വിശ്ലേഷകഫലനം

ഗണിതശാസ്ത്രശാഖയായ സമ്മിശ്രവിശ്ളേഷണ(complex analysis)ത്തിലെ ഗണിതപ്രാധാന്യമുള്ള ഫലനം. വിശ്ളേഷകഫലനം, ഹോളൊമോർഫികഫലനം (Holomorphic function), നിയമിതഫലനം (Regular function) എന്നീ പേരുകളിലും ഇതറിയപ്പെടുന്നു.

ചരിത്രം
വിശ്ളേഷണഫലന സിദ്ധാന്ത(അനലിറ്റിക് ഫങ്ഷൻ)ത്തിന്റെ ആദ്യകാല ഗവേഷകർ കോഷി, റീമാൻ, വെയർസ്റ്റ്രോസ് എന്നിവരാണ്. വ്യുത്പന്നം (derivative) അഥവാ അവകലജഗുണാങ്കം (differential coefficient) ഉള്ള ഫലനങ്ങളാണ് കോഷിസിദ്ധാന്തത്തിന്റെ അടിസ്ഥാനം. സമ്മിശ്രസമാകല(complex integration)ത്തിന്റെ ഉപാധിയിലൂടെയാണ് 1814-ൽ കോഷി ഈ സിദ്ധാന്തത്തിനു രൂപംകൊടുത്തത്. ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞനായ ഗൂർഷ (Goursat) 1900-ത്തിൽ അതിനെ നവീകരിച്ചു. അനലിറ്റിക് ഫങ്ഷന്റെ ജ്യാമിതീയ പ്രാധാന്യമാണ് റീമാൻ പഠന വിധേയമാക്കിയത്. ഘാതശ്രേണി (power series) ആണ് വെയർസ്റ്റ്രോസ്തത്ത്വത്തിന്റെ അടിസ്ഥാനം. വിശ്ളേഷക-അവിച്ഛിന്നത(analytic continuum)യുടെ താത്ത്വിക വശങ്ങളിലാണ് വെയർസ്റ്റ്രോസ് ശ്രദ്ധിച്ചത്.

സമ്മിശ്രചരങ്ങളുടെ ഫലനം (function of complex variables). R, S എന്നീ രണ്ടു സമ്മിശ്ര സംഖ്യാഗണങ്ങൾ (sets of complex numbers) ആദ്യത്തേതിലെ ഓരോ അംഗ(z)ത്തിനും രണ്ടാമത്തേതിലെ ഒരംഗത്തെ നിർദ്ദേശിക്കുന്ന നിയമം (f) ആണ്, ഇവിടെ 'ഫലനം' എന്നതുകൊണ്ടു സൂചിപ്പിക്കപ്പെടുന്നത്. ഫലനത്തിന്റെ ഡൊമെയിൻ(മണ്ഡലം ,domain) R-ഉം റെയിഞ്ച്(രംഗം ,range) S-ഉം ആണ്. ഡൊമെയിൻ ഒരു വിവൃത-ബന്ധിതം (open connected) ആയിരിക്കും. ഇത്തരം R-ഗണത്തെ റീജിയൻ (region) എന്നു പറയുന്നു. R-റീജിയനിൽ f(z) നിർവചിക്കപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു; Z എന്ന സമ്മിശ്രചരം Z0-നോടു സമീപിക്കുമ്പോൾ,

എന്ന അംശബന്ധം (ratio) ഒരു പരിമേയ സീമ(finite limit)യോടടുക്കുന്നു; എങ്കിൽ R-ലെ Z0 ബിന്ദുവിൽ f(Z) അവകലനീയം (differentiable) ആണ് എന്നു പറയുന്നു. Z0-ലേക്കു Z അടുക്കുന്ന രൂപരേഖ (contour) ഏതു തന്നെ ആയാലും f(Z) - f(Z0)/Z-Z0-ന്റെ സീമയ്ക്കു മാറ്റമുണ്ടാകാൻ പാടില്ല. ഈ സീമയെ  f(Z)-ന്റെ Z0 എന്ന ബിന്ദുവിലെ വ്യുത്പന്നം (derivative) f'(Z) എന്നു പറയുന്നു. R-ലുള്ള എല്ലാ ബിന്ദുക്കളിലും f'(Z)-നു അസ്തിത്വമുണ്ടെങ്കിൽ f(Z) എന്ന ഫലനം R എന്ന പ്രദേശത്തു വിശ്ളേഷകമാണെന്നു പറയുന്നു. n ഒരു ധനാത്മകപൂർണസംഖ്യ ആണെങ്കിൽ Zn പരിമിത (സമ്മിശ്ര) തലത്തിൽ വിശ്ളേഷകമാണ്. അതുകൊണ്ട് എല്ലാ ബഹുപദങ്ങളും (polynominals) വിശ്ളേഷകഫലനങ്ങളാണ്.

