Alġebra astratta

L-alġebra astratta testendi l-kunċetti li nsibu fl-alġebra elementari għal oħrajn iżjed ġenerali.

Settijiet: Minflok nikkunsidraw biss it-tipi ta’ numri differenti, fl-alġebra astratta nqisu l-kunċett iżjed ġenerali ta’ sett li hu ġabra ta’ oġġetti (li jgħidulhom elementi) li għandhom ċerta proprjetà speċifika għas-sett. Pereżempju, in-numri reali jiffurmaw sett u n-numri komplessi sett ieħor. Eżempji oħra ta’ settijiet jinkludu s-sett tal-matriċi ta’ tnejn-bi-tnejn, is-sett tal-polinomji tat-tieni ordni (ax2 + bx + c), is-sett tal-vetturi bidimensjonali, u gruppi finiti varji bħall-gruppi ċikliċi, jiġifieri l-gruppi tan-numri interi modulo n. It-Teorija tas-settijiet hija fergħa tal-loġika u teknikament mhix fergħa tal-alġebra.

Operazzjonijiet binarji: L-idea tal-għadd (+) nistgħu nagħmluha iżjed astratta biex ittina operazzjoni binarja, * ngħidu aħna. Il-kunċett ta’ operazzjoni binarja ma jfisser xejn jekk ma nagħtux is-sett li fuqu qed niddefinixxu l-operazzjoni. Għal żewġ elementi a u b f’sett S a*b ittina element ieħor fis-sett, (din il-kundizzjoni ngħidulha għeluq taħt l-operazzjoni). L-għadd (+), it-tnaqqis (-), il-moltiplikazzjoni (×), u d-diviżjoni (÷) huma operazzjonijiet binarji meta niddefinuhom fuq settijiet addattati, kif ukoll l-għadd u l-multiplikazzjoni tal-matriċi, vetturi u polinomji.

Elementi tal-identità: Il-kunċett tal-“element tal-identità” huwa l-astrazzjoni tan-numri żero u wieħed. Żero huwa l-element tal-identità għall-għadd and u wieħed l-element tal-identità għall-moltiplikazzjoni. Għal operazzjoni binarja ġenerali * l-element tal-identità e irid jissodisfa a * e = a u e * a = a. Għall-għadd din hi sodisfatta billi a + 0 = a u 0 + a = a u għall-moltiplikazzjini wkoll għax a × 1 = a u 1 × a = a. Imma, jekk nieħdu in-numri naturali pożitivi u l-operazzjoni tal-għadd, m’hemmx element tal-identità.

Elementi inversi: Min-numri negattivi noħolqu l-kunċett ta’ element invers jew sempliċiment l-invers. Għall-għadd, l-invers ta’ a huwa -a, u għall-multiplikazzjoni l-invers hu 1/a. L-element invers ġenerali a-1 jrid jissodisfa r-relazzjoni a * a-1 = e u a-1 * a = e.

Assoċjattività: L-għadd tan-numri interi għandu proprjetà li nsejħulha assoċjattività. Jiġifieri, il-kumbinazzjoni tan-numri li nkunu qed ngħoddu ma tbiddilx is-somma tagħhom. Pereżempju: (2+3)+4=2+(3+4). Fil-kuntest generali, din issir (a * b) * c = a * (b * c). Il-biċċa kbira tal-operazzjonijiet binarji għandhom din il-proprjetà imma t-tnaqqis u d-diviżjoni le. 

Kommutattività: L-għadd tan-numri interi għandu wkoll proprjetà oħra li ngħidulha kommutattività. Jiġifieri, l-ordni tan-numri li nkunu qed ngħoddu ma tbiddilx is-somma tagħhom. Pereżempju: 2+3=3+2. Fil-kuntest generali, din issir a * b = b * a. Mhux l-operazzjonijiet binarji kollha għandhom din il-proprjetà. L-għadd u l-multiplikazzjoni tan-numri interi għandhom din il-proprjetà imma l-moltiplikazzjoni tal-matriċi le.

 Gruppi—strutturi ta’ sett b’operazzjoni binarja waħda 

Meta niġbru flimkien il-kunċetti li rajna qabel, ikollna waħda mill-iżjed strutturi importanti fil-matematika: il- grupp. Grupp jikkonsisti f’sett S u operazzjoni waħda li rridu, li niktbuha '*', imma li jrid ikolla dawn il-proprjetajiet:

 Irid ikun hemm element tal-identità e, li għal kull membru ieħor a ta’ S, e * a u a * e huma t-tnejn ugwali għal a.
 Kull element irid ikollu invers: għal kull membru ieħor a ta’ S, irid jeżisti membru a-1 sabiex a * a-1 u a-1 * a huma t-tnejn ugwali għall-element tal-identità.
 L-operazzjoni hi assoċjattiva: għal a, b u c membri ta’ S, (a * b) * c hija ugwali għal a * (b * c).

