ഉപഗ്രൂപ്പ്

ഒരു ഗ്രൂപ്പിന്റെ അശൂന്യ ഉപഗണം മാതൃഗ്രൂപ്പിന്റെ ദ്വയാങ്കസംക്രിയയുമായി ചേർത്തുനോക്കുമ്പോൾ ഗ്രൂപ്പുകളുടെ സ്വയംപ്രമാണസിദ്ധാന്തങ്ങൾ പാലിക്കുന്നുവെങ്കിൽ ആ ഉപഗണത്തെ ഗ്രൂപ്പിന്റെ ഉപഗ്രൂപ്പ് (subgroup) എന്ന് വിളിക്കുന്നു. അതായത്, ഒരു ഗ്രൂപ്പിന്റെ ഉപഗണം സ്വയം ഒരു ഗ്രൂപ്പാണെങ്കിൽ (ഇവിടെ സംക്രിയ മാതൃഗ്രൂപ്പിന്റെ തന്നെയാകണമെന്ന നിബന്ധനയുണ്ട്) ആ ഉപഗണം ഒരു ഉപഗ്രൂപ്പാണ്.

ഏതൊരു ഗ്രൂപ്പിനും തൽസമകം മാത്രമടങ്ങിയ ഗണം ഉപഗ്രൂപ്പായുണ്ട് - ഇതിനെ തുച്ഛ ഉപഗ്രൂപ്പ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു. ഉപഗണം ഒരു ഉചിത ഉപഗണമാണെങ്കിൽ - അതായത്, മാതൃഗ്രൂപ്പിലെ ഒരംഗമെങ്കിലും ഉപഗ്രൂപ്പിൽ ഇല്ലാതുണ്ടെങ്കിൽ - ഉപഗ്രൂപ്പിനെ ഉചിത ഉപഗ്രൂപ്പ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു

സവിശേഷതകൾ
 ഉപഗ്രൂപ്പിലെ തൽസമകം മാതൃഗ്രൂപ്പിലെ തൽസമകം തന്നെയാണ്
 ഉപഗ്രൂപ്പിലെ ഓരോ അംഗത്തിന്റെയും വിപരിത അംഗം മാതൃഗ്രൂപ്പിലെ വിപരിത അംഗം തന്നെയാണ്
 രണ്ട് ഉപഗ്രൂപ്പുകളുടെ സംഗമവും ഒരു ഉപഗ്രൂപ്പാണ്
 രണ്ട് ഉപഗ്രൂപ്പുകളുടെ യോഗം ഒരു ഉപഗ്രൂപ്പാവണമെങ്കിൽ ഒന്ന് മറ്റൊന്നിന്റെ ഉപഗണമായിരിക്കണം
 ഉപഗ്രൂപ്പിന്റെ കോടി മാതൃഗ്രൂപ്പിന്റെ കോടിയുടെ ഘടകമായിരിക്കും. മാതൃഗ്രൂപ്പിന്റെ കോടിയെ ഉപഗ്രൂപ്പിന്റെ കോടി കൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ കിട്ടുന്ന സംഖ്യയെ സൂചകാങ്കം എന്ന് വിളിക്കുന്നു. ഉപഗ്രൂപ്പിന്റെ സഹഗണങ്ങളുടെ എണ്ണമാണിത്

ഉദാഹരണം
220px|ലഘുചിത്രം|വലത്ത്‌|S4 ന്റെ ഉപഗ്രൂപ്പ് ജാലികയുടെ ഹാസെ ഡയഗ്രം
സമമിതീയഗ്രൂപ്പായ S4 ന്റെ ഉപഗ്രൂപ്പുകൾ ഇവയാണ്:
 തുച്ഛ ഉപഗ്രൂപ്പ് { e }
 ചാക്രികഗ്രൂപ്പായ Z2 ന് സമരൂപമായ 9 ഉപഗ്രൂപ്പുകൾ
 ചാക്രികഗ്രൂപ്പായ Z3 ന് സമരൂപമായ 4 ഉപഗ്രൂപ്പുകൾ
 ചാക്രികഗ്രൂപ്പായ Z4 ന് സമരൂപമായ 3 ഉപഗ്രൂപ്പുകൾ
 ക്ലൈൻ ഗ്രൂപ്പിന് സമരൂപമായ 4 ഉപഗ്രൂപ്പുകൾ
 സമമിതീയഗ്രൂപ്പായ S3 ന് സമരൂപമായ 4 ഉപഗ്രൂപ്പുകൾ
 ഡൈഹെഡ്രൽ ഗ്രൂപ്പായ D4 ന് സമരൂപമായ 3 ഉപഗ്രൂപ്പുകൾ
 പ്രത്യാവർത്തിഗ്രൂപ്പായ A4
 മാതൃഗ്രൂപ്പായ S4 തന്നെ

അവലംബം
 http://mathworld.wolfram.com/Subgroup.html

വർഗ്ഗം:ഗ്രൂപ്പ് സിദ്ധാന്തം