f(Z) = u(x,y) + i v(x, y) സമ്മിശ്രതലത്തിലെ R-റീജിയനിൽ വിശ്ളേഷകമാണെന്നു കരുതിയാൽ u(x,y), v(x, y) എന്നീ വാസ്തവികമൂല്യ ഫലനങ്ങൾ (real valued functions) താഴെ പറയുന്ന സമവാക്യങ്ങൾക്ക് അനുസൃതമായിരിക്കുമെന്നു കാണാം.

എന്നിവയെ കോഷി-റീമാൻ സമവാക്യങ്ങൾ (Cauchy-Riemann equations) എന്നു പറയുന്നു. ഇതിൽ പെടുന്ന ആംശികവ്യുത്പന്നങ്ങൾ (partial derivatives), കോഷി-റീമാൻ സമവാക്യങ്ങളെ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്ന അവിച്ഛിന്ന ഫലനങ്ങൾ (continuous functions) ആണെങ്കിൽ R-പ്രദേശത്ത്

f(z) = u(x,y) + iv (x,y)

എന്ന ഫലനം വിശ്ളേഷകമായിരിക്കും.

ഘാതശ്രേണി (Power Series). Σ∞ എന്ന ഘാതശ്രേണി, |z-a|യുടെ മൂല്യം pഎന്നൊരു വാസ്തവിക സംഖ്യയിൽ കുറഞ്ഞിരിക്കുമ്പോൾ, അഭികേന്ദ്രസരണവും (convergent) കൂടുതലായിരിക്കുമ്പോൾ അപകേന്ദ്രസരണവും (divergent) ആണെങ്കിൽ p, ആ ശ്രേണിയുടെ അഭികേന്ദ്രസരണ വ്യാസാർധം (radius of convergence) ആകുന്നു. തുല്യമായിരിക്കുമ്പോൾ z-ബിന്ദുക്കളുടെ ബിന്ദുപഥം (locus) വൃത്തമാണ്. ഇതാണ് ശ്രേണിയുടെ അഭികേന്ദ്രസരണവൃത്തം (circle of convergence). ഈ വൃത്തത്തിൻമേലുള്ള ബിന്ദുക്കളിൽ, ശ്രേണി അഭികേന്ദ്രസരണമോ അപകേന്ദ്രസരണമോ ആകാം. p-യുടെ മൂല്യം കണ്ടുപിടിക്കാൻ

1/p =സീമ |an|1/n

എന്ന സമവാക്യം ഉപയോഗിക്കുന്നു (നോ: അങ്കനങ്ങൾ, ഗണിത) ഈ വൃത്തത്തിനുള്ളിൽ ഘാതശ്രേണിയുടെ സങ്കലനഫലനം (sum function) f(z) ഒരു വിശ്ളേഷകഫലനമായിരിക്കും.

കോഷി സിദ്ധാന്തം (Cauchy Theory). വിശ്ളേഷകഫലനങ്ങളുടെ സവിശേഷതകളിൽ പലതും തെളിയിക്കുന്നത്, സമ്മിശ്ര സമാകലം ഉപയോഗിച്ചാണ്. പരിമേയമായ (finite) നിഷ്കോണചാപങ്ങ(smooth arcs)ളുടെ അവിച്ഛിന്ന ശൃംഖലയ്ക്ക് രൂപരേഖ (contour) എന്നു പറയുന്നു.

x=ø;(t) ; y= ψ(t)

a≤t≤b എന്നിവ c എന്ന രൂപരേഖയെ നിർവചിക്കുന്നു. ഇവിടെ ø(t),  ψ(t)  എന്നീ ഫലനങ്ങൾ  എന്ന വാസ്തവിക പ്രാചല(real parameter)ത്തിന്റെ ഭാഗിക-അവിച്ഛിന്ന ഫലനമാണ് (piecewise continuous function). c എന്ന രൂപരേഖയിൽ f(z) ഭാഗിക-അവിച്ഛിന്നഫലനമാണെന്നു കരുതുക. f(z)-ന്റെ, c-യിലെ രൂപരേഖാസമാകലം (contour integral) നിർവചിക്കപ്പെടുന്നതിങ്ങനെയാണ്:

