അനലിറ്റിക് നമ്പർ തിയറി

പൂർണസംഖ്യകളുടെ ബഹുമുഖമായ സവിശേഷതകളെ അടിസ്ഥാനപരമായി വിശകലനം ചെയ്യുന്ന ഗണിതശാസ്ത്രശാഖയാണ്  അനലിറ്റിക് നമ്പർ തിയറി(Analytic number theory) അഥവാ വിശ്ലേഷകസംഖ്യാസിദ്ധാന്തം.  ലീഷാൺ, ഗോസ്, വോൺ മങ്കോൾട്, ബെർട്രന്റ്, ഷെബിഷെഫ്, മെർടൺസ്, ലാന്റോ, മിങ്കൌസ്കീ, ഡിറീക്ലെ, റീമാൻ, ഇങ്ഹാം, ഉസ്പെൻസ്കി, സീഗൽ, ഹഡമാർഡ്, ഡെലാവാലി പൂസ്സിൻ, ലിന്നിക്ക്, സെൽബർഗ്, വിനഗ്രഡോഫ്, ഹാർഡി, രാമാനുജൻ, എസ്.എസ്.പിള്ള എന്നീ ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞൻമാർ വിശ്ളേഷകസംഖ്യാസിദ്ധാന്തത്തെ പരിപോഷിപ്പിച്ചിട്ടുണ്ട്.

അനാലിസിസ്' (Analysis) അഥവാ വിശ്ളേഷണം എന്ന ഗണിതശാഖയുടെ തത്ത്വങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച്, പൂർണസംഖ്യകൾ ഉൾക്കൊള്ളുന്ന അനന്തശ്രേണികളുടേയും അനന്തമായി തുടരുന്ന അഭാജ്യസംഖ്യകളുടേയും (prime numbers) ഗുണധർമ വിചിന്തനം സാധിക്കുന്നു. വിശ്ളേഷണത്തിലെ ഒരു പ്രധാനതത്ത്വമായ സീമ (limit) ഇതിൽ സാർവത്രികമായി പ്രയോഗിച്ചുവരുന്നു. സംഖ്യാസിദ്ധാന്തത്തിലെ പ്രാഥമികമായ തത്ത്വങ്ങളും അതിലുപരി അങ്കഗണിതഫലനങ്ങളുടെ മൌലികമായ ഗുണധർമങ്ങളും വിശ്ളേഷകസംഖ്യാസിദ്ധാന്തത്തിന്റെ അവശ്യഘടകങ്ങളാണ്. ഈ തത്ത്വങ്ങളിൽ പടുത്തുയർത്തിയിട്ടുള്ള ഈ ഗണിതശാഖ ഗവേഷണരംഗത്തെ സജീവപ്രശ്നമായി തുടരുന്നു. ആധുനിക ഗണിതശാഖകളായ ഗണസിദ്ധാന്തം (Set Theory), കേവല ബീജഗണിതം (Abstract Algebra), ടോപോളജി (Topology) എന്നിവയുടെ പ്രേരണകൊണ്ട് ബഹുമുഖമായ വളർച്ചയ്ക്കു വിധേയമായിക്കൊണ്ടിരിക്കുകയാണ് അനലിറ്റിക് നമ്പർ തിയറി.

 മൗലിക തത്ത്വങ്ങൾ 
പൂർണസംഖ്യകളുടെ ലളിതമായ സവിശേഷതകൾ ഏകദേശമായ സ്വയംസമ്പൂർണതയ്ക്കായി താഴെചേർക്കുന്നു.

1-ഉം അതേ സംഖ്യയുമൊഴികെ മറ്റൊരു ഘടകവുമില്ലാത്ത പൂർണസംഖ്യയാണ് അഭാജ്യസംഖ്യ (prime number); ഇത്തരത്തിലല്ലാത്തവ സങ്കീർണസംഖ്യയും (composite number). ഏതു പൂർണസംഖ്യയും അഭാജ്യസംഖ്യകളുടെ ഗുണിതമായി കണക്കാക്കാൻ കഴിയും. ഒരു പൂർണസംഖ്യയ്ക്ക് ഒന്നിൽ കൂടുതൽ രൂപത്തിൽ ഈ അഭാജ്യഘടകസംവിധാനം ഉണ്ടായിരിക്കയില്ല. പൂർണസംഖ്യകളുടെ ഈ സവിശേഷതയ്ക്ക് ഐകഘടകീകരണതത്ത്വം (Unique Factorisation Theorem) എന്നു പറയുന്നു. ഇതനുസരിച്ചാണ് പൂർണസംഖ്യയെ n = pa qb ......rc അഥവാ IIpa എന്നിങ്ങനെ ഘടകരൂപത്തിൽ എഴുതുന്നത്.

