അങ്കഗണിതം

വാസ്തവിക ധനസംഖ്യകളെയും അവയുടെ പ്രയോഗത്തെയും പറ്റി പ്രതിപാദിക്കുന്ന ഗണിതശാഖയാണു അങ്കഗണിതം. ഗണിതശാസ്ത്രത്തിലെ ഏറ്റവും പഴക്കമേറിയതും അടിസ്ഥാനപരവുമായ ശാഖയാണിത്. അങ്കഗണിതത്തിന് അരിത്‌മെറ്റിക് (Arithmetic) എന്നാണ് ഇംഗ്ളീഷിലുള്ള പേര്. സംഖ്യയെന്നർഥമുള്ള അരിത്മോസ് എന്ന ഗ്രീക്കുപദത്തിന്റെ തദ്ഭവമാണ് അരിത്‌മെറ്റിക്. 

ബീജഗണിതത്തിന്റെ മുന്നോടിയായ അങ്കഗണിതത്തിൽ അമൂർത്തമായ  സങ്കല്പങ്ങൾ ഏറെയില്ല. മനുഷ്യസംസ്കാരത്തിന്റെ ആവശ്യങ്ങളനുസരിച്ച് വികസിച്ച ഈ ഗണിതശാഖ നമ്മുടെ നിത്യജീവിതത്തിൽ ആവശ്യമായ ഒന്നാണ് . ആടുമാടുകളുടെയും ആയുധങ്ങളുടെയും എണ്ണം തിട്ടപ്പെടുത്താൻ പ്രാചീനമനുഷ്യന് കഴിഞ്ഞിരുന്നില്ല. സംഖ്യാസമ്പ്രദായം അവന് അപരിചിതമായിരുന്നു. ഓരോന്നിനും ഓരോ കല്ല് പെറുക്കി സൂക്ഷിച്ചായിരുന്നിരിക്കണം  (ഒന്നിനൊന്ന് അനുയോഗമായി)  പ്രാചീനമനുഷ്യൻ  ആടുമാടുകളുടെയും ആയുധങ്ങളുടെയും എണ്ണം തിട്ടപ്പെടുത്തിയിരുന്നത് . ചെറിയവരകൾ ഉപയോഗിച്ചും കൈവിരലുകളിൾ എണ്ണിയും  ഇന്നത്തെ രീതിയിലേക്ക് ആ ഗണനസമ്പ്രദായം പരിഷ്കരിക്കപ്പെട്ടു.

അങ്കഗണിതത്തിൽ മൗലികമായി നാലു ക്രിയകളുണ്ട്: കൂട്ടൽ (സങ്കലനം), കുറയ്ക്കൽ (കിഴിക്കൽ, വ്യവകലനം), ഗുണിക്കൽ (പെരുക്കൽ, ഗുണനം), ഹരിക്കൽ (ഹരണം). ഇവയുടെ പ്രയോഗം, ഘടകക്രിയ, ലഘുതമസാധാരണഗുണിതം (ലസാഗു), ഉത്തമസാധാരണഘടകം (ഉസാഘ) എന്നിവയും ഭിന്നകങ്ങളുടെ പ്രയോഗം, അനുപാതം, ത്രൈരാശികം, മാനനിർണയം, വ്യാവസായികഗണിതം, ശതമാനം, പലിശ, സ്റ്റോക് നിക്ഷേപങ്ങൾ, ബിൽ ഡിസ് ക്കൗണ്ട് -- എന്നീ പ്രായോഗികപ്രാധാന്യമുള്ള വിഷയങ്ങളുമാണ് അങ്കഗണിതത്തിൽ പ്രതിപാദിക്കുന്നത്.

വ്യാവസായികകാര്യങ്ങളിൽ ഇടപെടാനായി വേണ്ടത്ര ഗണിത പരിശീലനം കിട്ടുന്നതിനും യുക്തിപരീക്ഷണമെന്ന നിലയിൽ മാനസികമായ അച്ചടക്കമുണ്ടാകുന്നതിനും അങ്കഗണിതം ആവശ്യമാണ്. ഗുണനപ്പട്ടിക ഹൃദിസ്ഥമാക്കുന്നതുകൊണ്ട് നിത്യോപയോഗമുള്ള കണക്കുകൾ എളുപ്പത്തിൽ ചെയ്യാൻ കഴിയും.

