കൺവേർജന്റ് സീരിസ്

ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൽ,   അനന്തമായ അനുക്രമ സംഖ്യകളുടെ ആകെത്തുകയാണ്  ഒരു ശ്രേണി എന്നറിയപ്പെടുന്നത്. കൂടുതൽ കൃത്യമായി പറഞ്ഞാൽ, അനന്തമായ ഒരു അനുക്രമം , ഉപയോഗിച്ച്   എന്ന ഒരു ശ്രേണിയെ ഇപ്രകാരം നിർവ്വചിക്കാം,



അനുക്രമത്തിലെ ആദ്യത്തെ  സംഖ്യകളുടെ തുകയാണ് -ാമത് ആംശിക തുക (Partial sum) അഥവാ ,



ഒരു ശ്രേണി അഭിസരണമാണെങ്കിൽ (Convergent series) ആ ശ്രേണിയുടെ ആംശികതുകകളായ   എന്നിവ ഒരു   പരിധിയിലേയ്ക്ക് പ്രവണമാകും; അതിനർത്ഥം, ഓരോ തവണയും  എന്ന അംഗത്തെ കൂട്ടിക്കിട്ടുന്ന ആംശികതുക ഒരു നിശ്ചിതസംഖ്യയുമായി കുടുതൽ കൂടുതൽ അടുത്തുകൊണ്ടിരിക്കും.   



ശ്രേണി അഭിസരണമാണെങ്കിൽ ,   നെ ആ ശ്രേണിയുടെ ആകെത്തുക എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

ഒരു ശ്രേണി അതിൻ്റെ ആകെത്തുകയിലേയ്ക്ക് അഭിസരിക്കുന്നുവെങ്കിൽ അതിനെ  മേൽപ്പറഞ്ഞ അതേ പ്രതീകമായ,



ഉപയോഗിച്ച് സൂചിപ്പിക്കുന്നു. സങ്കലനക്രിയയ്ക്ക് ഉപയോഗിക്കാറുളള അതേ സമ്പ്രദായത്തിന് തുല്യമാണ് ഇതും:  എന്നാൽ ,  എന്നിവയുടെ സങ്കലനക്രിയയെ മാത്രമല്ല സൂചിപ്പിക്കുന്നത് ആ സങ്കലനക്രിയയുടെ തുകയെക്കൂടിയാണ്. 

അഭിസരണമല്ലാത്ത ശ്രേണികളെ അപസരണ ശ്രേണികൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

 കൺവർജന്റും ഡൈവർജന്റുമായ ശ്രേണികളുടെ ഉദാഹരണങ്ങൾ 

 ധന പൂർണസംഖ്യകളുടെ  വ്യുൽക്രമങ്ങൾ ഒരു  ഡൈവർജന്റ് ശ്രേണി (ഹാർമോണിക ശ്രേണി) ഉണ്ടാക്കുന്നു:

 ധന പൂർണസംഖ്യകളുടെ  വ്യുൽക്രമങ്ങളുടെ ചിഹ്നം ഒന്നിടവിട്ട് മാറ്റം വരുത്തിയാൽ അത് ഒരു  കൺവർജന്റ് ശ്രേണി (  പ്രത്യാവർത്തി ഹാർമോണിക ശ്രേണി) ഉണ്ടാക്കുന്നു:

 അഭാജ്യ സംഖ്യകളുടെ വ്യുൽക്രമങ്ങൾ ഒരു  അപസരണശ്രേണി  ഉണ്ടാക്കുന്നു. :

 ത്രിഭുജസംഖ്യകളുടെ (triangular numbers) വ്യുൽക്രമങ്ങൾ ഒരു അഭിസരണശ്രേണി ഉണ്ടാക്കുന്നു:

 ക്രമഗുണിതങ്ങളുടെ (factorials) വ്യുൽക്രമങ്ങൾ ഒരു അപസരണശ്രേണി ഉണ്ടാക്കുന്നു ( e കാണുക):

