Ekwazzjoni ta' Schrödinger

L-ekwazzjoni ta' Schrödinger, misjuba mill-fiżiku Awstijak/Irlandiż Erwin Schrödinger fl-1925, hi ekwazzjoni fundamentali fil-Mekkanika kwantistika mhux relativistika. Tiddeskrivi l-evoluzzjoni mal-ħin ta' partiċella massiva mhux relativistika, u tieħu l-post li għandha t-tieni liġi ta' Newton fil-Mekkanika klassika. 

 Twelid tal-ekwazzjoni 

 Kuntest storiku 

Fil-bidu tas-seklu XX, kien jidher ċar li d-dawl juri d-dwalità mewġa-partiċella, jiġifieri jista' jidher, skont iċ-ċirkostanzi, kemm bħala partiċella, il-foton, u kemm bħala mewġa elettromanjetika. Louis de Broglie imbagħad ippropona li għandna niġġeneralizzaw id-dwalità għall-partiċelli magħrufa kollha allavolja l-ipoteżi kienet ħa toħloq paradoss għall-elettroni li kien ikollhom ikunu jistgħu jagħmlu interferenza bħad-dawl, ħaġa li ġiet verifikata wara mill-esperiment ta' Davisson-Germer. Bl-istess mod bħal fil-każ tal-foton, Louis de Broglie assoċja ma' kull partiċella ħielsa ta' enerġija  u momentu  frekwenza  u tul tal-mewġa  :
.

L-ekwazzjoni ta' Schrödinger, misjuba mill-fiżiku Erwin Schrödinger fl-1925, hi ekwazzjoni tal-mewġa li tiġġeneralizza l-approċċ ta' de Broglie li rajna hawn fuq għall-partiċelli massivi mhux relativistiċi li hemm fuqhom forza mnissla minn potenzjal u li l-enerġija mekkanika totali tagħhom hi klassikament:
. 
L-ekwazzjoni, imnissla minn din l-estensjoni permezz tal-prinċipju tal-korrispondenza, kellha suċċess minnufih billi biha setgħu jikkalkulaw il-livelli kwantifikati tal-enerġija tal-elettron fl-atomu tal-idroġenu u jispjegaw l-ispettru tal-idroġenu : is-serji ta' Lyman, Balmer, Brackett, Paschen, eċċ. 

L-interpretazzjoni fiżika korretta tal-funzjoni ta' Schrödinger ingħatat fl-1926 minn Max Born. Minħabba l-karattru probabilistiku li daħħlet, il-mekkanika ondulatorja ta' Schrödinger fil-bidu intlaqgħet bis-suspett minn ċerti fiżiċi magħrufin bħal Albert Einstein, li għalih "Alla ma jilgħabx bid-dammi".

 Id-derivazzjoni ta' Schrödinger 

Id-derivazzjoni tiegħu Schrödinger ibbażaha fuq analoġija formali bejn l-ottika u l-mekkanika:

 Fl-ottika ondulatorja, l-ekwazzjoni tal-propagazzjoni f'materjal trasparenti ta' indiċi reali n li jinbidel bil-mod fuq l-iskala tat-tul tal-mewġa, twassal – sakemm wieħed jkun qiegħed ifittex soluzzjoni monokromatika li l-ampjezza tagħha tvarja bil-mod ħafna mal-fażi – għal ekwazzjoni approssima li tissejjaħ l-ekwazzjoni eikonali. Din hija l-approssimazzjoni tal-ottika ġeometrika, li magħha nassoċjaw il-prinċipju varjazzjonali ta' Fermat.

 Fil-formulazzjoni Hamiltonjana, hemm ekwazzjoni msejħa l-ekwazzjoni ta' Hamilton-Jacobi. Għal partiċella massiva mhux relativistika li fuqha hemm forza mnissla minn potenzjal, l-enerġija mekkanika totali hi kostanti u l-ekwazzjoni ta' Hamilton-Jacobi għall-"funzjoni karatteristika ta' Hamilton" tixbaħ formalment l-ekwazzjoni eikonali (il-prinċipju varjazzjonali użat hawn hu l-prinċipju tal-inqas azzjoni.)

Din l-analoġija induna biha Hamilton fl-1843, imma dan ma kellux għalfejn jiddubita l-validità tal-mekkanika klassika. Wara li De Broglie ħareġ bl-ipoteżi tiegħu fl-1923, Schrödinger qal lilu nnifsu Schrödinger iddiskuta fid-detal ir-relazzjoni bejn il-mekkanika Hamiltonjana u l-ottika fit-tieni mémoire tal-1926 (ara l-biblijografija). Cf. Walter Moore ; Schrödinger - Life & Thought, Cambridge University Press (1989). : la l-ekwazzjoni eikonali hija approssimazzjoni tal-ekwazzjoni tal-mewġa fl-ottika ondulatorja, għaliex ma nfittxux l-ekwazzjoni tal-mewġa fil-"mekkanika ondulatorja" li l-approssimazzjoni tagħha tkun l-ekwazzjoni ta' Hamilton-Jacobi. U hekk għamel, l-ewwel għal mewġa stazzjonarja (E = kostanti), u mbagħad għal liema mewġa tkun kif tkunMin hu kurjuż jista' jara d-dettalji ta' din id-derivazzjoni f': Herbert Goldstein ; Classical mechanics, Addison-Wesley (2ni edizzjoni-1980), paragrafu 10.8, pp. 484-492..