ചരിത്രം 

പ്രാചീന ചരിത്രത്തിൽ നിന്നും അങ്കഗണിതത്തിന്റെ ഉപയോഗത്തിന് കാര്യമായ തെളിവുകൾ ഒന്നും ഇല്ല. ഉള്ളതിൽ ഏറ്റവും പ്രധാനപ്പെട്ടത് മധ്യ ആഫ്രിക്കയിൽ നിന്നും ലഭിച്ച 20,000-18,000 ബി.സി. കാലഘട്ടത്തിലേതെന്ന് വിശ്വസിയ്ക്കപ്പെടുന്ന   ഇഷാങ്ങോ എല്ല് ആണ്. എന്നാൽ ഇത് അങ്കഗണിതത്തിന്റെ പ്രാചീന ഉപയോഗത്തെപ്പറ്റി എന്തുമാത്രം തെളിവ് നൽകുന്നുണ്ട് എന്നതിനെപ്പറ്റി തർക്കങ്ങൾ നിലവിലുണ്ട്.

രേഖകൾ പ്രകാരം ക്രിസ്തുവിനു 2000 വർഷങ്ങൾക്ക് മുൻപു തന്നെ  ഈജിപ്ഷ്യരും  ബാബിലോണിയക്കാരും എല്ലാ അടിസ്ഥാന അങ്കഗണിതക്രിയകളും ഉപയോഗിച്ചിരുന്നു എന്നാണ് മനസ്സിലാകുന്നത്. ഈ കാലഘട്ടത്തിലെ തെളിവുകൾ അവർ ക്രിയകൾ ചെയ്യാൻ ഉപയോഗിച്ചിരുന്ന വഴികൾ വെളിവാക്കുന്നില്ലെങ്കിലും അവരുടെ സംഖ്യാ ആലേഖന സമ്പ്രദായങ്ങൾ സങ്കീർണമായിരുന്നെന്നു വേണം അനുമാനിയ്ക്കാൻ. ഈജിപ്ഷ്യരുടെ  ഹൈറോഗ്ലിഫുകൾ അടിസ്ഥാനമായുള്ള സംഖ്യാസമ്പ്രദായം  ടാലി മാർക്കുകൾ ഉപയോഗിച്ച് സംഖ്യകൾ അടയാളപ്പെടുത്തുന്ന രീതിയോട് ഏതാണ്ട് സമാനമായിരുന്നു.  പത്തിന്റെ ഗുണിതങ്ങളെ അടിസ്ഥാനമായുള്ള ഒരു സമ്പ്രദായമായിരുന്നു ഇതെങ്കിലും ആധുനിക സമ്പ്രദായം പോലെ അക്കങ്ങളുടെ  സ്ഥാനത്തിന് വില കൽപ്പിച്ചുള്ള ഒന്നായിരുന്നില്ല ഇത്. തുടർന്ന് വന്ന  റോമൻ സംഖ്യാ സമ്പ്രദായവും ഇതിനു സമാനമായിരുന്നു.  

സംഖ്യകളുടെ സ്ഥാനത്തിന് വിലകൽപ്പിച്ചുള്ള ആദ്യ സംഖ്യാസമ്പ്രദായങ്ങൾ ബാബിലോണിയക്കാരുടെ 60നെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ള സെക്‌സാഗെസിമൽ സമ്പ്രദായവും മായൻമാരുടെ 20 നെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ള വീഗെസിമൽ സമ്പ്രദായവുമായിരുന്നു. സംഖ്യകളുടെ സ്ഥാനങ്ങൾക്കനുസരിച്ചു വ്യത്യസ്ത വിലകൾ കൊടുക്കാൻ സാധിയ്ക്കുന്നു ഈ സമ്പ്രദായങ്ങളിൽ വലിയ സംഖ്യകളും താരതമ്യേന എളുപ്പത്തിൽ രേഖപ്പെടുത്താൻ സാധിച്ചു. അതിനാൽ കണക്കുകൂട്ടലുകൾ ഈ സമ്പ്രദായങ്ങളിൽ എളുപ്പത്തിൽ ചെയ്യാൻ സാധിച്ചു. 