 വർഗ്ഗസംഖ്യകളുടെ (square numbers) വ്യുൽക്രമങ്ങൾ ഒരു അഭിസണശ്രേണി ഉണ്ടാക്കുന്നു.  (ബേസൽ സമസ്യ):

 2 ൻ്റെ ഘാതങ്ങളുടെ വ്യുൽക്രമങ്ങൾ ഒരു അഭിസരണശ്രേണി ഉണ്ടാക്കുന്നു.  (അതുകൊണ്ടുതന്നെ 2 ൻ്റെ ഘാതങ്ങളുടെ ഗണം "ചെറുത്" ആണ്):

 n>1 ആയവയുടെ ഘാതത്തിൻ്റെ വ്യുൽക്രമങ്ങൾ ഒരു അഭിസരണശ്രേണി ഉണ്ടാക്കുന്നു:

 2 ൻ്റെ ഘാതങ്ങളുടെ വ്യുൽക്രമങ്ങളുടെ ചിഹ്നം ഒന്നിടവിട്ട് മാറ്റുന്നത് ഒരു അഭിസരണശ്രേണി ഉണ്ടാക്കുന്നു:

 n>1 ആയവയുടെ ഘാതത്തിൻ്റെ വ്യുൽക്രമങ്ങളുടെ ചിഹ്നം ഒന്നിടവിട്ട് മാറ്റുന്നത് ഒരു അഭിസരണശ്രേണി ഉണ്ടാക്കുന്നു:

 ഫിബനാസി സംഖ്യകളുടെ വ്യുൽക്രമങ്ങൾ ഒരു അഭിസരണശ്രേണി ഉണ്ടാക്കുന്നു.   (ψ കാണുക):


 കൺവർജൻസ് പരിശോധനകൾ 
ഒരു ശ്രേണി അഭിസരിക്കുന്നുവോ അപസരിക്കുന്നുവോ എന്ന് നിർണ്ണയിക്കാൻ നിരവധി മാർഗങ്ങളുണ്ട്.
വലത്ത്‌|ലഘുചിത്രം|250x250ബിന്ദു| നീല ശ്രേണിയായ, , അഭിസരണമാണെന്ന് തെളിയിക്കാൻ കഴിഞ്ഞാൽ,  ചെറിയ ശ്രേണിയായ,  അഭിസരണമായിരിക്കും. സമാനമായി, ചുവന്ന ശ്രേണിയായ  അപസരണമാണെന്ന് തെളിയിച്ചാൽ  ഉം അപസരണമായിരിക്കും.
താരതമ്യ പരിശോധന . അനുക്രമം  ലെ പദങ്ങലെ മറ്റൊരു അനുക്രമം  ഉം ആയി  താരതമ്യം ചെയ്യുന്നുവെങ്കിൽ,

എല്ലാ n നും, ,   അഭിസരിക്കുന്നു,  നും അതു തന്നെ സംഭവിക്കുന്നു.

എന്നിരുന്നാലും, 

എല്ലാ n നും, ,   അപസരിക്കുന്നുവെങ്കിൽ,    നും അതുതന്നെ സംഭവിക്കും.

അനുപാത പരിശോധന (Ratio test) . എല്ലാ n- നും ,  പൂജ്യമല്ല എന്നു സങ്കൽപ്പിക്കുക.   എന്നൊന്ന് താഴെപ്പറയും പ്രകാരം ഉണ്ടെന്ന് കരുതുക



r <1 ആണെങ്കിൽ, ശ്രേണി തികച്ചും അഭിസരണമാണ്.  ആണെങ്കിൽ, ശ്രേണി അപസരണമാണ്.  ആണെങ്കിൽ, അനുപാത പരിശോധന അനിശ്ചിതമാണ്, ശ്രേണി അഭിസരണമോ അപസരണമോ ആകാം.