Jekk grupp hu anki kommutattiv - jiġifieri, għal kull żewg membri a u b ta’ S, a * b hija ugwali għal b * a – il-grupp ngħidu li hu Abeljan.

Pereżempju, is-sett tan-numri interi bl-operazzjoni tal-għadd huwa grupp. F’dal grupp, l-identità hija 0 u l-invers ta’ kull element a huwa n-negativ tiegħu, -a. Il-kundizzjoni ta’ assoċjattività hi sodisfatta, għax għal kull tliet numri interi a, b u c, (a + b) + c = a + (b + c).

Imma l-interi bl-operazzjoni tal-moltiplikazzjoni ma jiffurmawx grupp. Dan jiġri għax, in ġenerali, l-invers moltiplikattiv ta’ numru interu mhuwiex interu. Pereżempju, 4 huwa interu, imma l-invers moltiplikattiv tiegħu hu 1/4, li mhux interu.

L-istudju tal-gruppi jsir fit-teorija tal-gruppi. Wieħed mir-riżultati l-iżjed importanti f’din it-teorija kien il-klassifikazzjoni tal-gruppi finiti sempliċi li l-ikbar parti tagħha ġiet ippublikata bejn xi l-1955 u l-1983. Din tqassam il-gruppi sempliċi finiti f’xi 30 tip bażiku.

Eżempji  (MA = Mhux Applikabbli, bż = bla żero)Sett:Numri naturali Numri interi Numri razzjonali , Numri reali  u Numri komplessi Interi mod 3: {0,1,2}Operazzjoni +  × (bż) + × (bż) + − × (bż) ÷ (bż) + × (bż)Magħluq Iva Iva Iva Iva Iva Iva Iva Iva Iva Iva Identità 0 1 0 1 0 MA 1 MA 0 1 Invers MA MA -a MA -a a  a 0,2,1, respettivament MA, 1, 2, respettivament Assoċjattiv Iva Iva Iva Iva Iva Le Iva Le Iva Iva Kommutativ Iva Iva Iva Iva Iva Le Iva Le Iva Iva Struttura monoid monoid grupp Abeljan  monoid grupp Abeljan kważigrupp grupp Abeljan kważigrupp grupp Abeljan grupp Abeljan ()

Semigruppi, kważigruppi, u monoidi huma strutturi simili għall-gruppi, imma iżjed ġenerali. Jikkonsistu f’sett u operazzjoni binarja magħluqa, imma ma jissodisfawx il-kondizzjonijiet l-oħra neċessarjament. Semigrupp għandu operazzjoni binarja assoċjattiva, imma jista’ jkun li m’għandux element tal-identità. Monoid huwa semigrupp li għandu identità imma jista’ jkun li m’għandux invers għal kull element. Kważigrupp għandu l-proprjetà li kull element jista’ jinbidel f’kull ieħor bi pre- jew post-operazzjoni unika; imma l-operazzjoni binarja jista’ jkun li mhux assoċjattiva.

Il-gruppi kollha huma monoidi, u l-monoidi kollha huma semigruppi.

 Ċrieki u Kampi—strutturi ta’ sett b’żewġ operazzjonijiet binarji, (+) u (×) 

Il-gruppi għandhom operazzjoni binarja waħda biss. Biex nispjegaw il-mekkaniżmu tat-tipi ta’ numri differenti kompletament, hemm bżonn li nistudjaw strutturi b’żewġ operazzjonijiet. L-iżjed importanti fost dawn huma ċ-Ċrieki, u l-Kampi. 

Id-Distributtività tiġġeneralizza l-liġi distributtiva tan-numri u tiffissa f’liema ordni għandna napplikaw l-operazzjonijiet, (ngħidulha l-preċedenza). Għall-interi (a + b) × c = a×c+ b×c u c × (a + b) = c×a + c×b, u ngħidu li × hija  distributtiva  fuq +.

Ċirku għandu żewġ operazzjonijiet (+) u (×), fejn × hu distributtiv fuq +. Taħt l-ewwel operazzjoni (+) jifforma grupp Abeljan. Taħt it-tieni operazzjoni (×) hu assoċjattiv, imma m’hemmx bżonn ta' identità jew ta' invers, u allura ma nistgħux niddividu. L-element tal-identità tal-għadd (+) niktbuha bħala 0 u l-inverse tal-għadd ta’ a jinkiteb -a.

In-numri interi huma eżempju ta’ ċirku. 

Kamp hu ċirku b’proprjetà oħra miżjuda li l-elementi kollha barra 0 jiffurmaw grupp Abeljan taħt ×. L-identità moltiplikattiva (×) niktbuha bħala 1 u l-invers moltiplikattiv ta’ a jinkiteb a-1.

In-numri razzjonali, in-numri reali u n-numri komplessi huma kollha eżempji ta’ kampi.

Alġebra astratta