നോതെറുടെ പ്രമേയം

നോതെറുടെ (ആദ്യ)See also Noether's second theorem. പ്രമേയം പ്രസ്താവിയ്ക്കുന്നത് ഒരു ഭൗതിക സിസ്റ്റത്തിന്റെ പ്രവർത്തനങ്ങളിലെ ഡിഫറെൻഷ്യബിൾ ആയ എല്ലാ സമമിതികൾക്കും തത്തുല്യമായ ഒരു സംരക്ഷണ നിയമം ഉണ്ടായിരിയ്ക്കും എന്നാണ്. എമ്മി നോതർ ഈ പ്രമേയം 1915 തെളിയിച്ച് 1918 ൽ ആദ്യമായി പ്രസിദ്ധീകരിച്ചു. എന്നാൽ ഇതിന്റെ ഒരു സ്പെഷ്യൽ കേസ് 1909 ൽത്തന്നെ യൂജിൻ കോസ്സേറാറ്റ്, ഫ്രാൻകോയിസ് കോസ്സേറാറ്റ് എന്നിവർ ചേർന്ന് തെളിയിച്ചിരുന്നു. ഒരു സിസ്റ്റത്തിലുള്ള ഒരു ലഗ്രാഞ്ചിയൻ ഫലനത്തെ സമയത്തെ ആസ്പദമാക്കി സമാകലനം(integration) ചെയ്തു കിട്ടുന്ന ഫലമാണ് ഇവിടെ പ്രവർത്തനം (ആക്ഷൻ) എന്നതുകൊണ്ട് ഉദ്ദേശിയ്ക്കുന്നത്. ഈ പ്രവർത്തനത്തെ കൂടുതൽ വിശകലനം ചെയ്ത് അതിന്റെ ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ വില കണ്ടുപിടിച്ചാൽ ആ സിസ്റ്റത്തിന്റെ ചലനനിയമങ്ങൾ ഉണ്ടാക്കിയെടുക്കാം എന്നുള്ള തത്ത്വമാണ് പ്രിൻസിപ്പിൾ ഓഫ് ലീസ്റ്റ് ആക്ഷൻ എന്നറിയപ്പെടുന്നത്.

 പശ്ചാത്തലവും അടിസ്ഥാന വിവരണവും 
ഇവിടെ ചില പദങ്ങൾ കൂടുതലായി വിശദീകരിയ്ക്കാം. ഒരു സിസ്റ്റത്തിന്റെ സമമിതി എന്നതുകൊണ്ട് ആ സിസ്റ്റത്തിന്റെ അവസ്ഥയ്ക്ക് മാറ്റം വരാതെ തന്നെ ആ സിസ്റ്റത്തിൽ ചെയ്യാവുന്ന ഒരു പ്രവർത്തനം ആണ് ഉദ്ദേശിയ്ക്കുന്നത്. വലതുവശത്ത് കൊടുത്തിരിയ്ക്കുന്ന ഉദാഹരണം ശ്രദ്ധിയ്ക്കുക. ഈ  സമചതുരത്തെ സ്‌ക്രീനിന്റെ പ്രതലത്തിൽ 90 ഡിഗ്രി ചെരിച്ചാൽ കിട്ടുന്നത് വീണ്ടും ഒരു സമചതുരം തന്നെയാണ്. ഇനി ഇതിനെ എത്ര തവണ 90 ഡിഗ്രി തിരിച്ചാലും കിട്ടുന്നത് അതേ സമചതുരം തന്നെയായിരിയ്ക്കും. അതായത് സമചതുരം എന്ന സിസ്റ്റത്തിന് 90 ഡിഗ്രി ഭ്രമണം എന്ന പ്രവർത്തനത്തെ ആസ്പദമാക്കി സമമിതി ഉണ്ടെന്നു പറയാം. എന്നാൽ 45 ഡിഗ്രി തിരിച്ചാലോ? രണ്ടാമത്തെ ചിത്രം ഇവിടെ കാണിയ്ക്കുന്നത് ഇത്തരം ഒരു ഭ്രമണത്തിൽ സമചതുരത്തിന്റെ സമമിതി നഷ്ടപ്പെടുന്നു എന്നാണ്. അതായത് 0, 90, 180, 270 എന്നീ അളവുകളിൽ അല്ലാതെ മറ്റേതൊരു അളവിൽ സമചതുരത്തെ തിരിച്ചാലും അത് സമമിതമായിരിയ്ക്കില്ല. 

