Polinomial

Dalam bidang matematik, polinomial ialah sejumlah ungkapan yang menggunakan pembolehubah bereksponen integer yang berpasangan dengan suatu pekali berinteger.

Sebagai contoh,  adalah sebuah polinomial, dimana  adalah pembolehubah,  dan  adalah pekali dan  adalah pemalar. Secara am, bentuk umum bagi suatu polinomial adalah:

Dimana  adalah pembolehubah,  adalah pekali dan  adalah eksponen pembolehubah.

 Klasifikasi polinomial 

 Jenis polinomial 
Jenis polinomial diklasifikasi berdasarkan bilangan ungkapannya. Terdapat 4 jenis polinomial:

 Monomial
 Binomial
 Trinomial
 Polinomial lebih daripada 3 ungkapan.
Monomial merupakan polinomial yang hanya mempunyai satu ungkapan. Sebagai contoh, , , . Istilah monomial juga ditukar dengan perkataan ungkapan. Perkataan monomial datang dari gabungan kata awalan bahasa Yunani mono- yang bermaksud "satu" dan perkataan nomen yang bermaksud "nama". Semua polinomial dibuat daripada jumlah-jumlahan monomial.

Binomial merupakan polinomial yang mempunyai dua ungkapan. Sebagai contoh, , , . Perkataan binomial datang dari gabungan kata awalan bahasa Latin bi- yang bermaksud "dua" dan perkataan nomen yang bermaksud "nama". Terdapat beberapa hukum yang berkaitan dengan binomial, yang paling dikenali adalah:

 , dimana 
 , dimana 
Juga, binomial  boleh dikembangkan untuk eksponen berinteger yang lebih daripada . Ini dicapai dengan teorem binomial:

dimana ,  dan  adalah gabungan  dipilih dari .

Ia juga dinotakan bahawa pekali bagi setiap ungkapan dalam kembangan binomial tersebut bersempadan kepada nombor-nombor dalam baris- di segi tiga Pascal.
Trinomial adalah polinomial yang mempunyai tiga ungkapan. Seperti etimologi monomial dan binomial, perkataan trinomial datang dari gabungan perkataan nomen yang bermaksud "nama" dan kata awalan bahasa Inggeris tri-, yang bermaksud "tiga". Juga, ia wujud cara untuk mengembangkan suatu trinomial seperti pengembangan binomial, iaitu menggunakan pengembangan trinomial:

Sama seperti bagaimana pekali bagi setiap ungkapan dalam kembangan binomial bersempadan kepada nombor-nombor dalam baris- di segi tiga Pascal, pekali bagi setiap ungkapan di kembangan trinomial bersempadan kepada nombor datar- susunan bentuk 3D piramid Pascal.

 Darjah polinomial 

Darjah polinomial merupakan nilai yang mewakili eksponen pembolehubah tertinggi dalam suatu polinomial.

Sebagai contoh, darjah polinomial bagi  adalah , kerana  adalah eksponen pembolehubah  tertinggi.

 Nama polinomial 
Nama polinomial dinamakan berdasarkan darjah polinomialnya. Ini adalah senarai nama bagi beberapa darjah polinomial pertama, serta bentuk polinomial:
+Darjah polinomialNama / Jenis polinomialBentuk polinomial0pemalar1linear2kuadratik3kubik4kuartik5kuintik6sekstik...

 Solusi bagi polinomial 

 Rumus-rumus 
Bentuk persamaan linear: 

Solusi: 

Bentuk persamaan kuadratik: 

Solusi: 

Bentuk persamaan kubik:  

Solusi:

dimana  adalah unit khayalan.

Bentuk persamaan kuartik: 

Solusi:

dimana:

 Hampiran numerikal 
Mengikut teori Galois, tiada wujud rumus penyelesaian kepada persamaan polinomial dengan darjah polinomial melebihi 4 dengan menggunai operasi asas aritmetik. Oleh itu, hampiran numerikal digunakan untuk cari solusi bagi persamaan tersebut.

 Sifat-sifat 

 Hasil tambah polinomial juga polinomial.
 Hasil darab polinomial juga polinomial.
 Terbitan fungsi polinomial juga polinomial. Terbitan  ialah .
 Antiterbitan fungsi polinomial juga polinomial. Antiterbitan  ialah .

 Aritmetik 
Hukum sekutuan boleh diguna pakai dalam penambahan dan penolakan dua polinomial, yakni mengumpul dan menggabungkan pekali bagi pemboleh ubah berdarjah sepadan. Hukum agihan pula digunakan dalam pendaraban dua polinomial. 

Pembahagian dua polinomial tidak selalunya menerbitkan polinomial dan lazimnya berada di bawah pecahan nisbah, seperti mana pembahagian dua integer tidak semestinya menghasilkan satu integer, tetapi menghasilkan nombor bukan integer di bawah nombor nisbah. Pembahagian polinomial boleh dilaksanakan dengan beberapa kaedah seperti pembahagian panjang dan pembahagian sintetik.Peter H. Selby, Steve Slavin, Practical Algebra: A Self-Teaching Guide, 2nd Edition, Wiley,  

 Rujukan 

 Bibliografi 



 Petikan 

 Pautan luar 




Kategori:Algebra abstrak
Kategori:Analisis matematik