel er 1, er omkrinsen lik pi. Pi er også kjent som Arkimedes' konstant og Ludolphs tal.

Talet er transcendent, og derfor irrasjonalt. Pi har ein tendens til å dukka opp i mange fleire uttrykk, truleg som ein konsekvens av at sirkelen er tett assosiert med metrikken til dei komplekse tala; den algebraiske lukkinga av dei reelle tala.

 Definisjon 
mini|Arealet til sirkelen er lik π x r²
I euklidisk geometri vert det nytta to definisjonar av pi. Den eine er sirkelens omkrins dividert med sirkelens diameter. Når diameteren er lik 1, er omkrinsen lik pi. Den andre definisjonen er arealet av ein sirkel dividert med sirkelens radius opphøgd i andre.

 Numerisk verdi 

Den numeriske verdien av pis første 50 desimalar er:

3,1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510

Sjølv om ein har kalkulert fleire milliardar desimalar av π, krev praktisk vitskap og ingeniørkunst sjeldan meir enn 10 desimalar. Viss ein reknar ut jordomkrinsen med 10 desimalar, vil svaret avvika med under 0,2 mm. Den nøyaktige verdien av π har uendeleg mange desimalar. Desimalane vil heller ikkje gjenta seg sjølv i sekvensar. Difor er π eit irrasjonalt tal, eller rettare sagt transcendent.

 Kalkulering av π 

Ein kan finna π ved å teikna ein stor sirkel, og måla diameteren og omkrinsen, i og med at omkrisen alltid er lik π gonga med diameteren.

π kan også kalkulerast ved å bruka reine matematiske metodar. Dei fleste formlane som vert nytta inneheld mange matematiske eigenskapar, men er vanskeleg å skjøne utan ein bakgrunn i trigonometri og matematisk analyse. Nokon av dei er derimot ganske enkle, som til dømes Leibniz formell for pi.

Sjølv om den formelen er enkel å skrive og kalkulere, er det ikkje med ein gong klart kvifor han gjer π. Ein meir intuitiv måte å gjere det på er å teikne ein imaginer sirkel med radius «r» sentrert ved origo. Då vil kva som helst punkt (x,y) viss distanse er «d» frå origo og er mindre enn «r» vil innsida av sirkelen vera gitt ved Pytagoras' setning.

Ved å finna ei samling punkt innanfor sirkelen vert det mogleg å tilnærma arealet i sirkelen. Sidan arealet «A» av ein sirkel er lik π gonger radius opphøgd i andre potens, kan π kalkulerast som:

 Historie 

Første gongen symbolet π vart brukt for den matematiske konstanten, var i boka til William Jones A New Introduction to Mathematics, gjeve ut i 1706, men symbolet vart først populært etter at Leonhard Euler tok det i bruk nokre år seinare.

Den omtrentlege verdien av π har vore kjend sidan antikken. Så tidleg som i det 19. hundreåret før vår tidsrekning nytta babylonske matematikarar tilnærminga π=25/8, ei tilnærming som gjev eit avvik på om lag 0,5 %.

Den egyptiske skrivaren Ahmes skreiv den eldste kjende teksten som gjev ei tilnærming av π. Han siterer ein tekst frå mellomriket, der han bruker tilnærminga 256/81, eller 3,160.

1. Kongebok 7:23 i Bibelen gjev uttrykk for at π=3.

Arkimedes fann ut at π låg ein plass mellom 223/71 og 22/7. Snittet av desse to tala er om lag 3,1418511.

I år 263 rekna den kinesiske matematikaren Liu Hui π til å vera 3,141014 og foreslo 3,14 som ei god tilnærming.

I det 5. hundreåret gav den indiske matematikaren og astronomen Aryabhata tilnærminga π = 62832⁄20000 = 3.1416. Han medgav også at dette berre var ei tilnærming.

I det 5. hundreåret rekna også den kinesiske matematikaren og astronomen Zu Chongzhi π til å vera mellom 3,1415926 og 3,1415927 og gav to tilnærmingar, 355/113 og 22/7.

I det 14. hundreåret rekna den indiske matematikaren og astronomen Madhava frå Sangamagrama ut verdien til π med heile 13 desimalar.

Den persiske astronomen Ghyath ad-din Jamshid Kashani (1350–1439) klarte å rekna ut dei første 9 desimalane på 60-talsystemet, noko som tilsvarer 16 desimalar: 2π = 6.2831853071795865

Seinast i år 1610 hadde den tyske matematikaren Ludolph van Ceulen gjort seg ferdig med å rekna ut dei første 35 desimalane i π. Det vert sagt at han var så stolt over dette at han fekk dei rissa inn i gravsteinen sin.

I 1789 betra den slovenske matematikaren Jurij Vega den engelske matematikaren John Machins formel frå 1706 og rekna ut dei første 140 desimalplassane av π, der dei første 126 var korrekte, og heldt den verdsrekorden fram til 1841, då Wiliam Rutherford rekna ut 208 desimalar, der 152 var korrekte.