 അനന്തത 
Infinity

ഒരു പൂർണസംഖ്യയെ തുടർന്നു വരുന്ന മറ്റൊരു പൂർണസംഖ്യയുണ്ട്. ഈ ദർശനം തുടർന്നു പോയാൽ സ്വാഭാവികമായി തോന്നുന്ന ഒരു ആശയമാണ് അനന്തത. പൂർണസംഖ്യകൾ അനന്തമായി അനുസ്യൂതം തുടരുന്നുവെന്നൂഹിക്കാം. എന്നാൽ അഭാജ്യസംഖ്യകളും ഇതുപോലെ അനന്തമായി തുടരുന്നുണ്ടോയെന്ന് അല്പം ചിന്തിക്കേണ്ടിവരും. അഭാജ്യസംഖ്യകളും അപ്രകാരം തന്നെ തുടരുന്നുണ്ട്. 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 എന്നു തുടങ്ങിയ അഭാജ്യസംഖ്യകളുടെ അനുക്രമം അനന്തമാണ്. യൂക്ളിഡ് എന്ന ഗണിതശാസ്ത്രാചാര്യൻ ഈ വസ്തുത തെളിയിച്ചിട്ടുണ്ട്. അഭാജ്യസംഖ്യകളുടെ അനുക്രമം ഒന്നും വിടാതെ p എന്ന അഭാജ്യസംഖ്യവരെ, തമ്മിൽ ഗുണിച്ചാൽ, ഈ ഗുണിതത്തെ p വരെയുള്ള എല്ലാ അഭാജ്യസംഖ്യകൾകൊണ്ടും കൃത്യമായി ഹരിക്കാൻ കഴിയുന്നു. എന്നാൽ ഈ ഗുണിതത്തിനോട് 1 ചേർത്തുണ്ടാകുന്ന സംഖ്യയെ p വരെയുള്ള ഏതൊരു അഭാജ്യസംഖ്യകൊണ്ടും ഹരിക്കാൻ കഴിയില്ലെന്നതിനാൽത്തന്നെ ആ സംഖ്യ ഒരു അഭാജ്യസംഖ്യ ആണന്നോ, അല്ലാത്തപക്ഷം അതിന് p യേക്കാൾ വലിയ ഒരു അഭാജ്യസംഖ്യാഘടകം ഉണ്ടന്നോ മനസ്സിലാക്കാം. ഈ വാദം തുടരുന്നതായാൽ ഒരു അഭാജ്യസംഖ്യയ്ക്കപ്പുറത്ത് മറ്റൊന്നുണ്ടെന്നും അങ്ങനെ ആ അനുക്രമം അനന്തമായി തുടരുന്നുവെന്നും സിദ്ധിക്കുന്നു.

അനന്തതയുമായുള്ള ഈ ബന്ധം യഥാർഥമായ ചില പ്രശ്നങ്ങൾക്കു വഴിതെളിച്ചു. ഏതെങ്കിലുമൊരു പൂർണസംഖ്യക്ക് താഴെ ആ സംഖ്യയോട് ആപേക്ഷിക അഭാജ്യതയുള്ള (relative prime), അതായത് ആ സംഖ്യയുമായി 1 ഒഴികെ പൊതുഘടകമില്ലാത്ത, സംഖ്യകളുടെ എണ്ണം, ഒരു സംഖ്യയുടെ അഭാജ്യഘടകങ്ങളുടെ എണ്ണം, അവയുടെ ആകെത്തുക എന്നീ പ്രശ്നങ്ങൾ അങ്കഗണിതഫലനംവഴി മനസ്സിലാക്കി. (n), d(n), (n) എന്നിവ ക്രമത്തിൽ ഈ ഫലനങ്ങളാണ്.

