കോടി (ഗ്രൂപ്പ് സിദ്ധാന്തം)

ഗ്രൂപ്പ് സിദ്ധാന്തത്തിൽ കോടി (order) എന്ന പദം കൊണ്ട് വളരെ അടുത്തുനിൽക്കുന്ന രണ്ട് കാര്യങ്ങളെ അർത്ഥമാക്കുന്നു :
 ഒരു ഗ്രൂപ്പിന്റെ കോടി എന്നത് ആ ഗ്രൂപ്പിലെ അംഗങ്ങളുടെ എണ്ണമാണ്. പരിബദ്ധഗ്രൂപ്പുകളുടെ കോടികൾ എണ്ണൽസംഖ്യകളും അനന്തഗ്രൂപ്പുകളുടേത് അനന്തവുമാണ്.
 ഗ്രൂപ്പിലെ ഒരു അംഗത്തിന്റെ (അംഗം a എന്നു കരുതാം) കോടി എന്നത് am=e എന്നു വരുന്ന ഏറ്റവും ചെറിയ എണ്ണൽസംഖ്യയായ m ആണ്. ഇവിടെ e എന്നത് ഗ്രൂപ്പിന്റെ തൽസമകമാണ്. അത്തരം ഒരു സംഖ്യയില്ലെങ്കിൽ a യുടെ കോടി അനന്തമാണെന്നു പറയുന്നു.

G എന്ന ഗ്രൂപ്പിന്റെ കോടിയെ ord(G) അഥവാ |G| എന്നും a എന്ന അംഗത്തിന്റെ കോടിയെ ord(a) അഥവാ |a| എന്നും സൂചിപ്പിക്കുന്നു.

ഉദാഹരണം
സമമിതീയഗ്രൂപ്പായ S3 ഉദാഹരണമായെടുക്കുക. ഈ ഗ്രൂപ്പിന്റെ കെയ്ലി പട്ടിക താഴെ കൊടുത്തിരിക്കുന്നു.
{| cellspacing="0" cellpadding="8" border="1"
|-
!   •
! e || s || t || u || v || w
|-
! e
| e || s || t || u || v || w
|-
! s
| s || e || v || w || t || u
|-
! t
| t || u || e || s || w || v
|-
! u
| u || t || w || v || e || s
|-
! v
| v || w || s || e || u || t
|-
! w
| w || v || u || t || s || e
|}

ഗ്രൂപ്പിൽ ആറ് അംഗങ്ങളുള്ളതിനാൽ ഗ്രൂപ്പിന്റെ കോടി ആറാണ്. ഗ്രൂപ്പ് അംഗങ്ങളുടെ കോടികൾ ഇപ്രകാരമാണ്:
 e (തൽസമകം) : 1
 s, t, w : 2
 u, v : 3

സവിശേഷതകൾ
 തൽസമകത്തിന്റെ കോടി എല്ലായ്പ്പോഴും 1 തന്നെ ആയിരിക്കും
 ഒരു പരിബദ്ധഗ്രൂപ്പിലെ ഓരോ അംഗത്തിന്റെയും കോടി പരിബദ്ധവും ഗ്രൂപ്പ് കോടിയുടെ ഘടകവും ആയിരിക്കും
 ഒരു ഗ്രൂപ്പിൽ തൽസമകമൊഴികെയുള്ള എല്ലാ അംഗങ്ങളുടെയും കോടി 2 ആണെങ്കിൽ അതൊരു ക്രമഗ്രൂപ്പായിരിക്കും
 p എന്നത് ഒരു പരിബദ്ധഗ്രൂപ്പിന്റെ കോടിയുടെ ഘടകമായ ഒരു അഭാജ്യസംഖ്യ ആണെങ്കിൽ p കോടി ആയുള്ള ഒരംഗമെങ്കിലും ഗ്രൂപ്പിൽ ഉണ്ടായിരിക്കും
 ord(ak) = ord(a) / gcd(ord(a), k)
 a, b എന്നിവ ഒരു ഗ്രൂപ്പിലെ അംഗങ്ങളാണെങ്കിൽ ord(ab)=ord(ba)

അവലംബം
 http://mathworld.wolfram.com/GroupOrder.html

വർഗ്ഗം:ഗ്രൂപ്പ് സിദ്ധാന്തം