Lemma ta’ Borel-Cantelli

Il-Lemma ta' Borel-Cantelli hu riżultat fit-teorija tal-probabbiltà u t-teorija tal-miżura fundamentali għall-prova tal-liġi qawwija tan-numri kbar.
Il-lemma hi msemmija għal Émile Borel u Francesco Paolo Cantelli.

 Prova
 Bil-monotonija ta' , għandna

Issa bis-subadditività:

Għalhekk billi ta' l-aħħar hu l-limitu tal-bqija ta' serje konverġenti, għandna


In partikulari, fi spazju tal-probabbiltà  , għal suċċessjoni ta' ġrajjiet , għandna:


Fil-każ ta' spazji tal-probabbiltà, hi veru wkoll il-propożizzjoni li ġejja (spiss imsejjħa  "it-tieni lemma ta' Borel-Cantelli"):
  u  huma indipendenti 

 Prova ta' l-asserzjoni 2

Issa bl-indipendenza u d-diżugwaljanza ; 

billi s-somma tiddiverġi u hekk l-esponenzjali tersaq lejn 0. Għalhekk:

Fi kliem ieħor jekk suċċessjoni ta' ġrajjiet għandha probabbiltà sommabbli, kważi żgurament, in-numru ta' drabi li jiġru  hu finit. Jekk minflok il-probabbiltà mhijiex sommabili u l-ġrajjiet huma indipendenti kważi żgurament in-numru ta' drabi li jiġru hu infinit. In partikulari f'numru infinit ta' provi indipendenti kull ġrajja b'probabbiltà pożittiva tiġri numru infinit ta' drabi.

 Ħoloq esterni 

Prova fuq Planet Math

Borel-Cantelli
Borel-Cantelli