 വിഗണസംഖ്യകൾ -ഗണസംഖ്യകൾ-ഏകദേശനം 
Irrationals -Rationals-Approximation   

√2 ഒരു വിഗണസംഖ്യയാണ്. √2 വിന് 1.414 എന്നൊരു മൂല്യം ആരോപിക്കുന്നതായി കാണാം. ഇതിൽ അടങ്ങിയിട്ടുള്ള തത്ത്വമാണ് ഏകദേശനം എന്ന ആശയത്തിലുള്ളത്. ഏതൊരു വിഗണസംഖ്യയ്ക്കും ഒരു ഗണസംഖ്യയെ ഏകദേശ മൂല്യമായി അംഗീകരിക്കാമെന്നു തെളിയിച്ചിട്ടുണ്ട്. ഈ പ്രമേയങ്ങൾ ഇതിനുപോദ്ബലകമായി എടുക്കാം.

a ഒരു വിഗണസംഖ്യയും, N ധനാത്മക പൂർണസംഖ്യയും ആണെങ്കിൽ താഴെപറയുന്ന വ്യവസ്ഥകളിലേതെങ്കിലും ഒന്നനുസരിച്ച്, a-യോട് അടുപ്പമുള്ള h/k എന്ന ഒരു ഗണസംഖ്യയുണ്ടായിരിക്കും. ഇവിടെ (k<= N) 

Image:p482.png

ഇതിലെ രണ്ടാമത്തെ വ്യവസ്ഥ വാസ്തവത്തിൽ ആദ്യത്തേതിനേക്കാൾ കണിശമാണ്; രണ്ടാമത്തേതിൽ ഒന്നാമത്തേതും ഉൾപ്പെടുന്നു. ഇത്തരം മെച്ചപ്പെടുത്തലുകളാണ് ഇമ്മാതിരി പ്രക്രിയയിലുള്ള ഗവേഷണത്തിന്റെ ലക്ഷ്യം.

 അങ്കഗണിത ഫലനങ്ങളും ജാലിക ബിന്ദുക്കളും 
Arithmetical Functions and Lattice Points

അങ്കഗണിതഫലനങ്ങളുടെ മൂല്യത്തിൽ ആധാരസംഖ്യയുടെ വലിപ്പച്ചെറുപ്പമനുസരിച്ചുണ്ടാകുന്ന മാറ്റങ്ങളെപ്പറ്റിയുള്ള പഠനം ഈ ശാഖയിലെ പ്രധാന വശമാണ്. n-നേക്കാൾ കുറഞ്ഞതും n-നോട് ആപേക്ഷിക അഭാജ്യവുമായ പൂർണ സംഖ്യകളുടെ എണ്ണം, അതായത് ø (n), n-നേക്കാൾ കുറവായിരിക്കുമെന്നത് വളരെ എളുപ്പം മനസ്സിലാക്കാം: ø(n) < n ഈ അസമതാവാക്യത്തെ മെച്ചപ്പെടുത്തിയിട്ടുണ്ട്. അതുപോലെ d(n) എന്ന ഘടകഫലന (divisor function) ത്തിന്റെ മൂല്യം, n ഒരു അഭാജ്യസംഖ്യയായിരിക്കുമ്പോൾ, 2 ആണ്; അതായത് d(n)-ന്റെ അല്പതമ സീമ 2. σ(n), μ(n),&gama; (n) എന്നീ അങ്കഗണിതഫലനങ്ങളും ഇവയുടെ സാമാന്യവത്കരണങ്ങളും പഠനവിധേയമായിട്ടുണ്ട്. അനലിറ്റിക് നമ്പർ തിയറിയിലെ ഏറ്റവും മൌലികമായ പ്രശ്നം അഭാജ്യ സംഖ്യാപ്രമിതി (Prime Number Theorem) എന്നതാണ്. ഓയിലർ, സീഗൽ, ഷെബിഷെഫ്, ലാന്റോ, സെൽബർഗ്, വിനഗ്രഡോഫ് എന്നിവരെല്ലാം  ഈ പ്രമേയത്തിനു ഭേദഗതികൾ നല്കിയിട്ടുണ്ട്. അഭാജ്യസംഖ്യാ ശ്രേണി അനന്തമായി തുടരുന്നു. അതിനാൽ ഏതെങ്കിലും ഒരു ക്ളിപ്തസംഖ്യയ്ക്കു താഴെ എത്ര അഭാജ്യസംഖ്യകളുണ്ടായിരിക്കുമെന്നു മനസ്സിലാക്കേണ്ടതാവശ്യമായി വരുന്നു. ഇതിനൊരു ഫോർമുല തീർക്കാൻ കഴിയാത്തതിനാൽ ഏകദേശനിലയിൽ തിട്ടപ്പടുത്താൻ ശ്രമം നടന്നു. ഇതിന്റെ ഫലമായിട്ടാണ് ഈ പ്രസിദ്ധമായ പ്രമിതി രൂപപ്പെട്ടത്. f(n) ഒരു അങ്കഗണിതഫലനം ആണെങ്കിൽ താഴെയുള്ള