ഇനി ഒരു സമമിതി അനുസ്യൂതമാകുന്നത് എങ്ങനെ എന്ന് നോക്കാം. ഒരു  വൃത്തത്തിന്റെ ഭ്രമണത്തിന്റെ കാര്യം എടുക്കുക. ഇതിനെ ഏതു അളവിൽ തിരിച്ചാലും അതേ വൃത്തം തന്നെ ലഭിയ്ക്കുന്നു. അതായത് തന്നിരിയ്ക്കുന്ന ഒരു വൃത്തത്തെ  അനന്തസൂക്ഷ്മമായ (ഇന്ഫെനേറ്റീസിമൽ) അളവിൽ തിരിച്ചാലും അതേ വൃത്തം തന്നെ ലഭിയ്ക്കുന്നു. ഇത്തരം സമമിതി അനസ്യൂതമാണെന്നു പറയാം. സമചതുരത്തിന്റെ ഭ്രമണസമമിതി അനസ്യൂതം അല്ല.

നോതെറുടെ പ്രമേയം രണ്ടാമത്തെ തരം സമമിതികളെക്കുറിച്ചുള്ളതാണ്. ഉദാഹരണത്തിന് ന്യൂട്ടന്റെ ചലനനിയമങ്ങൾ പ്രപഞ്ചത്തിൽ എവിടെ വെച്ചും സാധുവാണ്. അതായത് ചലനം നടക്കുന്ന സ്ഥാനം മാറിയാലും അതിന്റെ നിയമങ്ങൾ മാറ്റമില്ലാതെ നിൽക്കുന്നു എന്നർത്ഥം. ഇവിടെ സ്ഥാനം മാറുന്ന പ്രക്രിയയെ മുകളിൽ പറഞ്ഞ ഉദാഹരണത്തിലെ വൃത്തത്തിന്റെ ഭ്രമണത്തോട് ഉപമിയ്ക്കാം. ഇവിടെ വസ്തുവിന്റെ സ്ഥാനചലനം ആണ് സിസ്റ്റം. പ്രപഞ്ചത്തിൽ എവിടെ വെച്ച് അത് നടത്തുന്നു എന്നുള്ളതാണ് പ്രവർത്തനം. ഈ സമമിതി അനുസ്യൂതമാണ്. എവിടെ വെച്ച് സ്ഥാനചലനം നടത്തുന്നു എന്നതിൽ എത്ര ചെറിയ മാറ്റം വന്നാലും നിയമങ്ങൾ മാറാതെ നിൽക്കുന്നു. ഇവിടെ സിസ്റ്റം എന്നതുകൊണ്ട് ഉദ്ദേശിയ്ക്കുന്നത് നമ്മൾ ചലനം ഏതു വസ്തുവിലാണോ നിരീക്ഷിയ്ക്കുന്നത്, ആ വസ്തുവും അതിന്റെ ചുറ്റുപാടുകളും ആണ്.

ഇത്തരം ഒരു സിസ്റ്റവും അതിലെ സമമിതിയും കണ്ടെത്തിയാൽ അതിൽ നിന്നും നോതെരുടെ പ്രമേയപ്രകാരം നമുക്ക് ഒരു  സംരക്ഷണനിയമം ഉണ്ടാക്കിയെടുക്കാം. സ്ഥാനത്തിലുള്ള വ്യത്യാസത്തിന്(സ്ഥാനാന്തരം) ചേർന്ന സംരക്ഷണം ആക്കം അഥവാ സംവേഗത്തിന്റേതാണ്. അതായത് ഒരു സിസ്റ്റത്തിന്റെ പ്രവർത്തനത്തിൽ സ്ഥാനത്തിനനുസരിച്ച് മാറ്റം വരുന്നില്ലെങ്കിൽ അതിന്റെ സംവേഗം എപ്പോഴും സ്ഥിരമായിരിയ്ക്കും. ഇത് തിരിച്ചും ബാധകമാണ്. ഒരു സിസ്റ്റത്തിന്റെ സംവേഗം സ്ഥിരമാണെങ്കിൽ അതിന്റെ പ്രവർത്തനത്തിൽ സ്ഥാനത്തിനനുസരിച്ച് മാറ്റം വരുന്നില്ല.