 ഹെല്ലനിസ്റ്റിക് കാലഘട്ടത്തിലെ ഗ്രീക്കുകാരിൽ നിന്നാണ് ആധുനിക അങ്കഗണിതത്തിന്റെ ചരിത്രം തുടങ്ങുന്നത്.  യൂക്ലിഡ് ക്രിസ്തുവിന് 300 വർഷങ്ങൾക്ക് മുൻപ് തന്റെ കണ്ടുപിടിത്തങ്ങൾ പ്രചരിപ്പിയ്ക്കുന്നതുവരെ ഗ്രീക്ക് ഗണിതം പൊതുവെ ദാർശനികതയും വിശ്വാസങ്ങളുമായി കെട്ടുപിണഞ്ഞു കിടക്കുകയായിരുന്നു.  ആർക്കിമിഡീസും  ഡയഫന്റാസും ഉപയോഗിച്ചിരുന്ന സ്ഥാനത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ള ഗ്രീക്ക് സംഖ്യാസമ്പ്രദായങ്ങൾ നമ്മുടെ ഇന്നത്തെ സമ്പ്രദായങ്ങളിൽ നിന്നും വളരെയൊന്നും വ്യത്യസ്തമായിരുന്നില്ല. ഹെല്ലനിസ്റ്റിക് കാലഘഘട്ടം വരെ ഗ്രീക്കുകാർക്ക് പൂജ്യത്തിന് ഒരു പ്രത്യേക പ്രതീകം ഇല്ലായിരുന്നു. മൂന്ന് വ്യത്യസ്ത പറ്റം സംഖ്യകൾ ഉപയോഗിച്ചാണ് അവർ സംഖ്യകൾ അടയാളപ്പെടുത്തിയിരുന്നത്. ഒറ്റയുടെ സ്ഥാനത്തെ അക്കത്തെ കുറിയ്ക്കാൻ ഒരു പറ്റം സംഖ്യകളും പത്തിന്റെ സ്ഥാനത്തെ അക്കത്തെ കുറിയ്ക്കാൻ മറ്റൊരു പറ്റവും നൂറിന്റെ സ്ഥാനത്തെ അക്കത്തെ കുറിയ്ക്കാൻ വേറൊരു പറ്റവും അവർ ഉപയോഗിച്ചിരുന്നു. ആയിരത്തിന്റെ സ്ഥാനത്തിനുവേണ്ടി ഒറ്റയുടെ സ്ഥാനത്തെ അക്കങ്ങൾ പുനരുപയോഗിച്ചു പോന്നു. സങ്കലനത്തിനുള്ള അവരുടെ രീതി നമ്മുടെ രീതിയ്ക്ക് സമാനമായിരുന്നെങ്കിലും ഗുണനത്തിന്റെ രീതി അല്പം വ്യത്യസ്തമായിരുന്നു. ഹരണം നമ്മുടേതിന് സമാനമായിരുന്നു. ആർക്കിമിഡീസ് വികസിപ്പിച്ചെടുത്ത  വർഗ്ഗമൂലപ്രക്രിയ ബാബിലോണിയക്കാരുടെ ഹീറോയുടെ സമ്പ്രദായത്തെക്കാൾ വ്യത്യസ്തമായിരുന്നു.  

പുരാതന  ചൈനീസ് സംസ്കാരത്തിലും മികച്ച സംഖ്യാസമ്പ്രദായങ്ങൾ നിലനിന്നിരുന്നു. ഗ്രീക്കുകാരുടേതിന് സമാനമായ, സ്ഥാനങ്ങളെ അടിസ്ഥാനപ്പെടുത്തിയുള്ള ഒരു സംഖ്യാസമ്പ്രദായമായിരുന്നു അവരുടേതും. പൂജ്യത്തിന് പ്രത്യേക പ്രതീകം അവർക്കും ഇല്ലാതിരുന്നതിനാൽ പ്രത്യേക പറ്റം സംഖ്യകൾ ഉപയോഗിച്ച് ഒറ്റയുടെയും പത്തിന്റെയും സ്ഥാനത്തെ അക്കങ്ങൾ രേഖപ്പെടുത്തുക എന്ന രീതി തന്നെയാണ് അവരും പിന്തുടർന്നിരുന്നത്. നൂറിന്റെ സ്ഥാനത്ത് ഒറ്റയുടെ സ്ഥാനത്തെ അക്കങ്ങൾ പുനരുപയോഗിച്ചു പോന്നു. എന്നുമുതലാണ് അവർ സ്ഥാനത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയ സംഖ്യാസമ്പ്രദായങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് തുടങ്ങിയതെന്ന് തിട്ടമില്ല. എന്തായാലും ക്രിസ്തുവിനു 400 വർഷങ്ങൾ മുൻപെങ്കിലും അവർക്ക് ഇതറിയാമായിരുന്നു.Joseph Needham, Science and Civilization in China, Vol. 3, p. 9, Cambridge University Press, 1959. ന്യൂനസംഖ്യകളുടെ ഉപയോഗം ആദ്യമായി കണ്ടുപിടിച്ചത് അവരായിരുന്നു എന്ന്  ലിയു ഹുയി എഴുതിയ ഗണിതകലയെപ്പറ്റി ഒൻപത് അധ്യായങ്ങൾ എന്ന പുസ്തകത്തിൽ നിന്നും നമുക്ക് മനസ്സിലാക്കാൻ സാധിയ്ക്കും.