F(N)=ΣNn=1f(n)

എന്ന ആകെത്തുകയ്ക്ക് ആകലനഫലനം (summatory function) എന്നു പറയാം. അങ്കഗണിതഫലനത്തിന്റെ ഗതിവിഗതികൾ പഠിക്കാൻ ആകലനഫലനവും അതിന്റെ ശരാശരി ഫലനവും (average function) ഉപയോഗിക്കാറുണ്ട്.

ചില അങ്കഗണിത ഫലനങ്ങൾക്കു ജ്യാമിതീയ വ്യാഖ്യാനങ്ങളുണ്ട്. എളുപ്പത്തിൽ ഗ്രഹിക്കാവുന്ന ജ്യാമിതീയ മാർഗങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച്, സംഖ്യാസിദ്ധാന്തത്തിലെ വിശ്ളേഷണ പ്രശ്നങ്ങൾക്കു പരിഹാരം കാണാൻ കഴിയും. n-മാന യുക്ളീഡിയ പ്രതലത്തിലെ (n-Dimensional Euclidean Space) പൂർണ സംഖ്യാനിർദ്ദേശാങ്കങ്ങളുള്ള (Integer co-ordinates) ബിന്ദുവാണ് ജാലികബിന്ദു. ഒരു പ്രത്യേക തലത്തിലെ ജാലികബിന്ദുക്കളുടെ എണ്ണവുമായി ബന്ധപ്പെടുത്തി അങ്കഗണിതഫലനങ്ങളുടെ ഗതിവിഗതികൾ തിട്ടപ്പെടുത്താൻ കഴിയും.

 വിഭജന പ്രശ്നം 
Partition Problem

n എന്ന ധനപരമായ ഒരു പൂർണസംഖ്യയെ ധനപരമായ മറ്റു പൂർണസംഖ്യകളുടെ തുകയായി എത്രവിധത്തിൽ എഴുതാമെന്നൊരു പ്രശ്നമുണ്ട്. വിഭജനപ്രശ്നം എന്നാണിതിനു പേര്. p(n) എന്നാണ് ഈ ഫലനത്തെ സൂചിപ്പിച്ചുപോരുന്നത്. ഉദാ.

5 =  4+1 = 3+2 = 3+1+1 = 2+2+1

  2+1+1+1    1+1+1+1+1

അങ്ങനെ 5 എന്ന സംഖ്യയെ ഏഴു തരത്തിൽ സംഖ്യകളുടെ തുകകളായി പ്രകടിപ്പിക്കാം. അതായത് p(5) = 7. p(n)-ന്റെ മൂല്യം കണിശമായി കണ്ടുപിടിക്കുവാൻ കഴിഞ്ഞിട്ടില്ല :

Image:p483.png

രാമാനുജനും ഹാർഡിയും കൂടി കണ്ടെത്തിയ ഒരു വ്യഞ്ജകം ആണിത് (1917).

 വെയറിങ് പ്രശ്നം 
Waring Problem

നിസർഗസംഖ്യകളെ പ്രതിനിധാനം ചെയ്യാവുന്ന രൂപങ്ങളെ (forms) കുറിച്ചുള്ള പഠനമാണ് വെയറിങ് പ്രശ്നം ഉൾക്കൊള്ളുന്നത്. അതായത്, ഏത് ഒറ്റ സംഖ്യയും രണ്ടു നിസർഗ സംഖ്യകളുടെ വർഗവ്യത്യാസത്തിനു തുല്യമായിരിക്കും: 7 = 42-32; 2n+1 = (n+1)2-n2. ഇതിൽ 7-നെ 42-32 എന്ന രൂപത്തിൽ പ്രകടിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു. ഇത്തരം പ്രശ്നങ്ങളുടെ ഉപജ്ഞാതാവ് എ.ഡി. മൂന്നാം ശ.-ത്തിൽ ജീവിച്ചിരുന്ന ഡയോഫാന്റസ് എന്ന ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞനാണ്. 

