Koppel (Mathematik)

De Koppel is een vun de wichtigste Konzepte vun de Mathematik. De Koppenkünn faat enkelte Liddmaten (Elementen) to 'n Koppel tosamen. De Elementen köönt t.B. Tallen, Lüüd, Bookstaven etc. ween.  En Koppel kann ok leddig ween (leddige Koppel).

De Mathematikers hebbt de Koppelkünn to't Enn vun dat 19. Johrhunnert utklamüüstert, un de warrt in de Mathematik nu so veel bruukt, dat se al op de Grundschool ünnerricht warrt. Se is sotoseggen, de Spraak in de de moderne Mathematik verkloort warrt. 

 Definition 
Georg Cantor häff de Koppelkunn populariseert un folgen Definition vörschlån:

Unner een Koppel vörstait sik een Tohaupefatten van bestemte wuolunnerschaidene Objekte van us Anschauen oer Denken to een Heel.

Richard Dedekind hett de Koppel so verkloort: De Koppel is so as 'n Sack, wo welke Saken (de Elementen vun de Koppel) binnen sünd. Dit Bild helpt to verstahn, wat 'n leddige Koppel is: dat is nich "nix", man dat is 'n leddigen Sack, wo nix binnen is.

 Angaav van Koppels 

 Döör Optellen 
Endlike Koppels låt sik (besünners, wan der nich veel Elemente binnen sünd) döör Optellen vun jümehr Elemente
opskrieven.

Bispeel: . Bi dat Optellen vun de Elemente is dat goot, en "natürliche" Reeg vun de Elemente to bruken, t.B. de alphabetische Reeg. Dat kann een beter lesen. Man för de Koppel sülvst is de Reeg vun jümehr Elementen eendoont. Dat is dorbi nich begäng, Elementen mehr as eenmal optoschrieven. De Koppel warrt dör de Elemente defineert, de in ehr binnen sünd, un dat ännert nix an de Koppel, wenn en Element tweemal opschreven warrt oder wenn twee Elemente tuuscht warrt: .

 Döör wöördlik Beskrieven 
Dat is ok möglich, 'n Koppel mit Wöör to beschrieven, t.B. 
 wees de Koppel woneem de eersten veer positiven helen Tallen binnen sünd.
 wees de Koppel van de dree Klören uut de franzööske Flagg.

 Döör mathematische Notatschoon 
Bi graute Koppels met veel Lidmaten is dat nich goot mööglik, denn Inholl van de Koppel kumplet optoskrieven. 
T.B. düert dat lang,  uuttoskrieven un derto duurt dat ok lang, dat to lesen. Un so skrievt de Mathematikers dat denn ok nich ut, man se bruukt 'n Afkörten:

Dat hait, de List lett sik afkörten, wenn de Elementen to 'n Munster passt, dat de Leser ok glieks rutfinnen kann. De List warrt dann mit dat Symbol  afkört. Man een mutt dann oppassen, so vele Elementen optoschrieven, dat dat Munster ok kloor is. Een Bispill: 

Hier gifft dat twee Mööglichkeiten, dat to verstån. Dat kann de Koppel vun de eersten 16 natüürliken Tallen ween, mär ok de Koppel vun de eersten 5 Potenzen vun de 2, düs .

Dit System funktscheneert ok blots dann, wenn dat Munster licht ruttofinnen is, t.B. hett de Koppel 

ok 'n System, man dat is nich glieks kloor, wat dat is:

För sükke Fälle hebbt de Mathematikers 'n spezielle Skrievwies:

In disse Skrievwies hait de Streek  so dat oar woneem. Faak warrt der ok  för brukt. De Mathematikers leest dat dann so:
 is de Koppel vun Tallen mit de Form , woneem  'n natürlike Tall grötter 0, minner 19 is.

Dårmet gifft't de kumplette List vun de Lidmaten, wenn een in den Utdruck  för  alle (natürliken) Tallen vun 0 bet 19 insetten doot.

 Schrievwiesen 
Låt  un  Koppels ween un  een Objekt (t.B. een Tall, een Vektor, oar een annere Koppel).
 Een skrievt , as  een Lidmat van  is un  as nich.
  is een Deelkoppel van  un een doot  skrieven, as elk Lidmat van  ok een Lidmat van  is. Mathematisk uutdrückt is  een Deelkoppel van  as de Uutsäg  gill.
 Een nöömt  un  liek un skrievt , wan se desülvigen Lidmaten beinhollen. Düt is äquivalent to . Dat achtere is in de Praxis faken eenfakker to wiesen.
 Is , mär , warrt  een propper Deelkoppel van  nöömt, wat een met  noteern kann. (Waarschau: Een draf  un  nich döörnannerbrängen!)

 Koppelkonstruktionen 
mini|Mengselkoppel 
mini|rechts|Snibkoppel 
mini|Koppel van'n Ünnerschaid : „A sünner B“
mini|Symmetrisken Ünnerschaid 
mini|Kumpelment  in 

Låt  un  Koppels ween.

 Uutsünnern 
Is  een Eegenschop, so winnt een döör Uutsünner de Koppel

 Mengsel 
De Koppel van't Mengsel van  un  is geaven döör

 Snib 
De Snibkoppel van twee Koppels is defineert as

 Ünnerschaid 
De Ünnerschaid van twee Koppels is defineert as

Uutsproken warrt dat A sünner B.

 Symmetrisken Ünnerschaid 
De symmetrske Ünnerschaid van twee Koppels is defineert as

 Kumelment 
Faak is een Koppel  een Deelkoppel van een Overkoppel . Wann uut denn Kontext klår is, in wekke Overkoppel  leevt, is dat Kumpelment

de Koppel van alle Lidmaten van , wel nich in  to finnen sint. För dat Kumpelment gifft dat de alternative Schrievwiese .

 Kartees'sk Produkt 
Sint  und  Objekten, so warrt dat arrangsjeert Paar van  un  met  betekent. Et is düs  akkråt dann, wann  un . Dat kartees'ske Produkt van twee Koppels is defineert as de Koppel

Op desülve Maneer defineert een dat Tripel  un gans allgemeen -Tupel  för een belaivig . Skrieven warrt dat dann ok as

Is  för alle , so skrievt een  an Stiär van .

 Potenskoppel 
De Koppel van alle Deelkoppels van  hait de Potenskoppel van . Se warrt met  betekent.
Kategorie:Mathematik

 Bispellen 
  betekent de lüerige Koppel
  betekent de Koppel van de natürliken Tallen,  de Koppel van de helen Tallen,  de Koppel van de broaken Tallen,  de Koppel van de reellen Tallen un  de Koppel van de komplexen Tallen. Et is

 Dat is wichtig,  un  nich döörnanner to bringen. So is t.B.  nich lüerig (de beinhollt denn eenigen Lidmat ), un de Koppel  häff mär een Lidmat (nöömlik ), tiedens  sünnerennlik is.
  un 
  un