ഇതുപോലെയുള്ള മറ്റൊരു സമമിതിയാണ് സമയത്തിലുള്ള സമമിതി. ന്യൂട്ടോണിയൻ ചലനനിയമങ്ങൾ എപ്പോൾ ഉപയോഗിയ്ക്കുന്നു എന്നതിനെ അപേക്ഷിച്ച് ഉത്തരം മാറില്ല. അതായത് ഇത് സമയത്തെ അപേക്ഷിച്ച് അനുസ്യൂതമായ സമമിതിയാണ്. ഈ അവസ്ഥയിൽ നോതെറുടെ പ്രമേയപ്രകാരം സംരക്ഷിയ്ക്കപ്പെടുന്ന പരിമാണം  ഊർജ്ജമാണ്. ഇതിനെ തിരിച്ച്, ഒരു സിസ്റ്റത്തിൽ ഊർജ്ജം സംരക്ഷിയ്ക്കപ്പെടുന്നുണ്ടെങ്കിൽ ആ സിസ്റ്റത്തിന് സമയത്തിൽ സമമിതി ഉണ്ടെന്നും പറയാം.

ഒരു കാര്യം ഓർക്കാനുള്ളത് ഈ ഉദാഹരണങ്ങളിൽ സമമിതി ചലനനിയമങ്ങൾക്ക് ആണ്. സമചതുരത്തിന്റെ ഉദാഹരണം ഇവിടെ നേരിട്ട് ഉപയോഗിയ്ക്കാൻ പാടില്ല. അവിടെ സമചതുരത്തിന്റെ രൂപത്തിനായിരുന്നു സമമിതി. അതായത് ചലനനിയമങ്ങൾ സിസ്റ്റം ആയി എടുക്കുന്ന വേളയിൽ അത് ഏതു വസ്തുവിലാണോ പ്രയോഗിയ്ക്കുന്നത് ആ വസ്തുവിന്റെ രൂപത്തിലുള്ള സമമിതി പ്രസക്തമല്ല. ഉദാഹരണത്തിന് ക്രമരഹിതമായ രൂപത്തിലുള്ള ഒരു ക്ഷുദ്രഗ്രഹം സ്പേസിലൂടെ കറങ്ങി നീങ്ങുമ്പോൾ ആ ഗ്രഹം എങ്ങോട്ടു തിരിഞ്ഞിരുന്നാലും ഒരുപോലെ കാണില്ല. പക്ഷേ അതിന്റെ ചലനനിയമങ്ങൾ പക്ഷെ ഭ്രമണത്തിന് സമമിതമായിരിയ്ക്കും. അതായത് ആ സിസ്റ്റത്തിന് റൊട്ടേഷണൽ സമമിതി ഉണ്ട്. ഈ അവസ്ഥയിൽ അതിന്റെ കോണീയപ്രവേഗം (അംഗുലാർ മൊമെന്റം) സംരക്ഷിയ്ക്കപ്പെടുന്നു.

നോതെറുടെ പ്രമേയം ഇത്തരത്തിൽ വളരെ അടിസ്ഥാനപരവും പ്രാധാന്യമേറിയതുമാണ്. ഒരു സിസ്റ്റത്തിലെ സംരക്ഷിയ്ക്കപ്പെടുന്ന പരിമാണങ്ങളും അതിന്റെ സമമിതികളും തമ്മിൽ അഭേദ്യമായ ഒരു ബന്ധം നിലനിൽക്കുന്നുണ്ടെന്ന് ഈ തിയറം തെളിയിയ്ക്കുന്നു.

ഇതും കൂടി കാണുക
സംരക്ഷണനിയമം
എമ്മി നോതർ
സമമിതി
ലഗ്രാഞ്ചിയൻ

അവലംബങ്ങൾ

പുറംകണ്ണികൾ
 (Original in Gott. Nachr. 1918:235–257)



John Baez (2002) "Noether's Theorem in a Nutshell."



Noether's Theorem at MathPages.

വർഗ്ഗം:ഭൗതികശാസ്ത്രത്തിന്റെ അടിസ്ഥാനതത്ത്വങ്ങൾ
വർഗ്ഗം:സംരക്ഷണ നിയമങ്ങൾ