1 + 2 + 3 + ....... + n = n (n+1) / 2

എന്ന സമവാക്യത്തിന്റെ വലതുഭാഗത്തുനിന്ന് n എന്നതിന് 1, 2, 3, 4, .... എന്നീ മൂല്യങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ചുകിട്ടുന്ന സംഖ്യകൾ ക്രമത്തിൽ 1, 3, 6, 10, ... എന്നിവയാണ്. ഈ സംഖ്യകളെ  ത്രിഭുജസംഖ്യകളെന്നു പറയുന്നു. ഇതുപോലെ ബഹുഭുജസംഖ്യകളെ n + 1/2(x-2)(n2-n) എന്നു സൂചിപ്പിക്കാം. ഇതിൽ n = 0, 1, 2,... എന്നെടുത്താൽ വിവിധതരം ബഹുഭുജസംഖ്യകൾ കിട്ടുന്നു; x ന്റെ മൂല്യം 4 ആണെങ്കിൽ വർഗസംഖ്യകളായിരിക്കും കിട്ടുക. ഏതു വർഗസംഖ്യയും ത്രിഭുജസംഖ്യയോ അല്ലെങ്കിൽ രണ്ടോ മൂന്നോ അത്തരം സംഖ്യകളുടെ ആകെത്തുകയോ ആയിരിക്കുമെന്ന് ഫെർമെ (1636) എന്ന ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞൻ പ്രസ്താവിക്കുകയുണ്ടായി. അതിൽ കവിഞ്ഞ്, ഏതു നിസർഗസംഖ്യയും x രാശിയിലുള്ള x ബഹുഭുജസംഖ്യകളുടെ ആകെത്തുകയായിരിക്കും എന്നുകൂടി ഫെർമെയുടെ പ്രമേയം സൂചിപ്പിക്കുന്നു. ഏതു നിസർഗസംഖ്യയും 4 വർഗസംഖ്യകളുടെ ആകെത്തുകയായിരിക്കുമെന്ന് ലഗ്രാഞ്ചെ (1772) തെളിയിക്കുകയുണ്ടായി; ത്രിഭുജസംഖ്യകൾക്കു ലീഷാണും (1798) മറ്റുള്ളവയ്ക്കു കോഷിയും (1813-15). ഏതു നിസർഗസംഖ്യയും കവിഞ്ഞത് 9 ഘനമാനങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയായിരിക്കും; അഥവാ കവിഞ്ഞത് 19 ചതുർമാനങ്ങളുടെ ആകെത്തുക; കവിഞ്ഞത്, 37 പഞ്ചമാനങ്ങളുടെ ആകെത്തുക. 1770-ൽ ഇ.വെയറിങ് അഭിപ്രായപ്പെട്ടതാണിത്. ചുരുങ്ങിയത് എത്ര പദങ്ങൾ (terms) ഓരോ പ്രതിനിധാനത്തിലുമുണ്ടായിരിക്കുമെന്ന പ്രശ്നം അവശേഷിച്ചു. ജി.എച്ച്. ഹാർഡി, ലിറ്റിൽവൂഡ്, രാമാനുജൻ എന്നീ ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞന്മാരാണ് വെയറിങ് പ്രശ്നം പിന്നീട് (1917) ഗഹനമായി പഠിച്ചത്. ഓരോ പ്രതിനിധാനത്തിലും ഉണ്ടാകാവുന്ന k-രാശിയിലുള്ള സംഖ്യകളുടെ എണ്ണം ചുരുങ്ങിയത് g(k) ആണെങ്കിൽ, g(k)-യെ വെയറിങ് സ്ഥിരാങ്കമെന്നു പറയുന്നു. g(6)-ന്റെ മൂല്യം 184-ൽ താഴെയും g(7)-ന്റേത് 323-ൽ താഴെയും g(8)-ന്റേത് 596-ൽ താഴെയും ആയിരിക്കുമെന്ന് 1934-ൽ ആർ.ഡി. ജെയിംസ് തെളിയിച്ചു. ഐ.എം. വിനഗ്രഡോഫ് ചില ഗവേഷണഫലങ്ങൾ പ്രസിദ്ധീകരിച്ചതിനെത്തുടർന്ന് യു.എസ്സിലെ എൽ.ഇ. ഡിക്സണും ഇന്ത്യയിലെ എസ്.എസ്. പിള്ളയും കുറെ പരീക്ഷണങ്ങൾ നടത്തി. 1936-ൽ അവർ സ്വതന്ത്രമായി ഈ പ്രശ്നം മിക്കവാറും പരിഹരിച്ചു. q=(3/2)kഎന്നിരിക്കട്ടെ. അവർ തെളിയിച്ചത് ഇതാണ്: 