പതിയെ ഉരുത്തിരിഞ്ഞ  ഹിന്ദു-അറബിക് സംഖ്യാസമ്പ്രദായത്തിലും അക്കങ്ങളുടെ സ്ഥാനത്തിനനുസരിച്ചു വില നൽകുന്ന രീതി തന്നെയാണുണ്ടായത്. ഈ സമ്പ്രദായം പത്തിനെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയതായിരുന്നു. എന്നാൽ ഈ സമ്പ്രദായത്തിന്റെ ഏറ്റവും പ്രധാന പ്രത്യേകത പൂജ്യത്തിന് സ്വന്തമായി ഒരു അക്കം ഉണ്ടായിരുന്നു എന്നുള്ളതാണ്. ചെറുതും വലുതുമായ സംഖ്യകളെ പ്രയാസഭേദമെന്യേ രേഖപ്പെടുത്താൻ ഈ സമ്പ്രദായം ഉപകരിച്ചു. ക്രമേണ അതുവരെ നിലനിന്നിരുന്ന മറ്റു രീതികളെയെല്ലാം ഈ രീതി നിഷ്കാസനം ചെയ്തു. ക്രിസ്തുവിനു ശേഷം ആറാം നൂറ്റാണ്ടിൽ  ആര്യഭടൻ തന്റെ കൃതികളിലെല്ലാം ഈ രീതി ഉപയോഗിയ്ക്കുകയും അവയുടെ ആലേഖനത്തിന് പല രീതികൾ പരീക്ഷിച്ചു നോക്കുകയും ചെയ്തു. അടുത്ത നൂറ്റാണ്ടിൽ  ബ്രഹ്മഗുപ്‌തൻ 0 ത്തെ ഒരു പ്രത്യേക അക്കം ആയി പരിഗണിച്ച് മറ്റു സംഖ്യകളുമായുള്ള പൂജ്യത്തിന്റെ ക്രിയകളുടെ (സങ്കലനം, വ്യവകലനം, ഗുണനം തുടങ്ങിയവ) ഫലങ്ങൾ ക്രോഡീകരിയ്ക്കുകയും ചെയ്തു. എ.ഡി 650 ൽ അദ്ദേഹത്തിന്റെ സമകാലികനായ  സിറിയൻ ക്രിസ്ത്യൻ ബിഷപ്പ്  സേവേരസ് സെബോക്ത് ഇങ്ങനെ പറയുന്നു: "എത്ര പ്രശംസിച്ചാലും മതിവരാത്ത ഒരു ഗണിത സമ്പ്രദായം ഇന്ത്യക്കാരുടെ പക്കൽ ഉണ്ട്. ഒൻപത് അക്കങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ചുള്ള ഗണിതക്രിയകൾ ആണ് ഈ സമ്പ്രദായം".Reference: Revue de l'Orient Chretien by François Nau pp.327-338. (1929) ഈ രീതി പഠിച്ചെടുത്ത അറബികൾ ഇതിനെ ഹെസാബ് എന്ന് നാമകരണം ചെയ്തു. 


1202 ൽ  പിസയിലെ ലിയനാർഡോ ആണ് തന്റെ  ലിബേർ അബാച്ചി എന്ന കൃതിയിലൂടെ ഈ സമ്പ്രദായം യൂറോപ്യർക്ക് പരിചയപ്പെടുത്തിയത്. അദ്ദേഹം ഇങ്ങനെ എഴുതി : "ഇതുവരെ കണ്ടുപിടിച്ചിട്ടുള്ള ഏതു ഗണിതരീതിയെക്കാളും മികച്ചതാണ് ഇന്ത്യക്കാരുടെ ഗണിതക്രിയാരീതി (Modus Indoram). വളരെ മനോഹരമായ ഒരു രീതിയാണിത്. ഒൻപത് അക്കങ്ങളും പൂജ്യം എന്ന ഒരു പ്രത്യേക പ്രതീകവും ചേർത്താണ് അവർ ക്രിയകൾ ചെയ്യുന്നത്".Reference: Sigler, L., "Fibonacci's Liber Abaci", Springer, 2003. 

