Алгебрлиг топологи

Алгебрлиг топологи () нь хийсвэр алгебрын хэрэгслүүдийг ашиглан топологи огторгуйг судалдаг математикийн салбар юм. Үндсэн зорилго нь топологи огторгуйг гэрийн хувиргалт (homeomorphism)-аар (ихэнхдээ гомотопийн тэнцвэр хүртэл) ангилах алгебрын тогтмолуудыг олох явдал юм.

Алгебрлиг топологи нь ихэвчлэн алгебрыг ашиглан топологийн асуудлыг судалдаг боловч зарим тохиолдолд топологийн аргыг алгебрын асуудлыг шийдэхэд мөн ашиглаж болдог. Жишээлбэл, алгебрлиг топологи нь чөлөөт бүлгийн аливаа дэд бүлэг өөрөө дахин чөлөөт бүлэг байдаг гэдгийг батлахад тохиромжтой нотолгоо өгдөг.

Үндсэн салбарууд

Доорх нь алгебрлиг топологид судлагддаг гол чиглэлүүд юм.

Гомотопийн бүлгүүд

Математикт гомотопийн бүлгүүдийг топологи огторгуйг ангилахад ашигладаг. Хамгийн эхний бөгөөд энгийн гомотопийн бүлэг нь суурь бүлэг (fundamental group) бөгөөд энэ нь огторгуй доторх гогцоонууд (loops)-ын тухай мэдээллийг хадгална. Мэдээж гомотопийн бүлгүүд нь огторгуйн үндсэн хэлбэр, “нүх”-ийн тухай мэдээллийг илэрхийлдэг.

Гомологи

Алгебрлиг топологи болон хийсвэр алгебрт гомологи гэдэг нь топологи огторгуй, эсвэл бүлэг зэрэг математик объектод абелийн бүлгүүдийн дараалал (эсвэл модуль) холбож өгөх ерөнхий процедур юм.

Когомологи

Гомологийн онол ба алгебрлиг топологид когомологи гэдэг нь кочейн комплексоос тодорхойлогдсон абелийн бүлгүүдийн дарааллыг хэлнэ. Өөрөөр хэлбэл, когомологи нь кочейн, коцикл, coboundary-уудын хийсвэр судалгаа юм.

Когомологи нь гомологитой харьцуулахад илүү нарийн алгебрын бүтэцтэй тогтмолуудыг огторгуйд оноож өгдөг. Энэ нь гомологийн байгууламжийг алгебрын хувьд хоёрчилж (dualization) гаргаж авдгаараа онцлог. Энгийнээр хэлбэл, cochain-ууд нь гомологийн онол дахь гинжүүдэд “утга, хэмжээс” оноодог.

Олон хэлбэрт

Олон хэлбэрт гэдэг нь топологи огторгуй бөгөөд ямар ч цэгийн ойролцоо Евклидийн огторгуйтай адилхан харагддаг. Жишээ нь: хавтгай, бөмбөрцөг, торус (тор) зэрэг нь гурван хэмжээст огторгуйд багтана. Харин Клейний лонх, бодит проектив хавтгай зэрэг нь 3 хэмжээст огторгуйд багтахгүй ч 4 хэмжээст огторгуйд багтдаг.

Алгебрлиг топологид ихэвчлэн олон хэлбэртийн глобал, ялгавартай биш шинж чанаруудыг судалдаг. Жишээлбэл, Пуанкарегийн хослол.

Зангилааны онол

Зангилааны онол нь математик зангилааг судалдаг. Өдөр тутмын амьдрал дахь гутлын үдээс, олсны зангилаанаас санаа авсан боловч математик зангилаа нь үзүүрүүд нь хоорондоо холбогдсон тул задрах боломжгүй байдгаараа ялгаатай.

Албан ёсны тодорхойлолтоор, зангилаа гэдэг нь гурван хэмжээст Евклидийн огторгуй -д тойргийг буулгасан дүрслэл юм. Хоёр зангилаа нь орчны изотопи (огторгуйг өөрийг нь таслалгүй, нэвтлүүлэхгүйгээр деформацлах)-оор хоорондоо шилжиж чадвал эквивалент гэж үзнэ.