g(k)=2k + q-2; k≥7

(3/2)k - q ≤ 1 -(1/2)k (q+3)

400-ൽ താഴെയാണ് k-യുടെ മൂല്യമെങ്കിൽ ഇത് ശരിയായിരിക്കും. മറ്റുള്ള മൂല്യങ്ങളെ സംബന്ധിച്ച വ്യവസ്ഥയാണ് താഴെ കാണുന്നത്:

(3/2)k - q =1-(1/2)k (q+2)

1944-ൽ ഐ. നിവൻ ഈ വ്യവസ്ഥയിലും പ്രശ്നം പരിഹരിച്ചു. 1940-ൽ എസ്.എസ്.പിള്ള തന്നെ g(6) = 73 എന്നു തെളിയിച്ചു. 1944 ആയപ്പോഴേക്കും k = 4, 5 എന്നീ വ്യവസ്ഥകളൊഴികെ മറ്റെല്ലാം വെയറിങ് പ്രശ്നത്തിൽ പരിഹൃതങ്ങളായി.

Image:pno483.png

 ജാലികബിന്ദു ഫലനം 
Lattice Point Function

ഒരു പൂർണസംഖ്യ(n)യെ രണ്ടു പൂർണസംഖ്യകളുടെ വർഗങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയായി ഏതേതുവിധത്തിലെല്ലാം പ്രതിനിധാനം ചെയ്യാൻ കഴിയുമെന്നതിന്റെ എണ്ണം സൂചിപ്പിക്കുന്നതാണ് ഈ ഫലനം. γ(n) എന്നാണിതിന്റെ ചിഹ്നം. അതായത്, x2+y2 = n എന്ന സമവാക്യം x, y, n എന്നിവ പൂർണസംഖ്യകളാകുന്നവിധം നിർധാരണം ചെയ്യാവുന്നതിന്റെ എണ്ണം γ(n). ഉദാ. 1 = (+-1)2 + 02 =02 + (+-1)2. അതുകൊണ്ട് γ(1) = 4. γ(n) ഗുണനാത്മകഫലനം (multiplicative function) അല്ല. നോ: അങ്കഗണിതഫലനം

ചില സംഖ്യകളെ (n), n = x2 + y2 എന്ന രൂപത്തിൽ n, x, y പൂർണസംഖ്യകളാകുന്നവിധം പ്രതിനിധാനം ചെയ്യാൻ കഴികയില്ല. അതുകൊണ്ട് γ(n) ചുരുങ്ങിയത് പൂജ്യം ആകാം. അതായത് 

Image:pno484.png

k  n-നെ ആശ്രയിക്കാത്ത ഒരു സ്ഥിരസംഖ്യ. γ(n)-ന്റെ ഈ അളവുമാനത്തെക്കാൾ (order of magnitude) പഠനവിധേയത്വമുള്ളത് R(N)എന്നൊരു ഫലനമാണ്. x2 + y2  =  N എന്ന വൃത്തത്തിന്റെ പരിധിയിൻമേലും അകത്തും ഉൾക്കൊള്ളുന്ന ജാലികബിന്ദുക്കളുടെ എണ്ണമാണ് R(N) സൂചിപ്പിക്കുന്നതെന്ന് ജ്യാമിതീയ പരിഗണനകൾ വഴി മനസ്സിലാക്കാം. ഏകദേശം ആ വൃത്തത്തിന്റെ വിസ്തീർണം ആയിരിക്കും R(N).

