Analisi armonika

L-analisi armonika hi l-fergħa tal-matematika li tistudja r-rappreżentazzjoni tal-funzjonijiet u tas-sinjali bħala sovrappożizzjoni ta' mewġ fundamentali. Il-mewġ fundamentali jgħidulhom "armoniċi", minn fejn ġej l-isem "analisi armonika". Fl-analisi armonika ninvestigaw u niġġeneralizzaw l-idejat tas-serje ta' Fourier u t-trasformata ta' Fourier. Fl-aħħar żewġ sekli l-analisi armonika saret suġġett vast ħafna b'applikazzjonijiet f'bosta oqsma bħall-elaborazzjoni numerika tas-sinjali, il-mekkanika kwantistika u n-newroxjenzi.

It-trasformata ta' Fourier klassika fuq Rn għadha l-oġġett ta' riċerka, in partikulari t-trasformazzjoni ta' Fourier ta' oġġetti iżjed ġenerali bħad-distribuzzjonijiet temperati. Pereżempju jekk nimponu ċerti ħtiġijiet fuq distribuzzjoni f, nistgħu nittraduċuhom f'termini tat-trasformata ta' Fourier ta' f.  It-teorema ta' Paley-Wiener hu eżempju ta' dan. Dan it-teorema jgħid li jekk f tkun distribuzzjoni mhux nulla b'support kompatt (din id-definizzjoni tinkludi wkoll il-funzjonijiet b'support kompatt), imbagħad it-trasformata ta' Fourier tagħha ma jistgħax ikollha support kompatt.  Din hi forma elementari ħafna tal-prinċipju ta' indeterminazzjoni fl-ambitu ta' l-analisi armonika. 

Is-serji ta' Fourier nistgħu nistudjawhom ukoll fil-kuntest ta' l-ispazji ta' Hilbert, u hekk nagħmlu rabta bejn l-analisi armonika u l-analisi funzjonali.

Analisi armonika astratta

Waħda mill-friegħi l-iżjed moderni ta' l-analisi armonika, li bdiet fit-tieni nofs tas-seklu 20, hi l-analisi matematika fuq il-gruppi topologiċi. Il- motivazzjoni ewlenija hi l-fatt li nistgħu niġġeneralizzaw bosta trasformati ta' Fourier għal trasformata ta' funzjonijiet definiti fuq gruppi lokalment kompatti.

It-teorija għall-gruppi abeljani lokalment kompatti jgħidulha d-dwalità ta' Pontryagin.

L-analisi armonika tistudja il-proprijetajiet ta' din id-dwalità u tat-trasformata ta' Fourier u l-estensjoni ta' dawn il-karatteristiċi f'ambiti differenti, pereżempju għall-gruppi ta' Lie mhux abeljani.

Fil-każ ta' gruppi generiċi mhux abeljani u lokalment kompatti, l-analisi armonika għandha rabta qawwija mat-teorija tar-rappreżentazzjonijiet tal-gruppi unitarji. Fil-każ tal-gruppi kompatti, it-teorema ta' Peter-Weyl jgħidilna kif nistgħu niksbu l-armoniċi billi nagħżlu rappreżentazzjoni irriduċibbli minn kull klassi ta' ekwivalenza  ta' rappreżentazzjonijiet. Din l-għażla ta' armoniċi tiret xi proprijetajiet utli tat-trasformata ta' Fourier klassika, bħat-trasformazzjoni tal-konvoluzzjoni f'prodott punt b'punt jew il-fatt li turi ċertu komprensjoni tal-istruttura sottostanti tal-grupp.

Jekk il-grupp ma jkunx la abeljan u lanqas kompatt, m'hemm l-ebda teorija soddisfaċenti. B' "soddisfaċenti" nfissru li mill-inqas ikollna l-ekwivalenti tat-teorema ta' Plancherel. Ma dan kollu ġew analizzati ħafna każi partikulari, pereżempju SLn. F'dal-każ insibu li r-rappreżentazzjonijiet f'dimensjonijiet infiniti għandhom post kruċjali.

Friegħi oħra

L-istudju ta' l-awtovaluri u awtovetturi tal-Laplacejan fuq dominji, varjetajiet u (ftit inqas) grafi hu meqjus ukoll bħala fergħa ta' l-analisi armonika. Ara pereżempju Isma' l-forma ta' tambur.
 L-analisi armonika fuq spazji Ewklidej tħares lejn il-proprijetajiet tat-trasformata ta' Fourier fuq Rn li m'għandhomx analogi fil-gruppi generiċi. Pereżempju, il-fatt li t-trasformata ta' Fourier hi invarjanti bir-rotazzjoni. Id-dekompożizzjoni tat-trasformata fil-komponenti tagħha radjali u sferiċi tagħtina oġġetti bħall-funzjonijiet ta' Bessel u l-armoniċi sferiċi.
 L-analisi armonika b'dominji tubi tiġġeneralizza l-proprietajiet ta' l-ispazji ta' Hardy għal dimensjonijiet ogħla.

Biblijografija

Elias M. Stein and Guido Weiss, Introduction to Fourier Analysis on Euclidean Spaces, Princeton University Press, 1971. 
Yitzhak Katznelson, An introduction to harmonic analysis, Third edition. Cambridge University Press, 2004. ; 

Kategorija:Matematika
Kategorija:Analisi matematika