വർഗ്ഗമൂല പരിശോധന (Root test) അല്ലെങ്കിൽ n ാം വർഗ്ഗമൂലപരിശോധന. പ്രസ്തുത ശ്രേണിയിലെ പദങ്ങൾ ഋണമല്ലെന്ന് കരുതുക. r ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ നിർവ്വചിക്കുക:



 ഇവിടെ "lim sup" എന്നത് പരമോന്നത പരിധിയെ (limit superior) സൂചിപ്പിക്കുന്നു (അത് ∞ ആയേക്കാം).

r <1 ആണെങ്കിൽ, ശ്രേണി അഭിസരണമാണ്.  ആണെങ്കിൽ, ശ്രേണി അപസരണമാണ്.  ആണെങ്കിൽ, വർഗ്ഗമൂല പരിശോധന അനിശ്ചിതമാണ്, ശ്രേണി അഭിസരണമോ അപസരണമോ ആകാം.

അനുപാത പരിശോധനയും വർഗ്ഗമൂല പരിശോധനയും ഒരു ജ്യാമിതീയ ശ്രേണിയുമായുള്ള താരതമ്യത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ളതാണ്, അതുപോലെ തന്നെ അവ സമാന സാഹചര്യങ്ങളിൽ വർത്തിക്കുന്നു. വാസ്തവത്തിൽ, അനുപാത പരിശോധന വിജയകരമാണെങ്കിൽ വർഗ്ഗമൂലപരിശോധനയും വ്യത്യസ്തമാകുകയില്ല; അതിനാൽ, വർഗ്ഗമൂല പരിശോധനയാണ് കൂടൂതൽ പ്രായോഗികം, എന്നാൽ സാധാരണയായി കാണുന്ന തരത്തിലുള്ള ശ്രേണികളുടെ പരിധി കണക്കാക്കുന്നത് പലപ്പോഴും ബുദ്ധിമുട്ടാണ്.

സമാകലന പരിശോധന (Integral Test) . അഭിസരണവും അപസരണവും നിർണയിക്കുന്നതിന് ശ്രേണിയെ ഒരു സമാകല(Integral)വുമായി താരതമ്യം ചെയ്യാം.  ഒരു പോസിറ്റീവും ഏകതാനമായി കുറയുന്ന ഫലനവും ആണെന്നിരിക്കട്ടെ, 



ആയാൽ ശ്രേണി അഭിസരിക്കും. എന്നാൽ സമാകല്യം അപസരിച്ചാൽ ശ്രേണിക്കും അതു തന്നെ സംഭവിക്കും.

പരിധി താരതമ്യ പരിശോധന  (Limit comparison test) .  ഉം,  എന്ന പരിധി ഉണ്ടായിരിക്കുകയും, അത് അപൂജ്യവുമാണെങ്കിൽ,   അഭിസരിച്ചാൽ മാത്രമേ   യും അഭിസരിക്കുകയുളളു.

 യൂണിഫോം കൺവർജൻസ് (Uniform convergence) 
 എന്നിവ ഫലനങ്ങളുടെ ഒരു അനുക്രമം ആണെന്നിരിക്കട്ടെ.  എന്ന ശ്രേണി f ലേയ്ക്ക് ഏകതാനമായി അഭിസരിക്കുന്നു എന്ന് പറയണമെങ്കിൽ ആംശികതുകകളുടെ അനുക്രമമായ  ,



എന്നത് f ലേയ്ക്ക് ഏകതാനമായി അഭിസരിക്കണം.

 പുറത്തേക്കുള്ള കണ്ണികൾ 

 വെയ്സ്റ്റീൻ, എറിക് (2005). റീമൻ സീരീസ് സിദ്ധാന്തം . ശേഖരിച്ചത് മെയ് 16, 2005.

വർഗ്ഗം:ഗണിതശാസ്ത്രപദസൂചികൾ