ГИНЖ ЦОГЦОЛБОР

ГИНЖ ЦОГЦОЛБОР(Chain complex)

Математикт чейн комплекс гэдэг нь абелийн бүлгүүд (эсвэл модулиуд)-ын дараалал болон тэдгээрийн хоорондох гомоморфизм-уудын дарааллаас тогтсон алгебрийн бүтэц юм. Эдгээр дүрслэлүүд нь дараах нөхцөлийг хангана: ямар ч дараалсан хоёр гомоморфизмын нийлбэр (composition) нь тэг дүрслэл байна, өөрөөр хэлбэл нэг дүрслэлийн дүрс (image) нь дараагийнх нь цөмд (kernel) багтана.

Чейн комплексэд харгалзах ойлголт нь гомологи бөгөөд энэ нь (ойролцоогоор) тухайн чейн комплекс яг таг (exact) биш байгаагийн хэмжүүр юм.

Ко-чейн комплекс (cochain complex) нь чейн комплексийн адил боловч дүрслэлүүд нь эсрэг чиглэлтэй байна. Ко-чейн комплексийн гомологийг когомологи гэж нэрлэдэг.

Алгебрийн топологи дахь хэрэглээ

Алгебрийн топологид топологийн орон зай 
𝑋
X-ийн сингуляр чейн комплекс-ийг симплексээс 
𝑋
X рүүх тасралтгүй дүрслэлүүд-ийг ашиглан байгуулна. Чейн комплексийн дүрслэлүүд нь симплексийн хил (boundary)-д хэрхэн хязгаарлагдаж байгааг илэрхийлнэ.
Энэ чейн комплексийн гомологийг 
𝑋
X-ийн сингуляр гомологи гэдэг бөгөөд топологийн орон зайн өргөн хэрэглэгддэг инвариант юм.

Чейн комплексүүдийг голчлон гомологийн алгебр-т судалдаг боловч абстракт алгебр, Галуа онол, дифференциал геометр, алгебрийн геометр зэрэг олон салбарт ашигладаг. Ерөнхийлөн авч үзвэл, тэдгээрийг абелийн категорид тодорхойлж болно.

Тодорхойлолт

Чейн комплекс

(
𝐴
∙
,
𝑑
∙
)
(A
∙
	​

,d
∙
	​

)

гэж дараах бүтэцтэй байна:

Абелийн бүлгүүд (эсвэл модулиуд)-ын дараалал:

⋯

,
𝐴
0
,
𝐴
1
,
𝐴
2
,
…
⋯,A
0
	​

,A
1
	​

,A
2
	​

,…

Хил (boundary) буюу дифференциал гэж нэрлэгдэх гомоморфизмүүд:

𝑑
𝑛

𝐴
𝑛
→
𝐴
𝑛
−
1
d
n
	​

A
n
	​

→A
n−1
	​

Эдгээр нь дараах нөхцөлийг хангана:

𝑑
𝑛
∘
𝑑
𝑛
+
1
=
0
(
эсвэл товчоор 
𝑑
2
=
0
)
d
n
	​

∘d
n+1
	​

=0(эсвэл товчоор d
2
=0)

Чейн комплексийг дараах байдлаар бичнэ:

⋯
←
𝑑
0
𝐴
0
←
𝑑
1
𝐴
1
←
𝑑
2
𝐴
2
←
𝑑
3
𝐴
3
←
𝑑
4
⋯
⋯
d
0
	​

	​

A
0
	​

d
1
	​

	​

A
1
	​

d
2
	​

	​

A
2
	​

d
3
	​

	​

A
3
	​

d
4
	​

	​

⋯
Ко-чейн комплекс

Ко-чейн комплекс

(
𝐴
∙
,
𝑑
∙
)
(A
∙
,d
∙
)

нь чейн комплексийн хоёрдогч (dual) ойлголт бөгөөд:

Дараалал:

⋯

,
𝐴
0
,
𝐴
1
,
𝐴
2
,
…
⋯,A
0
,A
1
,A
2
,…

Ко-хил (coboundary) дүрслэлүүд:

𝑑
𝑛

𝐴
𝑛
→
𝐴
𝑛
+
1
d
n
A
n
→A
n+1

Нөхцөл:

𝑑
𝑛
+
1
∘
𝑑
𝑛
=
0
d
n+1
∘d
n
=0

Дүрслэл:

⋯
→
𝑑
−
1
𝐴
0
→
𝑑
0
𝐴
1
→
𝑑
1
𝐴
2
→
𝑑
2
𝐴
3
→
𝑑
3
⋯
⋯
d
−1
	​

A
0
d
0
	​

A
1
d
1
	​

A
2
d
2
	​

A
3
d
3
	​

⋯

Ялгаа нь:

Чейн комплекс: хэмжээс багасна

Ко-чейн комплекс: хэмжээс ихсэнэ

Хязгаарлагдмал чейн комплекс

Хязгаарлагдмал (bounded): бараг бүх 
𝐴
𝑛
=
0
A
n
	​

=0

Дээрээсээ хязгаарлагдмал: тодорхой 
𝑁
N-ээс дээш 
𝐴
𝑛
=
0
A
n
	​

=0

Доороосоо хязгаарлагдмал: тодорхой 
𝑁
N-ээс доош 
𝐴
𝑛
=
0
A
n
	​

=0

Чейн, цикл, хил

Элементүүдийг (ко)чейн гэдэг

ker
⁡
𝑑
kerd дэх элементүүд → (ко)цикл

im
⁡
𝑑
imd дэх элементүүд → (ко)хил

Бүх хилүүд нь заавал цикл байдаг

(Ко)гомологи
𝐻
𝑛
=
ker
⁡
𝑑
𝑛
/
im
⁡
𝑑
𝑛
+
1
(
𝐻
𝑛
=
ker
⁡
𝑑
𝑛
/
im
⁡
𝑑
𝑛
−
1
)
H
n
	​

=kerd
n
	​

/imd
n+1
	​

(H
n
=kerd
n
/imd
n−1
)
Яг таг (Exact) дараалал

Яг таг дараалал гэдэг нь бүх гомологи нь 0 байх чейн комплекс юм.
Богино яг таг дараалал нь зөвхөн гурван бүлэг тэгээс ялгаатай байдаг.

