Janjang geometri

Dalam bidang matematik, janjang geometri ialah sejenis janjang dengan nisbah yang malar antara sebutan-sebutannya. Sebagai contoh,

ialah janjang geometri kerana setiap sebutan (kecuali sebutan pertama) diperolehi dengan mendarab sebutan sebelumnya dengan .

Hasil tambah

Rumus untuk hasil tambah janjang geometri ialah

di mana  ialah sebutan pertama dan  ialah nisbah sepunya, dan . Rumus ini diperoleh dengan langkah-langkah berikut:

Rumus tadi boleh dihasilkan dengan mendarab dengan .

Bila  mendekati ketakterhinggaan, nilai mutlak bagi  mestilah lebih kecil daripada 1 supaya janjang tersebut menumpu. Hasil tambah tadi kemudiannya menjadi

Bila , permudahkan lagi:

dengan ungkapan sebelah kiri adalah janjang geometri dengan nisbah sepunya . Kita memperoleh rumus ini:

Rumus am ini sah jika didarab dengan .

Rumus ini hanya sah untuk siri yang menumpu (iaitu bila nilai mutlak  kebih kecil daripada 1). Sebagai contoh, hasil tambah ini tak tertakrif bila  meskipun rumus itu menghasilkan .

Berikut ialah gambaran bagi janjang geometri oleh E.Hairer dan G.Wanner, Analysis by Its History, bab III.2, rajah 2.1, m/s 188, Springer 1996:

Imej:Geometric-view-of-geometric-series.png

Kategori:Siri matematik