മധ്യകാലഘട്ടത്തിൽ സർവ്വകലാശാലകളിൽ പഠിപ്പിച്ചിരുന്ന ഏഴു കലകളിൽ ഒന്നായിരുന്നു ഗണിതം. 

 മധ്യകാല ഇസ്ലാമിക സംസ്കാരത്തിലും യൂറോപ്പിലെ  നവോത്ഥാന കാലഘട്ടത്തിലും വളർന്നു പന്തലിച്ച  ആൾജിബ്ര (ബീജഗണിതം) ഈ ഡെസിമൽ സംഖ്യാസമ്പ്രദായത്തിന്റെ ഫലമായുണ്ടായ ഗണിതക്രിയകളുടെ ലളിതവത്കരണത്തിന്റെ പിന്തുടർച്ചയാണ്.

ഇക്കാലഘട്ടങ്ങളിൽ ഗണിതക്രിയകൾ എളുപ്പമാക്കാനായി പല ഗണനയന്ത്രങ്ങളും കണ്ടുപിടിച്ചിരുന്നു. നവോത്ഥാനത്തിന് മുൻപ് പല തരത്തിലുള്ള  മണിച്ചട്ടങ്ങൾ (അബാക്കസുകൾ) നിലനിന്നിരുന്നു. സ്ലൈഡ് റൂൾസ്, നോമോഗ്രാംസ്, പാസ്കലിന്റെ കാൽക്കുലേറ്റർ പോലെയുള്ള മെക്കാനിക്കൽ കാൽക്കുലേറ്ററുകൾ തുടങ്ങിയവ അവയിൽ ചിലതാണ്. ആധുനിക കാലഘട്ടത്തിൽ കാൽക്കുലേറ്ററുകളും കംപ്യൂട്ടറുകളും ഈ ചുമതല നിർവഹിയ്ക്കുന്നു.

 ഗണിതചിഹ്നങ്ങളുടെ കണ്ടുപിടിത്തം 
'+' എന്ന സങ്കലനചിഹ്നം ആദ്യമായി ഉപയോഗിച്ചത് 1360- ൽ നിക്കോൾ ഒറേസ്മേ തന്റെ അൽഗോരിസ്മുസ് പ്രൊപോർഷനം എന്ന കൃതിയിൽ ആണ്.Mathematical Magazine, Volume 1. Artemas Martin, 1887. Pg 124Der Algorismus proportionum des Nicolaus Oresme: Zum ersten Male nach der Lesart der Handschrift R.40.2. der Königlichen Gymnasial-bibliothek zu Thorn. Nicole Oresme. S. Calvary & Company, 1868. '-' എന്ന വ്യവകലനചിഹ്നം യോഹാൻ വിഡ്മാൻ എന്ന ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞൻ 1489-ൽ പ്രസിദ്ധം ചെയ്ത മെർകാന്റൈൽ അങ്കഗണിതം (Arithmetic) എന്ന ഗ്രന്ഥത്തിലാണ് ആദ്യമായി അച്ചടിയിൽ പ്രത്യക്ഷപ്പെട്ടതെന്ന് വിശ്വസിക്കപ്പെടുന്നു.Later early modern version: A New System of Mercantile Arithmetic: Adapted to the Commerce of the United States, in Its Domestic and Foreign Relations with Forms of Accounts and Other Writings Usually Occurring in Trade. By Michael Walsh. Edmund M. Blunt (proprietor.), 1801. അദ്ദേഹം നഷ്ടം രേഖപ്പെടുത്താൻ വ്യവകലനചിഹ്നവും ലാഭം രേഖപ്പെടുത്താൻ സങ്കലനചിഹ്നവും ഉപയോഗിച്ചു. ഇംഗ്ളീഷ് ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞനായ വില്യം ഔട്രഡ് (1574-1660) പ്രസിദ്ധപ്പെടുത്തിയ ക്ളാവിസ് മാത്തമാറ്റിക്ക (Clavis Mathematica, 1631) എന്ന ഗ്രന്ഥമാണ് 'x' എന്ന ഗുണനചിഹ്നം ഉൾക്കൊള്ളുന്ന അച്ചടിഗ്രന്ഥങ്ങളിൽ ഏറ്റവും പഴയതായി അറിയപ്പെടുന്നത്.Florian Cajori (1929), A History of Mathematical Notations, Dover Books on Mathematics, pp. 251f. 1659-ലെ ടൃൂഷേ ആൾജിബ്ര എന്ന പുസ്തകത്തിൽ യോഹാൻ റാൻ ആണ്  '÷' എന്ന ഹരണചിഹ്നം ആദ്യമായി പ്രയോഗിച്ചുകാണുന്നത്. എന്നാൽ ഈ പുസ്തകം എഡിറ്റ് ചെയ്ത ജോൺപെൽ (1610-1685) ആകാം ഈ ചിഹ്നം അതിൽ ഉപയോഗിച്ചത് എന്നും ഒരു വാദം ഉണ്ട്.Malcolm and Stedall p. 77.