 ഗോസ് തിയറം 
Gauss Theorem

ചിത്രം (1)-ൽ ഏകക വിസ്തീർണം (unit area) ഉള്ള ചതുരങ്ങളുടെ ശീർഷങ്ങളാണ് വൃത്തത്തിന്റെ സമതലത്തിലുള്ള ജാലികബിന്ദുക്കൾ. വൃത്തത്തിനകത്തും പരിധിയിൻമേലും ഉള്ള ജാലികബിന്ദുക്കൾക്ക് അനുയോഗത്തിലുള്ള ചതുരങ്ങൾ കണക്കാക്കിയാൽ R(N) ഈ ചതുരങ്ങളുടെ ആകെ വിസ്തീർണമാണെന്നു മനസ്സിലാക്കാം. കണക്കാക്കേണ്ടതായ എല്ലാ ചതുരങ്ങളും വൃത്തത്തിനകത്തല്ല. ഏതായാലും x2+y2 = (√N + √2)2  എന്ന വൃത്തത്തിനകത്തായിരിക്കും. അതുകൊണ്ട് R(N) < π(√N + √2)2. അതുപോലെതന്നെ ആ ചതുരങ്ങൾ (√N - √2) വ്യാസാർധമുള്ള വൃത്തത്തിനു പുറത്തായിരിക്കും. R(N)> π(√N - √2)2 ,N≥2 അതുകൊണ്ട് π(N-2√2N + 2) < R(N)<π (N+2√2N + 2) അതുകൊണ്ട്,R(N)=πN + O(√N) .

 ഘടക ഫലനത്തിന്റെ അളവുമാനം 

d(n)-ന്റെ ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ മൂല്യം 2 ആണ്. കൂടിയത് എത്രയുമാകാം. xy = n എന്ന സമവാക്യം x, y, n എന്നിവ പൂർണ സംഖ്യകളാകുന്നവിധം നിർധാരണം ചെയ്യാവുന്ന എണ്ണമാണ് d(n). ചിത്രം 2-ലെ, xy = n എന്ന ബഹിർവളയത്തിൻമേലും, അതിനും OX-, OY- അക്ഷങ്ങൾക്കുമിടയിലുള്ളതുമായ ജാലികബിന്ദുക്കളുടെ എണ്ണമാണ് d(n). d(n) = O(nε),ε > 0 എന്നു തെളിയിച്ചിട്ടുണ്ട്.

 ഓയിലർ ഫലനത്തിന്റെ അളവുമാനം 

ø(n)<n എന്നത് എളുപ്പം മനസ്സിലാക്കാം. ,ø(n) = n(1-1/p), n=pm, 1/p =ε എന്നെടുത്താൽ (ø(n)> n (1 -ø) എന്നു സിദ്ധിക്കുന്നു. ഇതിൽനിന്നു 

Image:p484a.png

ø(n)-ന്റെ അളവുമാനത്തിന്റെ മറ്റൊരു സീമയാണ്.

Image:p484b.png

 മോബയസ് ഫലനത്തിന്റെ അളവുമാനം 

മോബയസ് ഫലനത്തിന്റെ അളവുമാനമെടുക്കാൻ
Σ∞n=1 μ(n)/n2
എന്ന വാക്യമാണുപയോഗിക്കുന്നത്.

Image:p484c.png

എന്നീ അനന്തശ്രേണികൾ രണ്ടും നിരപേക്ഷ-അഭികേന്ദ്രസരണം (absolutely convergent) ആണ്.

Image:p484d.png

ഈ ഗുണിതത്തിൽ ആദ്യത്തെപദം ഒന്നും മറ്റെല്ലാം പൂജ്യവുമായിരിക്കും.

Image:p484e.png

എന്നു തെളിയിക്കാൻ കഴിയും. ഇതിൽ നിന്നു മനസ്സിലാക്കുന്നത്.

Image:p484f.png

എന്നാണ്.

 റീമാൻ സീറ്റാഫലനം 

(s)ഡിറീക്ലെ ശ്രേണികൾ. s > 1 ആണെങ്കിൽ, താഴെ പറയുന്ന അനന്തശ്രേണികൾ അഭികേന്ദ്രസരണങ്ങളാണ്. അനലിറ്റിക് നമ്പർ തിയറിയിൽ ഈ ഫലനത്തിന് വളരെ പ്രാധാന്യമുണ്ട്.

