Álgebra de Boole

Na matemática, na lógica i na ciéncia de la cumputaçon, las álgebras boleanas (ó álgebras de Boole) son struturas algébricas que "catan las propiadades eissenciales" de ls ouperadores lógicos i de cunjuntos.

 Stória 
Recebiu l nome de boleana an houmenaige la George Boole, matemático anglés, que fui l purmeiro la defeni-las cumo parte dun sistema de lógica an meados de l seclo XIX. Mais specificamente, la álgebra boleana fui ua tentatiba d'outelizar técnicas algébricas para lidar cun spressones ne l cálclo proposicional. Hoije, las álgebras boleanas ténen muitas aplicaçones na eiletrónica. Fúrun pula purmeira beç aplicadas a anterrutores por Claude Shannon, ne l seclo XX.

 Defeniçon 
Ua álgebra boleana ye ua 6-upla  cunsistindo dun cunjunto  munido de dues ouparaçones binárias  (tamien denotado por , ye giralmente chamado de "ó") i  (tamien denotado por  ó por , ye giralmente chamado de "i"), ua ouparaçon unária  (tamien denotada por  ó por ua barra superior, ye giralmente chamado de "nó"), i dues custantes  (tamien denotada por  ó por , giralmente chamado de "zero" ó de "falso") i  (tamien denotada por  ó por , giralmente chamado de "un" ó de "berdadeiro"), i sastifazendo ls seguintes axiomas, para qualesquiera :

Propiadades Associatibas



Propiadades Quemutatibas



Propiadades Çtributibas



Eilemientos Neutros



Eilemientos Cumplementares



Alguns outores tamien ancluen la propiadade , para eibitar la álgebra boleana cun solamente un eilemiento.

 Eisemplos 
 L'eisemplo mais simples de álgebra boleana cun mais dun eilemiento ye l cunjunto  munido de las seguintes ouparaçones:


 Un outro eisemplo de álgebra boleana ye l cunjunto  (l'eilemiento  ye giralmente chamado de "çconhecido" ó de "talbeç") munido de las seguintes ouparaçones:


 Dado un cunjunto , l cunjunto  de las partes de  munido de las ouparaçones , , , i adonde  i , ye ua álgebra boleana.

 L anterbalo  munido de las ouparaçones , , i , ye ua álgebra boleana. Essa álgebra boleana recibe l nome de lógica fuzzy.

 Teoremas 
Dado ua álgebra boleana subre , son bálidos para qualesquiera :

Propiadades Eidempotentes



Dupla Negaçon


Leis de De Morgan



Propiadades Absorbentes



Eilemientos Absorbentes



Negaçones de l Zero i de l Un



Defeniçones altarnatibas de l'ouparaçon binária  (tamien denotado por , ye giralmente chamado de "xou" ó de "ó sclusibo")


 Orde 
Dado ua álgebra boleana subre , ye bálido para qualesquiera :
  se i solamente se 

La relaçon  defenida cumo  se i solamente se ua de las dues cundiçones eiquibalentes arriba ye sastifeita ye ua relaçon d'orde an . L supremo i l ínfimo de l cunjunto  son  i , respetibamente.

 Homomorfismos i eisomorfismos 
Un homomorfismo antre dues álgebras boleanas  i  ye ua funçon  que para qualesquiera :




Ua cunsequéncia ye que .

Un eisomorfismo antre dues álgebras boleanas  i  ye un homomorfismo bijetor antre  i . L amberso dun eisomorfismo ye un eisomorfismo. Se eisiste un eisomorfismo antre  i , dezimos que  i  son eisomorfos.

 Ber tamien 
 Reticulado
 Percípio de l terceiro scluído
 Númaros binairos
 Lógica binária
 Tabela berdade
 Funçon boleana
 Circuito digital
 Forma canónica
 Sistema formal
 Mapa de Karnaugh
 Diagrama de Benn
 Álgebra de Heiyting

Catadorie:Álgebra
Catadorie:Álgebra boleana
Catadorie:Síntese lógica
Catadorie:Lógica
Catadorie:Ciéncia de la cumputaçon
Catadorie:Circuitos digitales
Catadorie:Cumputaçon