അടിസ്ഥാന അങ്കഗണിതക്രിയകൾ 

 കൂട്ടൽ (സങ്കലനം),  കുറയ്ക്കൽ (കിഴിക്കൽ, വ്യവകലനം),  ഗുണിക്കൽ (പെരുക്കൽ, ഗുണനം),  ഹരിക്കൽ (ഹരണം) എന്നിവയാണ് അങ്കഗണിതത്തിലെ അടിസ്ഥാന ക്രിയകൾ. ഈ ക്രിയകൾക്കെല്ലാം നിശ്ചിതമായ ഒരു പ്രാധാന്യക്രമം (order of precedence) ഉണ്ട്. ഒരു ഗണത്തിലെ അംഗങ്ങളിൽ ഈ നാലു ക്രിയകളും ചെയ്യാൻ സാധിയ്ക്കുമെങ്കിൽ ആ ഗണത്തെ ഒരു  ക്ഷേത്രം എന്നു വിളിയ്ക്കുന്നു.

സങ്കലനം (+)


അങ്കഗണിതത്തിലെ ഏറ്റവും ലഘുവും അടിസ്ഥാനപരവുമായ ക്രിയയാണ് സങ്കലനം. രണ്ടു സംഖ്യകളെ പരസ്പരം കൂട്ടി അവയുടെ തുക എന്ന മൂന്നാമതൊരു സംഖ്യയാക്കുന്ന പ്രക്രിയയാണിത്. ഉദാ:  അല്ലെങ്കിൽ .

രണ്ടിലധികം സംഖ്യകളെ കൂട്ടുന്ന പ്രക്രിയ തുടർച്ചയായുള്ള സങ്കലനക്രിയകൾ ആയി കാണാവുന്നതാണ്.  സമ്മേഷൻ എന്ന ഈ ക്രിയ വഴി എത്ര സംഖ്യകളെ വേണമെങ്കിലും കൂട്ടാവുന്നതാണ്. എണ്ണൽ എന്ന ക്രിയയയും ഒരു സമ്മേഷൻ ആണ്. സങ്കലനക്രിയ ക്രമനിയമം, സാഹചര്യനിയമം എന്നിവ അനുസരിയ്ക്കുന്നു. അതിനാൽ സംഖ്യകളെ ഏതു ക്രമത്തിൽ എഴുതിയാലും തുകയ്ക്ക് മാറ്റം വരുന്നില്ല.  0 ആണ് സങ്കലനത്തിന്റെ അനന്യദം. ഏതൊരു സംഖ്യയോട് 0 കൂട്ടിയാലും 0 ത്തോട് ഏതു സംഖ്യാ കൂട്ടിയാലും അതെ സംഖ്യ തന്നെ ഫലമായി ലഭിയ്ക്കുന്നു. അതുപോലെ ഏതൊരു സംഖ്യയ്ക്കും ഒരു സങ്കലനവിപരീതം ഉണ്ട്. ഏതൊരു സംഖ്യയോടും അതിന്റെ സങ്കലനവിപരീതം കൂട്ടിയാൽ അനന്യദമായ 0 കിട്ടുന്നു. ഉദാഹരണത്തിന് 7 ന്റെ സങ്കലനവിപരീതം -7 ആണ്. അതിനാൽ  ആണ്.

