Flatevidd

Flatevidd eller areal er ord som vert brukte for å uttrykka utstrekkinga av eit område. 

Einingane ein bruker til å måle flatevidd har to dimensjonar, lengde og breidde. Ein kvadratmeter er til dømes ein meter lang og ein meter brei, medan ein kvadratkilometer er ein kilometer i kvar retning. Andre einingar ein ofte brukar for å snakka om flatevidd er mål og dekar, som begge er definert som 1000 kvadratmeter.

Det er fleire kjende formlar for enkle former som trekantar, rektangel og sirklar. Ved å nytte desse formlane kan ein finne arealet til alle polygon ved å dele dei inn i trekantar. For former som består av kurver, må ein som regel nytte differensialrekning for å finne arealet. Faktisk var problemet med å finne arealet til forskjellige figurar ein stor motivasjonsfaktor for utviklinga av differensialrekning.

For former som kuler, kjegler og sylindrar, vert arealet av overflata kalla overflatearealet. Formlar for overflateareal av enkle former vart rekna ut av greske matematikarar i antikken.

 Formell definisjon 
Ei tilnærming til å definere kva ein meiner med areal finn ein gjennom aksioma. Til dømes kan ein definere eit areal som ein funksjon a frå ei samlnig M av ei særskild plan figur i ei mengd reelle tal som tilfredsstiller følgjande eigenskapar: 
 For alle S i M, .
 Om S og T er i M så er òg  og  det, .
 Om S og T er i M med  så er T − S i M og a(T − S) = a(T) − a(S).
 Om ei mengd S er i M og S er kongruent til T så er T òg i M og a(S) = a(T).
 Alle rektangel R er i M. Om rektangelet har lengda h og breidda k så er a(R) = hk.
 La Q vere ei mengd lukka mellom to stegvise regionar S go T. Ein stegregion er danna av ein endeleg union av tilstøytande rekangel som kviler på same grunnlinje, til dømes . Om det finst eit unikt tal c slik at  for alle slike stegregionar S og T, så er a(Q) = c.

 Einingar 
mini|Ein kvadratmeter.
Kvar lengdeeining har ein tilsvarande eining for areal, nemleg arealet til eit kvadrat med den lengda ein har nytta. Areal kan derfor målast i kvadratmeter (m2), kvadratcentimeter (cm2), kvadratmillimeter (mm2), kvadratkilometer (km2), kvadratfot (ft2), kvadratyard (yd2), kvadratmile (mi2), og så vidare. Algebraisk kan ein tenkje på desse einingane som kvadrat av dei samsvarande lengdeeiningane. 

SI-eininga for areal er kvadratmeter. 

 Omrekningar 
mini|320px|Sjølv om det er 10 mm i 1 cm, er der 100 mm2 i 1 cm2.
Omrekninga mellom to arealeiningar er kvadratet av omrekninga mellom dei tilsvarande lengdeeiningane. Til dømes sidan 
1 fot = 12 tommer,
så er forholdet mellom kvadratfot og kvadrattomme 
1 kvadratfot = 144 kvadrattommar
der 144 = 122 = 12 × 12. På liknande vis:
 1 kvadratkilometer = 1 000 000 kvadratmeter
 1 kvadratmeter = 10 000 kvadratcentimeter = 1 000 000 kvadratmillimeter
 1 kvadratcentimeter = 100 kvadratmillimeter
 1 kvadratyard = 9 kvadratfot
 1 kvadratmile = 3 097 600 kvadratyard = 27 878 400 kvadratfot
I tillegg, 
 1 kvadrattomme = 6,4516 kvadratcentimeter
 1 kvadratfot =  kvadratmeter
 1 kvadratyard =  kvadratmeter
 1 kvadratmile =  kvadratkilometer

 Andre einingar 
Det finst òg fleire andre einingar for areal. 

Hektar eller mål vert ofte framleis nytta for å måle landområde 
 1 hektar = 10 000 kvadratmeter = 0.01 kvadratkilometer

I somme land nyttar ein òg acre der
 1 acre = 4 840 kvadratyard = 43 560 kvadratfot
Ein acre er om lag 40 % av ein hektar. 

 Arealformlar 
 Rektangel 
mini|Arealet til dette rektangelet er  .
Den mest grunnleggande arealformelen er formelen for arealet til eit rektangel. Eit rektangel med lengda  og breidda , har arealformelen: 
  (rektangel).
Altså arealet er lengda multiplisert med breidda. Eit spesialtilfelle er eit kvadrat med lengda  som er gjeven av formelen
  (kvadrat).

mini|venstre|Like arealfigurar.

 Oppdelingsformlar 
Dei fleste andre enkle formlar for areal går ut på å dele opp problemet. Dette vil sei å dele formene inn i bitar som ein kan rekne ut arealet for, og så summere arealet for å få arealet til den originale forma. 

Til dømes kan eit parallellogram delast inn i eit trapes og ein rettvinkla trekant, som vist i figuren til venstre. Om trekanten vert flytta til den andre sida av trapeset får ein eit rektangel. Dermed vil arealet til parallellogrammet vere det same som arealet til rektangelet: 
  (parallellogram).
mini|To like trekantar.
Det same parallellogrammet kan kuttast inn i ein diagonal og delast inn i to kongruente triangel, som synt i figuren til høgre. Det følgjer at arealet kvart triangel er halvparten av arealet til parallellogrammet:
  (trekant).
Liknande argument kan nyttast til å finne arealformlar for trapes og rombe, samt meir kompliserte polygon.