Rimarka : Schrödinger kien beda jittratta l-każ ta' partiċella relativistika – kif kien għamel De Broglie qabluAbraham Païs ; Inward Bound, Oxford University Press (1986).. Kien kiseb l-ekwazzjoni li llum tissejjaħ bl-isem l-ekwazzjoni ta' Klein-Gordon, imma meta sab li l-applikazzjoni tiegħu għall-każ tal-potenzjal Coulombjan tagħti livelli tal-enerġija li ma jaqblux mar-riżultati tal-esperimenti għall-atomu tal-idroġenuIl-formola ta' Balmer li kiseb kienet korretta, imma l-istruttura fina ma kienitx., reġa' ntefa' fuq il-każ mhux relativistiku, bis-suċċess li jaf kulħadd.

Derivazzjoni elementari 

Ladarba nkunu waqqafna l-anoloġija bejn l-ottika u l-mekkanika Hamiltonjana, il-bqija tad-derivazzjoni hi ħafifa. L-ekwazzjoni li tissodisfa l-ampjezza spazjali ta' mewġa monokromatika ta' frekwenza   f'materjal ta' indiċi n li tvarja bilmod nistgħu niktbuha hekk:

Nintroduċu n-numru tal-mewġa k f'materjal ta' indiċi n:

Imbagħad niksbu l-ekwazzjoni ta' Helmholtz :

Niddefinixxu t-tul tal-mewġa f'materjal : u nerġgħu niktbu l-ekwazzjoni ta' Helmholtz hekk :

Imbagħad nistgħu nużaw ir-relazzjoni ta' de Broglie għall-partiċella mhux relativistika, li għaliha il-momentu hu p = m v  :

Issa, l-enerġija ċinetika għall-partiċella mhux relativistika hi :

u minha niksbu l-ekwazzjoni ta' Schrödinger stazzjonarja :

Nintroduċu l-kwantu ta' azzjoni   u l-ekwazzjoni npoġguha fil-forma formali :

Baqgħalna nerġgħu nintroduċu il-ħin t biex nuru d-dipendenza ta' mewġa monkromatika. Nużaw ir-relazzjoni ta' Planck-Einstein   u niksbu:

Fl-aħħar niksbu l-ekwazzjoni ġenerali ta' Schrödinger:

 Formulazzjoni moderna tal-ekwazzjoni 

Fil-mekkanika kwantistika, l-istat fil-mument t ta' sistema niddeskrivuha b'element  tal-ispazju ta' Hilbert kompless — nużaw in-notazzjoni bra-ket ta' Paul Dirac.  tirrappreżenta l-probabbilità tar-riżultati ta' kull kejl possibbli fuq is-sistema.

L-evoluzzjoni temporali ta'  niddeskrivuha bl-ekwazzjoni ta' Schrödinger :

fejn 
  hu radiċi ta'  ;
  fejn  hu l-kostanti ta' Planck ;
  hu l-Hamiltonjan, li inġenerali jiddependi mill-ħin, l-osservabbli li jikkorrespondi għall-enerġija totali tas-sistema ;
  hu l-osservabbli pożizzjoni ;
  hu l-osservabbli momentu.

Bil-kontra għall-ekwazzjonijiet ta' Maxwell li jagħtu l-evoluzzjoni tal-mewġ elettromanjetiċi, l-ekwazzjoni ta' Schrödinger mhijiex relativistika. Din l-ekwazzjoni kienet postulat. Ġiet aċċettata bħala korretta wara li Davisson u Germer bl-esperimenti tagħhom kienu kkonfirmaw l-ipoteżi ta' Louis ta' Broglie.

 Riżoluzzjoni tal-ekwazzjoni 
Billi l-ekwazzjoni ta' Schrödinger hi ekwazzjoni vettorjali, nistgħu niktbuha b'mod ekwivalenti f'bażi partikulari tal-ispazju tal-istati. Jekk pereżempju nagħżlu l-bażi  li tikkorrispondi mar-rappreżentazzjoni tal-pożizzjoni ddefinita hekk

imbagħad il-funzjoni tal-mewġa tissodisfa l-ekwazzjoni li ġejja

fejn   hi l-Laplacjana.

F'din il-forma nistgħu naraw li l-ekwazzjoni ta' Schrödinger hi ekwazzjoni lineari bid-derivati parzjali u allura nistgħu niktbu s-soluzzjoni ġenerali tagħha bħala s-somma ta' soluzzjonijiet partikulari. L-ekwazzjoni fil-parti l-kbira tal-każi hi kkomplikata wisq biex ikollha soluzzjoni analitika u għalhekk ikollna nfittxu soluzzjoni approssima jew numerika. 

