Алгебр

Алгебр (араб. اَلْجَبْرُ‎ аль-жабр — «(тарсан) хэсгүүдийг сэргээх, тэгш байдлыг сэргээх, тэгшитгэл, нөхөн сэргээх" гэсэн утгатай)- алгебрын бүтцийг судалдаг математикийн салбар бөгөөд тэдгээр бүтэц доторх төлөв байдлын зохицуулалтыг судалдаг. Энэ нь нэмэх, үржүүлэх гэх мэт стандарт арифметик үйлдлээс бусад хувьсагч болон алгебрын үйлдлүүдийг танилцуулдаг арифметикийн ерөнхий дүгнэлт юм.

Анхан шатны алгебр бол сургуульд заадаг алгебрын үндсэн хэлбэр бөгөөд тодорхойгүй утгуудын хувьд хувьсагчдыг ашиглан математик хэллэгүүдийг шалгадаг. Ингэхийн тулд хувьсагчдыг тусгаарлахын тулд тэгшитгэлийг хувиргах янз бүрийн аргуудыг ашигладаг.

Шугаман алгебр нь шугаман тэгшитгэлийн систем гэж нэрлэгддэг хэд хэдэн шугаман тэгшитгэлд гарч ирдэг ванативуудыг судалдаг нягт холбоотой салбар юм. Энэ нь систем дэх бүх тэгшитгэлийг нэгэн зэрэг шийдвэрлэх утгуудыг олохыг оролддог

Хийсвэр алгебр нь тухайн олонлог дээр тодорхойлсон нэг буюу хэд хэдэн хоёртын үйлдлүүдтэй хамт математикийн олонлогоос бүрдэх алгебрын бүтцийг судалдаг. Энэ нь тоо болон арифметик бус үйлдлээс бусад математикийн объектуудыг зөвшөөрдөг тул энгийн болон шугаман алгебрын ерөнхий ойлголт юм. Энэ нь янз бүрийн төрлийн алгебрын бүтцийг ялгадаг. Бүлэг, цагариг, талбар гэх мэт үйлдлүүдийн тоо, дагаж мөрддөг хуулиудад үндэслэн бүх нийтийн алгебр нь хоёртын үйлдлээр хязгаарлагдахгүй ерөнхийлөлтийн дараагийн түвшнийг бүрдүүлдэг бөгөөд алгебрын бүтцийн янз бүрийн ангиллыг тодорхойлдог илүү хийсвэр хэв маягийг судалдаг.

 Ангилал 
Математикийн салбар болох алгебр нь уламжлал ёсоор дараах ангиллыг агуулдаг.

 Бодит тоонуудтай үйлдлийн шинж чанарыг судалдаг энгийн алгебр. Үүнд тогтмол ба хувьсагчдыг үсгийн тэмдэгээр тэмдэглэдэг. Энгийн алгебр нь эдгээр тэмдэгтүүдийг ашиглан алгебрын илэрхийлэл ба тэгшитгэлийг хувиргах дүрмийг агуулдаг. Үүнийг ихэвчлэн сургуулиудад алгебрын нэрээр заадаг.
 Ерөнхий алгебрыг заримдаа орчин үеийн алгебр эсвэл хийсвэр алгебр гэж нэрлэдэг бөгөөд бүлэг, цагариг, талбар гэх мэт ерөнхий алгебрын бүтцийг аксиоматжуулж, судалдаг.
 Бүх алгебрын бүтцэд түгээмэл байдаг шинж чанаруудыг судалдаг универсал алгебр (ерөнхий алгебрын дэд хэсэг гэж үздэг).
 Векторын орон зайн шинж чанарыг судалдаг шугаман алгебр (матрицуудыг оруулаад).
 Комбинаторикийн асуудлыг судлахын тулд хийсвэр алгебрын аргуудыг ашигладаг алгебрын комбинаторик.