Kalkulu tal-varjazzjonijiet

Il-kalkulu tal-varjazzjonijiet hu qasam tal-matematika li jittratta funzjonijiet ta’ funzjonijiet, differenti mill-analisi ordinarja li tittratta funzjonijiet tan-numri. Dawn il-funzjonali jistgħu jkunu formulati, pereżempju, bħala integrali li jinvolvu funzjoni mhux magħrufa u d-derivati tagħha. L-interess hu fil-funzjonijiet estremali, jew dawk li jagħmlu l-valur tal-funzjonali massimu jew minimu. Xi problemi klassiċi fuq il-kurvi nistgħu inqegħduhom f’din il-forma: fost l-eżempji hemm il-kurva brakistokrona, il-mogħdija minn punt A għal punt B, mhux fl-istess linja vertikali, li matulha partiċella tinżel fl-inqas ħin taħt il-forza ta’ gravità. Mela rridu nimminimizzaw il-funzjoni li tirrappreżenta l-ħin fuq il-kurvi kollha minn A għal B.

It-teorema tal-qofol tal-kalkulu tal-varjazzjonijiet hu l-ekwazzjoni ta’ Euler-Lagrange. Din tikkorrispondi ma kondizzjoni ta’ stazzjonarjetà għall-funzjonal. Bħal fil-każ meta nfittxu l-massimi u l-minimi ta’ funzjoni, l-analisi tal-varjazzjonijiet żgħar madwar soluzzjoni tagħti kondizzjoni ta’ l-ewwel ordni. Ma nistgħux ngħidu direttament jekk inkunux sibna massimu, minimu, jew l-ebda wieħed.

Il-metodi varjazzjonali huma importanti fil-fiżika teorika: fil-mekkanika lagranġjana u fl-applikazzjoni tal-prinċipju ta’ minima azzjoni għall-fiżika kwantistika. Il-metodi varjazzjonali jipprovdu l-bażi matematika għall-metodu ta’ l-elementi finiti, li hu  biċċa għodda qawwija għar-riżoluzzjoni tal-problemi tax-xifer. Huma użati ħafna wkoll fl-istudju ta’ l-ekwilibri statiċi fix-xjenza tal-materjali, u fil-matematika pura, pereżempju fl-użu tal-prinċipju ta’ Dirichlet għall-funzjonijiet armoniċi mill-lat ta’ Bernhard Riemann.

L-istessi konċetti jidhru f’suriet oħra, pereżempju, bħala metodi fl-ispazji ta’ Hilbert, fit-teorija ta’ Morse, jew fil-ġometrija simplettika. Il termini varjazzjonali tintuża fil-każi kollha ta’ funzjonali estremali. L-istudju tal-ġeodetiċi fil-ġometrija differenzjali hu qasam li ovvjament għandu kontenut varjazzjonali. Sar ħafna xogħol fuq il-problema tas-superfiċju minimu (problema tal- bużżieqa tas-sapun), magħrufa wkoll bħala l-problema ta’ Plateau.

Paġni li għandhom x’jaqsmu

Diżugwaljanza isoperimetrika 
Prinċipju varjazzjonali ta’ Hamilton
Prinċipju ta’ Maupertuis
Prinċipju ta’ Fermat
Prinċipju ta’ minima azzjoni
Ottimizzazzjoni infinito-dimensjonali
Analisi funzjonali
Metodi perturbattivi
Metodi diretti fil-Kalkulu Varjazzjonali

Ħoloq esterni
Chapter III: Introduction to the calculus of variations ta' Johan Byström, Lars-Erik Persson, and Fredrik Strömberg

Bibljografija
 Tonelli, L.: Fondamenti di calcolo delle variazioni,  N. Zanichelli, 1921-23
 Todhunter, I. A history of the calculus of variations, Chelsea, 1861
 Carll, L. B. A Treatise On The Calculus Of Variations John Wiley & sons, 1881 
 Hancock, H. Lectures on the calculus of variations (the Weierstrassian theory) Cincinnati University Press, 1904
 Bolza, O Lectures on the calculus of variations, Chicago University Press, 1904
 Byerly, W. E. Introduction to the calculus of variations Harvard University Press, 1917
 Weinstock, R. Calculus Of Variations With Applications To Physics And Engineering, McGrawHill, 1952
 Hadamard J. e Fréchet, M. Leçons sur le calcul des variations (francese) Hermann, 1910
 Fomin, S.V. and Gelfand, I.M.: Calculus of Variations, Dover Publ., 2000 
 Lebedev, L.P. and Cloud, M.J.: The Calculus of Variations and Functional Analysis with Optimal Control and Applications in Mechanics, World Scientific, 2003, pages 1-98
 Charles Fox: An Introduction to the Calculus of Variations, Dover Publ., 1987 

Kategorija:Matematika
Kategorija:Analisi matematika