Kalkulus vektor

Kalkulus Vektor (atau analisis vektor) ialah satu cabang dalam matematik yang mengkaji pembezaan dan kamiran medan vektor, terutamanya dalam 3 dimensi ruang Euclid. . Istilah  "kalkulus vektor" kadang-kadang digunakan sinonim dengan subjek yang lebih luas untuk kalkulus multipemboleh ubah, yang termasuk dalamnya juga kalkulus vektor sebagai terbitan separa dan kamiran berganda. Kalkulus vektor memainkan peranan penting dalam geometri kebezaan dan pengkajian persamaan pembezaan separa. Ia digunakan dengan meluas dalam fizik dan kejuruteraan, terutamanya dalam menerangkan medan elektromagnet, medan graviti dan dinamik bendalir. 
Kalkulus vektor telah dibangunkan dari analisis kuaternion oleh J. Willard Gibbs dan Oliver Heaviside di penghujung kurun ke-19, dan kebanyakan tatatanda dan terminologinya telah dimantapkan oleh Gibbs dan Edwin Bidwell Wilson dalam buku terbitan tahun 1901 mereka,  Analisis Vektor. 
Objek asas
Objek asas dalam kalkulus vektor ialah medan skalar (fungsi yang dinilai oleh skalar) dan medan vektor (fungsi yang dinilai oleh vektor). Keduanya  kemudian akan digabung dan ditukar dalam pelbagai operasi, dan akhirnya disepadukan. Dalam peringkat pengolahan lebih tinggi, ia menggunakan medan pseudovektor dan pseudoskalar, yang serupa dengan medan vektor dan skalar kecuali ia bertukar tanda dalam peta yang terbalik orientasinya. Contohnya, ikal dalam medan vektor ialah satu medan pseudovektor, dan jika sesuatu memberi refleksi kepada medan vektor, ikal tersebut akan mengarah ke arah yang berlawanan. Hal ini dijelas dan dihuraikan dalam algebra geometri seperti berikut.

Operasi algebra yang asas (bukan pembezaan) dalam kalkulus vektor adalah dikenali sebagai  algebra vektor, ia ditentukan untuk ruang vektor dan diaplikasikan dengan meluas pada medan vektor, dan terdiri daripada:
pendaraban skalar pendaraban medan skalar dan medan vektor, menghasilkan medan vektor: ;
penambahan vektor penambahan dua medan vektor, menghasilkan medan vektor: ;
hasil darab bintik pendaraban dua medan vektor, menghasilkan medan skalar: ;
hasil darab silang pendaraban dua medan vektor, menghasilkan medan vektor: .

Operasi vektor
Kalkulus vektor mengkaji pelbagai pengoperasi pembezaan yang ditentukan pada medan skalar dan vektor, yang biasanya diungkap dalam istilah pengoperasi del ().  Empat operasi paling penting dalam kalkulus vektor ialah:
Operasi  Tatatanda  Penerangan  Domain/JulatKecerunan   Menentukan kadar dan arah perubahan dalam medan skalar.  Memetakan medan skalar kepada medan vektor. Ikal   Menentukan kecenderungan memutar satu titik dalam medan vektor.  Memetakan medan vektor kepada medan (pseudo)vektor. Kecapahan   Menentukan magnitud satu sumber atau sink pada titik diberi dalam medan vektor.  Memetakan medan vektor kepada medan skalar. Laplacean   Satu komposisi operasi kecerunan dan kecapahan.  Memetakan medan skalar kepada medan skalar.
Teorem
Terdapat beberapa teorem penting yang berkaitan dengan pengoperasi-pengoperasi ini yang mengitlak teorem asas kalkulus kepada dimensi yang lebih tinggi:
 Teorem  Pernyataan  Penerangan Teorem kecerunan  Kamiran garis melalui satu medan (vektor) kecerunan adalah bersamaan dengan perbezaan dalam medan skalarnya pada titik hujung lengkung L. Teorem Green   Kamiran ikal skalar medan vektor pada beberapa kawasan pada satah adalah bersamaan dengan kamiran garis medan vektor pada lengkung tertutup yang melingkari kawasan tersebut.   Teorem Stokes   Kamiran ikal medan vektor pada permukaan dalam  adalah bersamaan dengan kamiran garis medan vektor pada lengkung tertutup yang melingkari permukaan tersebut.   Teorem kecapahan   Kamiran kecapahan medan vektor pada beberapa pepejal adalah bersamaan dengan kamiran fluks melalui permukaan tertutup yang melingkari pepejal.
Rujukan




 Chen-To Tai (1995). A historical study of vector analysis. Technical Report RL 915, Radiation Laboratory, University of Michigan.
Pautan luar
Satu tinjauan tentang penggunaan tidak tepat ∇ dalam analisis vektor (1994) Tai, Chen
 Mengembangkan analisis vektor kepada sistem koordinat serong
 Vector Analysis: Buku teks untuk kegunaan pelajar Matematik dan Fizik, (berdasarkan syarahan Willard Gibbs) oleh  Edwin Bidwell Wilson, diterbitkan pada 1902.
Penggunaan beberapa perkataan Matematik terawal yang diketahui: Analisis Vektor

Kategori:Kalkulus