Хомотетија

мини|Пример со . Случајот  одговара на централна симетрија со центар во точката 
мини|Хомотетија на пирамида
Во математиката, хомотетија (или хомотеција, или хомогена дилатација) е трансформација на афин простор определена со точка  наречена нејзин центар и ненулти број  наречен негов коефициент, која ја пресликува точката  во точка  според правилото, 

  за фиксен број .

Користејќи вектори на положба:

 .

Во случајот кога  (кооринатен почеток):

 ,

што е униформно скалирање и го покажува значењето на специјалните избори за  :

 за  се добива  идентичното пресликување,
 за  се добива централна симетрија во однос накоординатниот почеток,

За  се добива инверзно пресликување дефинирано со  .

Во Евклидовата геометрија, хомотетиите се сличности што фиксираат точка и или ја зачувуваат (ако  ) или ја менуваат (ако  ) насоката на сите вектори. Заедно со транслациите, сите хомотетии на афин (или евклидов) простор формираат група, групата на дилатации или хомотетски-транслации. Ова се токму афините трансформации со својството дека сликата на секоја права g е права паралелна на g .

Во проективната геометрија, хомотетичка трансформација е трансформација на сличност (т.е. поправа дадена елиптична инволуција) што ја остава правата во бесконечност неподвижна по точки. 

Во Евклидовата геометрија, хомотетија со коефициент  ги множи растојанијата меѓу точките со , плоштините со  и волумените со . Тука  е коефициент на зголемувањето или фактор на дилатација или фактор на скалирање или однос на сличност. Таквата трансформација може да се нарече зголемување ако факторот на скалирање е поголем од еден. Горенаведената фиксна точка S се нарекува центар на хомотетијата или центар на сличност.

Терминот, измислен од францускиот математичар Мишел Шал, е изведен од два грчки елементи: префиксот ( 'слично'}; и transl. грч–превод. теза ( 'положба'). Го опишува односот помеѓу две фигури со иста форма и ориентација. На пример, две руски кукли што гледаат во иста насока може да се сметаат за хомотетички.

Хомотетиите се користат за скалирање на содржината на компјутерските екрани; на пример кај паметните телефони, преносни компјутери и лаптопи.

 Својства 
Следните својства важат во која било димензија.

 Пресликување на прави, отсечки и агли 
Хомотетијата ги има следниве својства:

 Права се пресликува во права која е паралелна на оригиналната. Оттука: аглите при хомотетија остануваат непроменети.
 Односот на две отсечки се запазува.

И двата својства покажуваат дека:

 Хомотетијата е сличност.

Изведување на својствата: За да се олеснат пресметките, се претпоставува дека центарот  е координатниот почеток: . Права  со параметарска репрезентација  се пресликува во множеството точки  со равенка , што е права паралелна со .

Растојанието меѓу две точки  и  е  Растојанието меѓу нивните слики е . Значи, односот (количникот) на двете отсечки останува непроменет.

Во случајот кога  пресметките се аналогни, но малку пообемни.

Последици: Триаголник се пресликува во сличен триаголник. Хомотетичката слика на круг е круг. Сликата на елипса е елипса слична на оригиналната, т.е. односот на двете оски не се менува.
мини|Со теорема на пресекот

 Графички конструкции 

 Со користење на теоремата за пресек 
Ако за хомотетија со центар  е дадена сликата  на точката  (видете го дијаграмот) тогаш сликата  на друга точка , која не лежи на правата  може да се конструира графички со користење на теоремата за пресек:  е заедничката точка на двете прави  и . Сликата на точка колинеарна со  може да се одреди со помош на  .
мини|Геометриска позадина
мини|Пантограф 3D рендерирање

 Со користење на пантограф 
Пред компјутерите да станат сеприсутни, скалирањето на цртежите се правело со помош на пантограф, алатка слична на шестар .

Конструкција и геометриска позадина:

 Земете 4 прачки и составете подвижен паралелограм со темиња  така што двете прачки кои се поврзани во точката  се продолжуваат на другиот крај како што е прикажано на дијаграмот. Изберете го односот  .
 На продолжените прачки означете ги двете точки  така што  и . Ова е во случајот кога  (Наместо на , може да се користи познавањето на положбата на центарот . Во овој случај, односот е .)
 Прикачете ги мобилните прачки за да ротираат во точката .
 За секоја промена на локацијата на точката , ја означуваме соодветната точка  .

Бидејќи  (видете дијаграм) од теоремата за пресекот се добива дека точките  се колинеарни (лежат на права) и важи  . Тоа значи: пресликувањето  е хомотетија со центар  и однос  .

 Композиција 
мини|Составот на две хомотетии со центри  и со коефициенти ,  e повторно хомотетија со центар  - точка на правата  и коефициент  .

 Составот на две хомотетии со ист центар  е повторно хомотетија со центар . Хомотетиите со центар  формираат група.
 Составот на две хомотетии со различни центри  и коефициенти 

 ако  е хомотетија со центар на правата  и коефициент ;
 ако  е транслација во насока . Специјален е случајот кога  (централни симетрии).

Изведување:

За составот  од двете хомотетии  со центри  дадени со




се добива со пресметка за сликата на точката  :


 .

Оттука, составот

 ако  е транслација во насока  за вектор  .

 ако  точката 


е фиксна точка (не се поместува) и композицијата

 .

е хомотетија со центар  и однос .  лежи на правата  .
мини|Композиција со транслација

 Составот на хомотетија и транслација е хомотетија.

Доказ:

Составот на хомотетијата


 и транслацијата

 е



што е хомотетија со центар  и однос .

 Во хомогени координати 
Хомотетијата  со центар  може да се запише како состав на хомотетија со центар  и транслација:

 .

Оттука  може да се претстави во хомогени координати со матрицата:



Чистата хомотетска линеарна трансформација е исто така конформна бидејќи е составена од транслација и униформно скалирање.

 Поврзано 

 Скалирање (геометрија) сличен поим во векторски простори
 Центар на хомотетија, центарот на хомотетична трансформација
 Хадвигеровата претпоставка за бројот на строго помали хомотетски копии на конвексно тело што може да бидат потребни за да се покрие.
 Хомотетична функција (економија), функција од обликот  во која  е хомогена функција, а  е монотоно растечка функција .
 Теорема на Менелај #Доказ со употреба на хомотетии

 Наводи 

 Литература 

 Коксетер, HSM (1961), „Вовед во геометријата“, Вајли, стр. 94

 Надворешни врски 

 Хомотетија, интерактивен аплет од Cut-the-Knot .
Категорија:Геометрија