 Tfittxija għall-awtostati 
Bill l-operaturi li jidhru fl-ekwazzjoni ta' Schrödinger huma operaturi lineari, kull kumbinazzjoni lineari ta' soluzzjonijiet hi soluzzjoni tal-ekwazzjoni. Għalhekk nikkonċentraw fuq it-tfittxija għal soluzzjoniet li hemm interess kbir fihom għar-raġunijiet teoretiċi u prattiċi, l-istati li huma awtostati tal-operatur Hamiltonjan:
.
L-awtostat  hu assoċjat mal-awtovalur skalari reali , l-enerġija tal-partiċella li għandha  bħala stat. Din l-ekwazzjoni xi minn daqqiet tissejjaħ l-ekwazzjoni ta' Schrödinger indipendenti mill-ħin. 

Il-valuri tal-enerġija jistgħu jkunu diskreti bħas-soluzzjonijiet fil-każ ta' bir ta' potenzjal (pereż. il-livelli tal-atomu tal-idroġenu); dawn jirriżultaw fil-kwantifikazzjoni tal-livelli tal-enerġija. Jistgħu ukoll jagħtu spettru kontinwu bħal meta l-partiċella jkollha biżżejjed enerġija biex titbiegħed għall-infinit (pereż. elettron li għandu biżżejjed enerġija biex jaħrab min-nukleu tal-idroġenu).

Spiss jiġri li bosta stati jikkorispondu mal-istess valur tal-enerġija: f'dan il-każ ngħidu li l-livell tal-enerġija hu deġenerat.

B'mod ġenerali awtostat tal-Hamiltonjan,  , u l-enerġija assoċjata miegħu, jagħti soluzzjoni stazzjonarju tal-ekwazzjoni ta' Schrödinger (li tiddependi mill-ħin) :

Mela s-soluzzjoni ġenerali tal-ekwazzjoni ta' Schrödinger nistgħu niktbuha bħala kumbinazzjoni lineari ta' stati bħal dawn:

Skont il-postulati tal-Mekkanika kwantistika,
 il-kwantità skalari komplessa hi l-ampjezza tal-istat fuq l-istat ;
 in-numru reali  hu l-probabbiltà (fil-każ ta' spettru diskret) li nsibu enerġija meta nkejlu l-enerġija tas-sistema.

 Soluzzjonijet analitiċi eżatti 
It-tfittixija għall-awtostati tal-Hamiltonjan hi, inġenerali, komplessa ħafna. Anki l-każ tal-atomu tal-idroġenu li nistgħu nirriżolvuh analitikament, ma nistgħux niktbuh f'forma sempliċi jekk ma nħallux barra r-rabta mal-kamp elettromanjettiku li tippermetti l-istati eċċitati, is-soluzzjonijiet tal-ekwazzjoni de Schrödinger tal-atomu, li jgħaddu għall-istat fundamentali. 

Nistgħu nsibu soluzzjonijiet analitiċi għal xi mudelli sempliċi li għalkemm ma jaqblux mar-realtà nstabu utli ħafna: 
 partiċella ħielsa (potenzjal null);
 oxxillatur armoniku (potenzjal kwadratiku);
 partiċella li timxi f'ċirku;
 partiċella f'bir ta'potenzjal rettangulari;
 partiċella f'gwida tal-mewġ anulari ;
 partiċella f'potenzjal b'simetrija sferika;
 partiċella f'xibka unidimensjonali (potenzjal perjodiku).

Fil-każi l-oħra jkollna nirrikorru għal diversi metodi ta' approssimazzjoni:
 it-teorija tal-perturbazzjonijiet tagħti espressjonijiet analitiċi f'forma ta' żvilupp asintotiku madwar problema mhux perturbat li hu eżattament riżolvibbli.
 l-analiżi numerika tippermettielna nistudjaw sitwazzjonijiet li ma nistgħux nilħquhom bit-teorija tal-perturbazzjonijiet.

 Ġeneralizzazzjoni tal-ekwazzjoni 
Il-ġeneralizzazzjoni għall-qasam relativistiku twassal għall-ekwazzjoni ta' Klein-Gordon, u mbagħad għall-ekwazzjoni ta' Dirac; din tal-aħħar tistabilixxi b'mod naturali l-eżistenza tal-ispin u tal-antipartiċelli. Madankollu ma teżistix interpretazzjoni koerenti għalkollox ta' dawn l-ekwazzjonijiet relativistiċi tal-mewġa fil-forma ta' teorija li tiddeskrivi partiċella waħda u għalhekk it-teorija kwantistika relativistika rridu nqegħduha fit-teorija kwantistika tal-kampi.

 Referenzi u noti 

 Bibljografija 
 Erwin Schrödinger, Quantisierung als Eigenwertproblem. Annalen der Physik vol. 79, 1926, pp. 361, 489, 734, u Vol 81, p. 109, 1926.
 Paul Adrien Maurice Dirac, The Principles of Quantum Mechanics ir-4 edizzjoni, Oxford University Press, 1958.
 Erwin Schrödinger, "An Undulatory Theory of the Mechanics of Atoms and Molecules"  Physical. Review, Vol 28 p. 1049, 1926.

 Ara wkoll 

 Erwin Schrödinger
 Mekkanika kwantistika

Kategorija:Fiżika
Kategorija:Matematika