ജ്യാമിതീയമായി സങ്കലനം ഇങ്ങനെ വിവരിയ്ക്കാം:

" 2, 5 എന്നീ നീളമുള്ള രണ്ടു ദണ്ഡുകൾ ഉണ്ടെങ്കിൽ അവ ഒന്നിന് പുറകിൽ മറ്റൊന്നായി വെച്ചാൽ ചേർന്നു കിട്ടുന്ന ദണ്ഡിന്റെ നീളം അവയുടെ നീളങ്ങൾ കൂട്ടിയാൽ കിട്ടുന്ന സംഖ്യ () ആയിരിയ്ക്കും."
വ്യവകലനം (−)

സങ്കലനത്തിന്റെ വിപരീതക്രിയയാണ് വ്യവകലനം. രണ്ടു സംഖ്യകൾ തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസം കണ്ടുപിടിയ്ക്കാനാണ് ഇത് ഉപയോഗിയ്ക്കുന്നത്. ആദ്യസംഖ്യ രണ്ടാമത്തേതിനേക്കാൾ വലുതാണെങ്കിൽ ഉത്തരം അന്യൂനമായിരിയ്ക്കും. എന്നാൽ ആദ്യസംഖ്യ ചെറുതാണെങ്കിൽ ഉത്തരം ന്യൂനമായിരിയ്ക്കും. രണ്ടു സംഖ്യകളും തുല്യമാണെങ്കിൽ ഉത്തരം  0 ആയിരിയ്ക്കും.

വ്യവകലനം ക്രമനിയമമോ സാഹചര്യനിയമമോ അനുസരിയ്ക്കുന്നില്ല. അതിനാൽ അവയുടെ ക്രമം പ്രധാനമാണ്. പലപ്പോഴും ഒരു സംഖ്യയുടെ സങ്കലനവിപരീതം ഉപയോഗിച്ച് വ്യവകലനക്രിയയെ സങ്കലനക്രിയയാക്കി മാറ്റാറുണ്ട്. അതായത് .

വ്യവകലനത്തിന്റെ ഉത്തരം കണ്ടുപിടിയ്ക്കാനായി പല വഴികളുണ്ട്. ടു'സ് കോംപ്ലെമെന്റ് എന്ന രീതി ഉപയോഗിച്ചാണ് ഡിജിറ്റൽ കംപ്യൂട്ടറുകളിൽ വ്യവകലനത്തിന്റെ ഉത്തരം കണ്ടുപിടിയ്ക്കുന്നത്.E.g. "Signed integers are two's complement binary values that can be used to represent both positive and negative integer values.", Section 4.2.1 in Intel 64 and IA-32 Architectures Software Developer's Manual, Volume 1: Basic Architecture, November 2006

ഗുണനം (× or · or *)

അങ്കഗണിതത്തിലെ രണ്ടാമത്തെ അടിസ്ഥാനക്രിയയാണ് ഗുണനം. ഘടകങ്ങൾ എന്നറിയപ്പെടുന്ന രണ്ടു സംഖ്യകളിൽ നിന്ന് അവയുടെ ഗുണിതം എന്ന മൂന്നാമതൊരു സംഖ്യ കണ്ടുപിടിയ്ക്കുന്ന ക്രിയയാണിത്. 

ആനുപാതികമായി വികസിപ്പിയ്ക്കുക എന്നൊരു ജ്യാമിതീയ ക്രിയയാണ് ഗുണനം വഴി നടക്കുന്നത്. ഉദാഹരണത്തിന് ഒരു സംഖ്യാരേഖയിൽ ഒരു സംഖ്യയെ 1 നേക്കാൾ വലുതായ x എന്ന സംഖ്യ കൊണ്ട് ഗുണിയ്ക്കുന്നു എന്നിരിയ്ക്കട്ടെ. ഇത് സംഖ്യാരേഖയിലെ  0 മുതൽ ആ സംഖ്യ വരെയുള്ള എല്ലാ ഭാഗത്തെയും ഒരേ പോലെ വലിച്ചുനീട്ടുന്ന പ്രക്രിയയാണിത്. 1 എന്ന ഭാഗത്തെ x വരെ വലിച്ചുനീട്ടുന്നു. 2 എന്ന ഭാഗത്തെ 2x വരെ വലിച്ചുനീട്ടുന്നു. അങ്ങനെ ആ സംഖ്യ ഇരിയ്ക്കുന്ന ഭാഗത്തെ അതിന്റെ ഗുണിതം വരെ വലിച്ചുനീട്ടുന്നു. അതുപോലെ 1 ൽ താഴെയുള്ള ഒരു സംഖ്യ കൊണ്ട് ഗുണിയ്ക്കുന്നത് ഒരു സങ്കോചപ്രക്രിയയാണ്.