 Sirklar 
mini|Ein sirkel kan delast inn i sektorar som kan omarrangerast slik at dei tilnærma formar eit parallellogram.
Formelen for arealet til ein sirkel er basert på ein liknande metode. Om ein har ein sirkel med radius , er det mogeleg å dele sirkelen inn i sektorar, som vist i figuren til høgre. Kvar sektor er tilnærma trekantforma og kan omarrangerast og forme eit tilnræma parallellogram. Høgda på dette parallellogrammet er , og breidda er halve omkrinssen til sirkelen eller . Dermed er det totale arealet til sirkelen , eller :
  (sirkel).
Sjølv om oppdelinga nytta i denne formelen berre er ei tilnærming, vert feilen mindre og mindre etter fleire og fleire sektorar ein deler sirkelen inn i. Grensa til arealet for det tilnærma parallellogrammet er nøyaktig , som er arealet for ein sirkel. 

Denne metoden er faktisk eit enkelt døme på ideane i differensialrekning. 

 Overflateareal 
mini|180px|Arkimedes synte at overflatearealet og volumet til ei kule er nøyaktig 2/3 av arealet og volumet til ei omliggande sylinderflate.
Dei mest grunnleggande formlane for overflateareal kan ein få ved å kutte overflata opp og flate dei ut. Til dømes om overflata til ein sylinder (eller eit prisme) vert kutta på langs, så kan ein brette ut overflata til eit rektangel. På liknande vis kan ein kutte langs sida på ei kjegle og få ein sektor av ein sirkel, som så kan reknast ut. 

Formelen for overflatearealet til ei kule er vanskelegare, fordi overflate har ei ei gaussisk krumming som ikkje er lik null, og dermed ikkje kan flatast ut. Formelen for overflate arealet til ei kule var det Arkimedes som først kom fram til i verket On the Sphere and Cylinder. Formelen er
  (kule).
der  er radiusen til kula. Som med formelen for arealet til ein sirkel kan ein kome fram til denne formelen med liknande metodar som vert nytta i differensialrekning.

 Formlar 
+ Vanleg formel for areal: Form Formel VariablarLikesida trekant er lengda til ei side i trekanten. Trekant er halve omkrinsen, ,  og  er lengda på kvar side. Trekant og  er to vilkårlege sider og  er vinkelen mellom dei. Trekant og  er høvesvis grunnlinja og høgda (målt vinkelrett på grunnlinja). Kvadrat er lengda til ei side av kvadratet. Rektangel og  er lengdene til sidene i rektangelet (lengda og breidda). Rombe og  er lengda til dei to diagonalane i romben. Parallellogram er lengda til grunnlinja og  er høgda som står vinkelrett på grunnlinja. Trapes og  er lengda til dei parallelle sidene og  er avstanden (høgda) mellom parallellane. Likesida sekskant er lengda til ei av sidene i sekskanten. Likesida åttekant er lengda til ei av sidene i åttekanten.  Likesida polygon      er lengda til ei side og  er mengda sider.  Likesida polygon      er omkrinsen og  er mengda sider Likesida polygon      er radiusen til ein omskriven sirkel,  er radiusen til ein innskriven sirkel og  mengda sider.  Likesida polygon er radiusen til ein innskriven sirkel og  er omkrinsen til polygonet.Sirkel er radiusen og  er diameteren.Sirkelsektor og  er høvesvis radiusen og vinkelen (i radianar).Ellipse og  er høvesvis lengda på den vesle og den store aksen. Totalt overflatearealet av ein sylinder og  er høvesvis radius og høgd. Overflatearealet til ei sylinderside.  og  er høvesvis radius og høgd. Det totale overflatearealet til ei kjegle og  er høvesvis radius og skråhøgda. Overflate til ei kjegleside og  er høvesvis radius og skråhøgda. Overflatearealet til ei kule og  er høvesvis radius og diameter. Det totale overflatearealet til ein ellipsoide Sjå artikkelen. Det totale overflatearealet til ein pyramide er grunnarealet,  er omkrinsen til grunnflata og  er skråhøgda. Omforming frå kvadratisk til sirkulært areal.  er arealet til kvadratet i kvadrateiningar. Omforming frå sirkel til kvadratareal er arealet til sirkelen i sirkeleiningar.

 Andre formlar 

 Areal i differensialrekning 
mini|287px|Arealet mellom to grafar kan reknast ut ved skilnaden mellom integrala til dei to funksjonane som dannar grafane.
 arealet mellom grafane til to funksjonar er lik integralet til den eine funksjonen, f(x), minus integralet til den andre funksjonen, g(x).
 eit areal avgrensa av ein funksjon r = r(θ) uttrykt i polarkoordinatar er .
 arealet lukka av ei parametrisk kurve  med endepunkt  er gjeven av linjeintegrala

eller z-komponenten av

 Generell formel for overflateareal 
Den generelle formelen for overflatearealet av grafen til ein kontinuerleg differensierbar funksjon  der  og  er ein region i xy-planet med glatte grenser: 

Ein enno meir generell formel for arealet til ein graf av ei parametrisk flate på vektorforma  der  er ein kontinuerleg differensierbar vektorfunksjon av :
 do Carmo, Manfredo. Differential Geometry of Curves and Surfaces. Prentice-Hall, 1976. Side 98.

 Kjelder 
 Denne artikkelen bygger på «Area» frå , den 29. oktober 2011. 
 oppgav desse kjeldene:

 Bakgrunnsstoff 


 Arealformlar