Жишээ:

0
→
𝑍
→
×
𝑝
𝑍
↠
𝑍
/
𝑝
𝑍
→
0
0→Z
×p
	​

Z↠Z/pZ→0
Чейн дүрслэл (Chain map)

Хоёр чейн комплексийн хоорондох чейн дүрслэл 
𝑓
f нь:

𝑓
𝑛

𝐴
𝑛
→
𝐵
𝑛
f
n
	​

A
n
	​

→B
n
	​

байж,

𝑑
𝐵
,
𝑛
∘
𝑓
𝑛
=
𝑓
𝑛
−
1
∘
𝑑
𝐴
,
𝑛
d
B,n
	​

∘f
n
	​

=f
n−1
	​

∘d
A,n
	​

нөхцөлийг хангана.

Чейн дүрслэл нь:

цикл → цикл

хил → хил
илгээдэг тул гомологи дээр дүрслэл үүсгэнэ.

Тасралтгүй дүрслэл 
𝑓

𝑋
→
𝑌
f:X→Y нь сингуляр чейн комплексүүдийн хооронд чейн дүрслэл үүсгэж, улмаар гомологи дээрх 
𝑓
∗
f
∗
	​

-ийг тодорхойлно.

Чейн гомотопи

Хоёр чейн дүрслэл 
𝑓
,
𝑔

𝐴
→
𝐵
f,g:A→B ижил гомологи үүсгэдэг байж болно.
Тэдгээрийг холбох чейн гомотопи гэдэг нь:

ℎ
𝑛

𝐴
𝑛
→
𝐵
𝑛
+
1
h
n
	​

A
n
	​

→B
n+1
	​

ийм дараалал бөгөөд

ℎ
𝑑
𝐴
+
𝑑
𝐵
ℎ
=
𝑓
−
𝑔
hd
A
	​

+d
B
	​

h=f−g

Иймд 
𝑓
f ба 
𝑔
g нь ижил гомологи үүсгэнэ.
Топологид гомотопи дүрслэлүүд сингуляр гомологид ижил дүрслэл өгдөг.

Жишээнүүд
Сингуляр гомологи

𝐶
𝑛
(
𝑋
)
C
n
	​

(X): 
𝑋
X-д орших сингуляр 
𝑛
n-симплексүүдээр үүсгэгдсэн чөлөөт абелийн бүлэг

Хил:

∂
𝑛
(
𝜎
)
=
∑
𝑖
=
0
𝑛
(
−
1
)
𝑖
𝜎
∣
нүүр
𝑖
∂
n
	​

(σ)=
i=0
∑
n
	​

(−1)
i
σ∣
нүүр
i
	​

	​

∂
2
=
0
∂
2
=0 тул сингуляр чейн комплекс болно
Гомологи: 
𝐻
∙
(
𝑋
)
H
∙
	​

(X)

де Рамын когомологи

Гөлгөр олон янз 
𝑀
M-ийн 
𝑘
k-хэлбэрүүд 
Ω
𝑘
(
𝑀
)
Ω
k
(M) нь:

Ω
0
(
𝑀
)
→
𝑑
Ω
1
(
𝑀
)
→
𝑑
Ω
2
(
𝑀
)
→
𝑑
⋯
Ω
0
(M)
d
	​

Ω
1
(M)
d
	​

Ω
2
(M)
d
	​

⋯

гэсэн ко-чейн комплекс үүсгэнэ.

Үүний когомологи нь де Рамын когомологи.

Чейн комплексийн категори

𝐾
K-модулиудын чейн комплексүүд нь 
𝐶
ℎ
𝐾
Ch
K
	​

 категорийг үүсгэнэ.

Тензор үржвэр:

(
𝑉
⊗
𝑊
)
𝑛
=
⨁
𝑖
+
𝑗
=
𝑛
𝑉
𝑖
⊗
𝑊
𝑗
(V⊗W)
n
	​

=
i+j=n
⨁
	​

V
i
	​

⊗W
j
	​

Дифференциал:

∂
(
𝑎
⊗
𝑏
)
=
∂
𝑎
⊗
𝑏
+
(
−
1
)
∣
𝑎
∣
𝑎
⊗
∂
𝑏
∂(a⊗b)=∂a⊗b+(−1)
∣a∣
a⊗∂b

Энэ нь 
𝐶
ℎ
𝐾
Ch
K
	​

-г симметрик монадаль категори болгоно.

Дотоод Hom:

H
o
m
(
𝑉
,
𝑊
)
𝑛
=
∏
𝑖
H
o
m
𝐾
(
𝑉
𝑖
,
𝑊
𝑖
+
𝑛
)
Hom(V,W)
n
	​

=
i
∏
	​

Hom
K
	​

(V
i
	​

,W
i+n
	​

)

Мөн дараах байгалийн изоморфизм оршино:

H
o
m
(
𝐴
⊗
𝐵
,
𝐶
)
≅
H
o
m
(
𝐴
,
H
o
m
(
𝐵
,
𝐶
)
)
Hom(A⊗B,C)≅Hom(A,Hom(B,C))