ഗുണനം ക്രമനിയമവും സാഹചര്യനിയമവും പാലിയ്ക്കുന്നു. ഇതിനെ സങ്കലനത്തിനും വ്യവകലനത്തിനും മേൽ  വിതരണം നടത്താനും സാധിയ്ക്കും. ഗുണന അനന്യദം  1 ആണ്. അതായത് ഏതൊരു സംഖ്യയെ  1 കൊണ്ട് ഗുണിച്ചാലും  1 നെ ഏതൊരു സംഖ്യ കൊണ്ട് ഗുണിച്ചാലും അതേ സംഖ്യ തന്നെ ഉത്തരമായി ലഭിയ്ക്കും. 0 ഒഴികെയുള്ള ഏതൊരു സംഖ്യയ്ക്കും ഒരു  വ്യുൽക്രമം ഉണ്ടായിരിയ്ക്കുകയും ചെയ്യും. 0 ഒഴികെയുള്ള ഏതൊരു സംഖ്യയെ അതിന്റെ വ്യുൽക്രമം കൊണ്ട് ഗുണിച്ചാലും ഗുണന അനന്യദം ആയ 1 ലഭിയ്ക്കും. 

a, b എന്നീ രണ്ടു സംഖ്യകളുടെ ഗുണനത്തെ  അഥവാ  എന്നിങ്ങനെ രേഖപ്പെടുത്താം. കമ്പ്യൂട്ടർ ഭാഷകളിൽ ഇതിനെ പൊതുവെ   എന്നു രേഖപ്പെടുത്തുന്നു.

ഹരണം (÷ or /)

ഗുണനത്തിന്റെ വിപരീത ക്രിയയാണ് ഹരണം. ഒരു സംഖ്യയിൽ മറ്റൊരു സംഖ്യ എത്രമാത്രം അടങ്ങിയിട്ടുണ്ട് എന്നതിന്റെ കണക്കാണ് ഹരണം. ഹരിയ്ക്കപ്പെടുന്ന സംഖ്യയെ ഹാര്യം എന്നും ഹരിയ്ക്കുന്ന സംഖ്യയെ ഹാരകം എന്നും വിളിയ്ക്കുന്നു.  0 ത്താൽ ഉള്ള ഹരണം നിർവചിയ്ക്കപ്പെട്ടിട്ടില്ല. വ്യത്യസ്തങ്ങളായ അന്യൂനസംഖ്യകളിൽ ഹാര്യം ഹാരകത്തേക്കാൾ വലുതാണെങ്കിൽ 1 ൽ വലുതായ ഒരു സംഖ്യ ഹരണഫലനമായി ലഭിയ്ക്കുന്നു. എന്നാൽ ഹാര്യം ചെറുതാണെങ്കിലും 1 ൽ താഴെ ഉള്ള ഒരു ഫലമാണ് ലഭിയ്ക്കുക. ഹാരകത്തെ ഹരണഫലം കൊണ്ട് ഗുണിച്ചാൽ ഹാര്യം ലഭിയ്ക്കും. 

ഹരണം ക്രമനിയമവും സാഹചര്യനിയമവും പാലിയ്ക്കുന്നില്ല. അതിനാൽ ഹാര്യ/ഹാരക ക്രമം വളരെ പ്രധാനമാണ്. a യെ b കൊണ്ട് ഹരിയ്ക്കുക എന്ന ക്രിയയെ a യെ bയുടെ വ്യുൽക്രമം കൊണ്ട് ഗുണിയ്ക്കുക എന്ന ക്രിയയായും കാണാം. അതായത് :

 ഇവയും കാണുക 
 സങ്കലനം
 വ്യവകലനം
 ഗുണനം
 ഹരണം

 അവലംബങ്ങൾ 

 പുറത്തേക്കുള്ള കണ്ണികൾ 

 MathWorld article about arithmetic
 The Great Calculation According to the Indians, of Maximus Planudes  – an early Western work on arithmetic at  

വിഭാഗം:അങ്കഗണിതം