Стирлингийн томъёо

Математикт "Стирлингийн томъёо" нь n!-н утгыг олоход түгээмэл хэрэглэгддэг томъёо юм. Ялангуяа n нь их утгатай үед(10!, 100! ...) мөн log суурьтай n!-н утгыг тооцоолоход хэрэглэгддэг. Бодолтын үр дүнд тооны машинаар бодсонтой хариу нь яг таарч гарахгүй ч хамгийн дөхөмтэйгээр тооцоолж олдог. Энэхүү томъёог алдартай математикч Жеймс Стирлингийн нэрээр нэрлэжээ. 

1. 

2. 

3. 

4.  үед 

харин  үед харьцаа нь . (,  тогтмол утгууд)

 Томъёоны гаргалгаа 

1. -н утгыг тооцоолохын оронд, түүнээс натурал логарифм авбал:

Тэгшитгэлийн баруун талаас нь хасвал

Интегралын трапец дүрмийн дагуу

Euler–Maclaurin томъёо-н дагуу алдаа нь:

Үүнээс Bk( Бернуллийн дугаар) ба Rm,n-г олохын тулд хязгаар авна.

энд -аар хязгаарыг тэмдэглэсэн

Big-O-г хэрэглэхэд, түүний логарифм хэлбэр дэхь тэгшитгэлүүдйг нэгтгэнэ:

Хоёр талаас нь экспоненциал аваад, m-г эерэг гэж үзүүл, m = 1 болоод томъёо нь

энд ey эь  болсноор Стирлингийн томъёо нь:

Laplace-н томъёог хэрэглэн, 2 талаасаа хязгаарлагдсан хандлага нь  болсноор Стирлингийн томъёо нь.

Интеграл авахад

2. Гамма функцыг ашиглан  -г олъё.

Хувьсагчуудаа  ингэж солиход

үүнийг Laplace-н томъёон дагуу:

Стирлингийн томъёо нь,

Laplace-н томъёог хэрэглээд n-н факториалыг олоход алдаа үүсдэг учир Laplace-н томъёо-д өргөтгөлийг тооцоолвол

Стирлингийн томъёо,
 болох ба энүүгээр тооцоолбол алдааны утга багасах болно.

 Гамма функцинд Стирлингийн томъёо
Бүх утга нь эерэг байх n-н хувьд,

Гамма функцыг Γгэж тэмдэглэдэг.

Pi функц нь факториал биш ч, төвөгтэй тоонуудыг тодорхойлдог. Хэрвээ Re(z) > 0 бол

Интеграл авбал

Bn нь n-н Бернуллийн дугаар.|arg(z)| < π−ε ба ε эерэг байхад алдааны утга нь  байна. үүнийг томъёондоо орлуулахад:

Энэ асимптотик томъёог Re(z)тогтмол утгатай z аргументыг олоход хэрэглэдэг.

 Жишээ бодлого 

Бодлого1. 10!=?

=3628800 гэж олж болох ч Стирлингийн  томъёогоор бодвол

Бодлого2. log(10!)=?

 бол Стирлингийн  томъёогоор бодвол

 нь ойролцоогоор 15,095 гарч байна.

 Түүх 
n-н факториалыг олох доорхи томъёог анх нээсэн хүн Abraham de Moivre. юм.

Холбоотой хичээлүүд
 Факториал
 Lanczos approximation
 Spouge's approximation

Ном зүй

 Dan Romik, Stirling’s Approximation for n!: The Ultimate Short Proof?, The American Mathematical Monthly, Vol. 107, No. 6 (Jun. – Jul., 2000), 556–557.
 Y.-C. Li, A Note on an Identity of The Gamma Function and Stirling’s Formula, Real Analysis Exchang, Vol. 32(1), 2006/2007, pp. 267–272.

Линкүүд
 Peter Luschny, Approximation formulas for the factorial function n!


Category:Математик