Nombor kompleks

Nombor kompleks ialah gabungan nombor nyata dan nombor khayalan. Nombor kompleks mempunyai bentukdi mana  dan  ialah nombor nyata, dan  ialah unit khayalan.

 | 

Secara terminologi,  dikatakan sebagai bahagian nyata nombor manakala  dikatakan sebagai bahagian khayalan nombor kompleks itu. Bahagian nyata ditandai dengan fungsi  atau  dan bahagian khayalan ditandai dengan fungsi  atau . 

 | 

 | 

Dua nombor kompleks adalah sama jika dan hanya jika bahagian-bahagian nyatanya sama dan bahagian-bahagian khayalannya sama. Maka;

Set bagi semua nombor kompleks diwakili dengan .

 Etimologi 
Perkataan 'nombor kompleks' dikenalkan oleh Carl Friedrich Gauss. Perkataan "kompleks" itu sendiri mencerminkan idea untuk menggabungkan kedua-dua bahagian nyata dan khayalan.

 Satah Cartes 
Nombor kompleks boleh diplotkan atas satah Cartes.

Paksi- dilabelkan sebagai paksi nyata manakala paksi- dilabel sebagai paksi khayalan. Satah ini sekarang dekenali sebagai satah kompleks.
Operasi Aritmetik atas Nombor nyata
Operasi aritmetik asas atas nombor kompleks boleh menghasilkan hasilan unik.

 Penambahan dan Penolakan 

 ,

 ,

Di mana , ,  dan  adalah nombor nyata.

 Pendaraban dan Pembahagian 

 ,

Di mana , ,  dan  adalah nombor nyata.



Di mana , , ,  adalah nombor nyata dan .
 Konjugat 
Konjugat bagi suatu nombor kompleks  ditandai dengan  adalah nombor kompleks dimana tanda bahagian khayalan terbalik. Jadi;

Konjugat nombor kompleks  juga ditandai dengan .

 Rumus-rumus Konjugat Kompleks 
Tersebut adalah rumus-rumus konjugat nombor kompleks;







 Etimologi Konjugat 
Konjugat datang daripada perkataan bahasa Latin 'coniugatus' yang datang dicantum dengan 'con' dan 'jugam yang bermaksud 'bersama' dan 'terikat'.

 Nilai Mutlak Nombor Kompleks 

Nilai mutlak, modulus atau magnitud ditakrifkan sebagai jarak suatu nombor daripada 0. Mengikut definisi ini, nilai mutlak bagi suatu nombor kompleks  ditakrifkan sebagai;

Ini serupa dengan teorem Pythagoras.

Dalam beberapa konteks,  mungkin diwakili dengan huruf .

 Bentuk Polar 

Di mana  adalah argumen,  adalah nilai mutlak dan  dan  adalah fungsi trigonometrik. Dalam konteks analisis kompleks, argumen adalah sudut antara paksi nyata dan garisan daripada nombor kompleks, ia diwaklili dalam unit radian. Argumen bagi suatu nombor kompleks  boleh ditulis dengan fungsi  atau .

Ingat, bagi suatu nombor kompleks, terdapat infiniti argumen yang boleh didapati. Ia diwakili dalam bentuk  di mana  adalah suatu integer. Oleh sebab itu, untuk fungsi  menjadi fungsi, ia ditakrifkan untuk mengoutputkan nilai antara . Ini dipanggil argumen principal'''''.

Juga, bentuk polar bagi nombor kompleks boleh ditulis seperti ini;

Di mana  adalah pemalar Euler, pemalar yang hampiri 2.718281828.

 Bukti Bentuk Polar 
Bentuk polar  boleh dibuktikan dengan kaedah yang mudah.

Pertama, bermula dengan Siri Taylor bagi fungsi sinus dan kosinus;

Sekarang, gantikan  dengan ;





Gantikan terbitan tersebut dalam ;

Sambil ini, sediakan Siri Taylor bagi ;

Gantikan  dengan  dan menyusunkan terma tersebut;

Perhatikan bahawa  dan  bersamaan dengan .  

Maka;

 Ekstensi Domain Fungsi 
Beberapa domain bagi beberapa fungsi asas boleh diperpanjangkan untuk menerima nombor kompleks.

 Fungsi Trigonometrik 

 Fungsi Logaritma 
Logaritma asli ialah logaritma yang mempunyai  sebagai asasnya. Rumus logaritma asli yang mempunyai domain yang boleh menerima nombor kompleks adalah;

Di mana  adalah nilai mutlak  dan  ialah argumen bagi . 

Dengan rumus ini, ekstensi domain logaritma asas  boleh dirumuskan;

Di mana , nombor positif nyata.

 Aplikasi Nombor Kompleks 

 Matematik 
Nombor kompleks merupakan konsep asas dalam bidang matematik. Nombor-nombor kompleks digunakan dalam banyak rumus dan teorem sepanjang bidang analisis kompleks, geometri, topologi, persamaan pembezaan dan sistem dinamikal.

 Fizik 
Dalam fizik, nombor kompleks digunakan dalam bidang seperti fizik kuantum. Antara contoh utama adalah persamaan Schrödinger;

Dalam perkataan Erwin Schrödinger,"Apa yang tidak menyenangkan di sini, dan sememangnya perlu dibantah, adalah penggunaan nombor kompleks."  - Erwin Schrödinger

 Rujukan 

Kategori:Matematik
Kategori:Matematik asas

__NOEDITSECTION__