കോഷി-ഗൂർഷാപ്രമേയമനുസരിച്ച്, c എന്ന സംവൃത രൂപരേഖയിലും അതിനകത്തും f(z)വിശ്ളേഷകമാണെങ്കിൽ

∫c f(z)dz = 0
വിശ്ളേഷകഫലന സിദ്ധാന്തത്തിലെ പലനിഗമനങ്ങൾക്കും അടിസ്ഥാനം ഈ പ്രമേയമാണ്. c എന്ന രൂപരേഖയിൽ f(z)-ന്റെ രൂപരേഖാസമാകലമാണ്

വിശ്ളേഷകഫലനത്തിന്റെ വ്യുത്പന്നങ്ങളും വിശ്ളേഷകമായിരിക്കും.

വിശ്ളേഷകഫലനത്തിന്റെ ഘാതശ്രേണീവികാസം (Power series development of an Analytic function). സമ്മിശ്രതലത്തിൽ f(z) വിശ്ളേഷകമാകാതിരിക്കുന്ന ബിന്ദുവിനെയാണ് വിചിത്രത (singularity) എന്നു പറയുന്നത്. a എന്ന ബിന്ദുവിന്റെ 'സാമീപ്യ'ത്തിൽ f(z)-നു വേറെ വിചിത്രതകളില്ലെങ്കിൽ z = a-യെ f(z)-ന്റെ ഏകാന്തവിചിത്രത (isolated singularity) എന്നു പറയുന്നു.

|z-a|≤ r1, |z-a|≤r2 എന്നിവ രണ്ടു വൃത്തങ്ങളാണ്. കേന്ദ്രം  x = a. r1നും r2നുമിടയ്ക്കുള്ള പ്രദേശം (c) വലയാകാരം (ring shaped) ആയിരിക്കും. c-യിൽ f(z) വിശ്ളേഷകമാണെങ്കിൽ,
f(z) = Σ∞<sub>n=0</sup>
an(z-a)n + &Sigma∞
n=1bn(z-a)-n

ഇവിടെ an, bn എന്നിവ കണക്കാക്കാൻ കഴിയും. b1, b2 എന്നു തുടങ്ങിയവയെല്ലാം പൂജ്യം ആണെങ്കിൽ, z = a ഒരു അപനേയ വിചിത്രത (removable singularity) എന്നും, f(z)-ന്റെ ശ്രേണിയിലെ രണ്ടാംഭാഗം (മുഖ്യഭാഗം) ഒരു അനന്തശ്രേണിയാണെങ്കിൽ 
z = a ഒരു അനിവാര്യവിചിത്രത (essential singularity) എന്നും മുഖ്യ ഭാഗത്തിൽ പദങ്ങളുടെ എണ്ണം പരിമേയം (finite) ആണെങ്കിൽ x = a ഒരു ധ്രുവം (pole) എന്നും പറയുന്നു. z = a എന്ന ബിന്ദുവിലുള്ള f(z)-ന്റെ പരിശിഷ്ടം ആണ് b1.

പരിശിഷ്ടപ്രമേയം (Residue Theorem).

∫cf(z)d(z) = 0

ആകണമെങ്കിൽ രൂപരേഖ (c)-യിലും അതിനകത്തും f(z) വിശ്ളേഷകമായിരിക്കണം. എന്നാൽ c-യിലും c-യുടെ അകത്തു പരിമേയ വിചിത്രതകളൊഴിച്ചുള്ള (finite singularities) ബിന്ദുക്കളിലും f(z) വിശ്ളേഷകമാണെങ്കിൽ,

ഇതിൽ Ri രൂപരേഖയുടെ അകത്തുള്ള z = zi എന്ന വിചിത്രതയിലെ പരിശിഷ്ടം കുറിക്കുന്നു. ഇതാണ് കോഷിയുടെ പരിശിഷ്ടപ്രമേയം. ഈ പ്രമേയം ചില നിശ്ചിതസമാകലങ്ങളുടെ മൂല്യം നിർണയിക്കാനുപയോഗിക്കാറുണ്ട്. കൂടാതെ എലിപ്റ്റികഫലനസിദ്ധാന്ത(elliptic function theory)ത്തിൽ ഈ പ്രമേയത്തിനു വളരെ പ്രാധാന്യമുണ്ട്. നോ: അനാലിസിസ്, അവകലനം സമാകലനം, ഗണസിദ്ധാന്തം, ഫലനം (ഗണിതം), സമ്മിശ്രവിശ്ളേഷണം

അവലംബം

pl:Wzór Taylora#Szereg Taylora
Category:ഗണിതം