Image:p484g.png

ഇതിനു റീമാൻ സീറ്റാ ഫലനമെന്നു പറയുന്നു. സീറ്റാ ഫലനമുപയോഗിച്ച് അങ്കഗണിതഫലനങ്ങൾ ഉൾക്കൊള്ളുന്ന ശ്രേണികളുടെ പഠനം നടത്താവുന്നതാണ്. f(n) ഒരു അങ്കഗണിതഫലനമാണെങ്കിൽ,

Image:p484h.png

ഒരു ഡിറീക്ലെ ശ്രേണിയാണ്. അഭികേന്ദ്രസരണവ്യവസ്ഥകൾക്ക് വിധേയമായി

Image:p484i.png

എന്നിവ ഗുണിച്ചാൽ ഫലം

Image:p484j.png

എന്നൊരു ഡിറീക്ലെ ശ്രേണിതന്നെയായിരിക്കും. ഇവിടെ  h(n) എന്ന അങ്കഗണിതഫലനം,

Image:p484k.png

എന്ന ഡിറീക്ലെ സംയോഗമാണ്. റീമാൻ സീറ്റാഫലനവുമായി ഇതിനെ ബന്ധപ്പെടുത്താൻ കഴിഞ്ഞിട്ടുണ്ട്.

ഈ ആശയങ്ങളെല്ലാം ആധുനിക ബീജഗണിതത്തിന്റെ തത്ത്വങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് സാമാന്യവത്കരിക്കാനും പുതിയ രൂപങ്ങളിൽ പ്രകടിപ്പിക്കാനും കഴിയുന്നതാണ്.

 അഭാജ്യ സംഖ്യാപ്രമിതി 
Prime Number Theorem

x സാമാന്യമായ ഒരു അഭാജ്യസംഖ്യയെ കുറിക്കുന്നു. x ഉൾപ്പെടെ x വരെയുള്ള എല്ലാ അഭാജ്യസംഖ്യകളുടെയും എണ്ണം π(x). π(x)-ന്റെ 'ഏകദേശമൂല്യം' (approximate value) x / loge x ആണെന്ന് ക്രിസ്ത്വബ്ദം 1800-നടുപ്പിച്ച് ലീഷാൺ (ലജന്റർ: Legendre,1752-1833) എന്ന ഫ്രഞ്ചുഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞനും ഗോസ് (Gauss,1777-1855) എന്ന ജർമൻ ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞനും അന്യോന്യമറിയാതെ കണ്ടെത്തി.

Image:p485a.png

എന്ന അംശബന്ധത്തിന്റെ വില ഒന്നിനോടടുക്കുന്നു. ഇതാണ് അഭാജ്യസംഖ്യാപ്രമിതി. ഗണിതശാസ്ത്രമണ്ഡലത്തിൽ മികച്ച ഒരു സ്ഥാനമാണ് ഈ തിയറത്തിനുള്ളത്. ജെ. ഹഡമാർഡ് (J.Hadamard, 1865-1963) എന്ന ഫ്രഞ്ചു ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞനും ബൽജിയക്കാരനായ ഡെ ല വാലി പൂസ്സിൻ (De la Vallee Poussin, 1866-1962) എന്ന ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞനും അന്യോന്യമറിയാതെ അഭാജ്യസംഖ്യാ പ്രമിതിക്ക് 1896-ൽ ഉപപത്തി (proof) കണ്ടുപിടിച്ചു. പിന്നീടു പല ഉപപത്തികളും ആവിഷ്കൃതങ്ങളായിട്ടുണ്ടെങ്കിലും 1949-ൽ എർഡോ, സെൽബർഗ് (Erdoo and Selberg) എന്നിവർ ചേർന്ന് പ്രൊസീഡിങ്സ് ഒഫ് നാഷണൽ അക്കാദമി ഒഫ് സയൻസസ് എന്ന പ്രസിദ്ധീകരണത്തിലും അതേകൊല്ലം സെൽബർഗ് തനിച്ച് ആനൽസ് ഒഫ് മാത്തമാറ്റിക്സ് എന്ന പ്രസിദ്ധീകരണത്തിലും ഇതിനു സരളമായ ഉപപത്തികൾ പ്രസിദ്ധം ചെയ്തു. നോ: അനാലിസിസ്, അങ്കഗണിതഫലനം, സംഖ്യാസിദ്ധാന്തം

വർഗ്ഗം:സംഖ്യാസിദ്ധാന്തം

ru:Теория чисел#Аналитическая теория чисел
uk:Теорія чисел#Аналітична теорія чисел