Den engelske amatørmatematikaren William Shanks brukte over 20 år på å rekna ut 707 desimalar av π, men i 1944 fann D. F. Ferguson ut at Shanks hadde gjort ein feil ved den 528. desimalen, og at alle dei etterfølgjande desimalane var galne. Innan 1947 hadde Ferguson rekna ut 808 desimalar (ved hjelp av ein mekanisk skrivebordskalkulator).

Seinare utrekingar av pi er utført ved hjelp av datamaskiner. Rådande rekord (2002) har den japanske matematikaren Yasumasa Kanada. Han rekna ut over 1,2 billionar desimalar ved hjelp av ein supercomputer med 64 nodar. Reknestykket tok over 600 timar.

 Tabell over historisk utrekning av Pi 
 Matematikar  År Desimalar Egypt, Babilon, India 1900 - 1700 fvt.  1 Arkimedes  ca. 250 fvt.  3 Zu Chongzhi  ca. 480  7 Jamshid Masud Al-Kashi  ca. 1424 16 Ludolph van Ceulen  1596  35 Jurij Vega  1794  136 William Shanks  1874  527 Levi B. Smith, John W. Wrench  1949 1 120 Daniel Shanks, John W. Wrench  1961 100 265 Yasumasa Kanada, Sayaka Yoshino, Yoshiaki Tamura 1982 16 777 206 Yasumasa Kanada, Yoshiaki Tamura, Yoshinobu Kubo 1987 134 217 700 Chudnovskys  1989 1 011 196 691 Yasumasa Kanada, Daisuke Takahashi  1997 51 539 600 000 Yasumasa Kanada, Daisuke Takahashi  1999 206 158 430 000 Yasumasa Kanada (ikkje stadfesta) 2002 1 241 100 000 000

 Tilnærmingar 

Sidan π er transcendent er det ingen avgrensa definisjonar gjevne ved algebraiske tal og funksjoner som kan gje ein eksakt definisjon av π. Formlar for å kalkulera π vil gje uttrykk for at prosessen held fram i det uendelege. Uansett kor langt ein lèt ein slik prosess gå vil ikkje resultatet vera nøyaktig π, men jo lengre prosessen held på, jo meir nøyaktig vert resultatet.

Det er difor gjeve mange tilnærmingar av π. For mange føremål er 3.14, eller 22/7 nære nok. Ingeniørar nyttar ofte 3.1416 eller 3.14159 for høgre presisjon. Tilnærmingane 22/7 og 355/113 som gir høvesvis 3 og 7 riktige tal er dei enklaste tilnærmingane gitt ved brøkar. 355/113 (3.14159292) er den beste tilnærminga ein får med tre eller fire tal i teljar og nemnar.

 Geometriske formlar 

Konstanten π er mykje brukt i geometriske formlar, spesielt når det gjeld sirklar og sfærar.

Geometrisk formFormelOmkrinsen til ein sirkel med radius r og diameter dArealet av ein sirkel med radius rArealet av ein ellipse med semiakse a og bVolumet av ein sfære med radius r og diameter dOverflata av ein sfære med radius r og diameter dVolumet av ein sylinder med høgde h og radius rOverflata av ein sylinder med høgde h og radius rVolumet av ei kjegle med høgde h og radius rOverflata av ei kjegle med høgde h og radius r

 Pugging av pi 

Det å pugge desimalar av pi er for mange ein lidenskap. Den noverande rekorden er på 100.000 desimalar og er halden av Akira Haraguchi den 3. oktober 2006 .

Det vert nytta mange måtar for å pugga pi. Ein måte er å nytta såkalla piems, det vil seia dikt (avleidd frå engelsk poems) der kvart ord har det same talet bokstavar som den tilsvarande desimalen i pi. Eit eksempel på eit piem er: «How I need a drink, alcoholic in nature (alternativt: of course), after the heavy lectures involving quantum mechanics». Legg merke til at det første ordet er laga av 3 bokstavar, det neste av 1, så 4 og så vidare. Eitt slikt piem er Cadaeic Cadenza .

Denne metoden vert ineffektiv når det kjem til å pugga store delar av pi. Ein annan metode er å gjera bruk av mønster i tala ved å assosiera visse tal til årstal og liknande.

 I kulturen 
14. mars vert ofte kalla pi-dagen («Pi-day») på grunn av den amerikanske skrivemåten 3/14. Dette er også fødselsdagen til Albert Einstein.

Merknadar

 Bakgrunnsstoff 
Desimalar

 Dei 4 fyrste millionane desimaltal i π  - Åtvaring! - Filstorleiken er om lag 2 megabyte.
 Søk gjennom dei 200 fyrste millionane desimaltal i π for gjeve talrekker
Generelt
 The Joy of Pi av David Blatner
 J J O'Connor og E F Robertson: Ei historie om pi. Mac Tutor project
 Bevis på at π er irrasjonalt.


Kategori:Forhold
Kategori:Kompleks analyse
Kategori:Trigonometri
Kategori:Matematiske rekkjer
Kategori:Tobokstavsord
Kategori:Utvalde artiklar 2015
Kategori:Transcendente tal