Комплексүүд
Симплициал комплекс гэдэг нь цэг, хэрчим, гурвалжин болон тэдгээрийн n-хэмжээст хувилбаруудыг “нааж” байгуулсан топологи огторгуй юм. Энэ нь орчин үеийн гомотопийн онолд хэрэглэгддэг симплициал олонлогоос ялгаатай. Цэвэр комбинаторик хувилбарыг хийсвэр симплициал комплекс гэдэг.

CW-комплексийг Ж. Х. К. Уайтхед гомотопийн онолын хэрэгцээнд зориулан танилцуулсан. Энэ нь симплициал комплексээс өргөн ангилалтай, категорийн хувьд илүү сайн шинж чанартай боловч тооцоолох боломжтой комбинатор бүтцээ хадгалдаг.

Алгебрийн тогтмолуудын арга

Өмнө нь энэ салбарыг комбинаторик топологи гэж нэрлэдэг байсан нь Х огторгуйг энгийн хэсгүүдээс хэрхэн байгуулсныг чухалчилж байсантай холбоотой. 1920–1930-аад онд топологи огторгуйг алгебрийн бүлгүүдтэй холбох хандлага нэмэгдэж, нэр нь алгебрлиг топологи болж өөрчлөгдсөн.

Энэ аргаар огторгуй ба бүлгүүдийн хооронд гэрийн хувиргалт (эсвэл гомотопи)-ийг хадгалдаг харгалзаа тогтооно. Ингэснээр топологийн асуудлыг алгебрын асуудал болгон хөрвүүлж, батлахад хялбар болгодог.

Гол хоёр арга нь:
суурь бүлэг, гомотопийн онол,
гомологи ба когомологи.

Суурь бүлэг нь чухал мэдээлэл өгдөг ч ихэвчлэн абелийн бус тул ажиллахад төвөгтэй. Харин гомологи, когомологийн бүлгүүд нь абелийн, олон тохиолдолд хязгаарлагдмал үүсгэгчтэй бөгөөд бүрэн ангилагдсан тул ашиглахад хялбар.

Категорийн онол дахь байр суурь

Алгебрлиг топологийн бүх байгууламжууд функторын шинжтэй. Категори, функтор, натурал хувиргалт зэрэг ойлголтууд эндээс үүссэн. Тасралтгүй дүрслэл бүр нь холбогдох бүлгүүд дээр бүлгийн гомоморфизм үүсгэдэг.

Жорж де Рам анхны когомологийн янз бүрийн хэлбэрүүд дээр ажилласан. Тэрээр хаалттай, чиглэлтэй олон янзын хувьд де Рамын когомологиор гарсан Бетти тоонууд нь симплициал гомологиор гарсантай адил гэдгийг харуулсан.

1950-аад онд Эйленберг ба Стинрод гомологи, когомологийг аксиомоор тодорхойлж, бүх (ко)гомологийн онолууд эдгээр аксиомыг хангадаг ба уг аксиомчилол нь онолыг цор ганц байдлаар тодорхойлдог гэдгийг баталсан.

Хэрэглээ

Алгебрлиг топологийн сонгодог хэрэглээнүүд:

Тойргийн суурь бүлэг  гэдгийг ашиглан алгебрын үндсэн теоремыг батлах
Брауэрын тогтмол цэгийн теорем
Бетти тоонууд → Эйлер–Пуанкарегийн характеристик
Де Рамын когомологиор дифференциал тэгшитгэлийн шийдэл судлах
Олон хэлбэртийн чиглэлтэй эсэхийг гомологиор тодорхойлох
“Үстэй бөмбөгийн теорем”
Домэйн ба хэмжээстийн инвариант байдал
Борсук–Уламын теорем
Жорданы муруйн теорем
Нильсен–Шрайерын теорем (чөлөөт бүлгийн дэд бүлэг чөлөөт)
Топологийн комбинаторик

Алдартай хүмүүс

Чухал теоремууд