Степен на точка

Во елементарната рамнинска геометрија степенот на точка е реален број што го одразува релативното растојание на дадена точка од дадена кружница. Овој поим бил воведен од Јакоб Штајнер во 1826 година.

Поточно, степенот  на точка  во однос на кружница  со центар  и радиус  е дефиниран со



Ако  е во надворешноста на кружницата, тогаш  , ако  е на кружницата, тогаш  и ако  е во внатрешноста на кружницата, тогаш  .

Поради Питагоровата теорема, бројот  има едноставни геометриски значења прикажани на дијаграмот: за точка  надвор од кружницата  е квадратот на тангенцијалното растојание  од точката  до кружницата  .

Точки со еднакви степени, т.е. изолинии на , се концентрични кружници на кружницата 

Штајнер го користел степенот на точка за докази на неколку искази за кружници. На пример:

 Одредување на кружница која сече четири кружници под исти агли.
 Решавање на проблемот на Аполониј.
 Конструкција на Малфатиевите кружници: За даден триаголник одреди три кружници кои се допираат една со друга и секоја од нив има по две страни од триаголникот како тетиви.
 Сферична верзија на Малфатиевиот проблем: Триаголникот е сферичен.

Основни алатки за истражувања на кружници се радикалната оска на две кружници и радикалниот центар на три кружници.

Дијаграмот на степен на множество од кружници ја дели рамнината на региони во кои кружницата што го минимизира степенот е константна.

Поопшто, францускиот математичар Едмон Лагер го дефинирал степенот на точка во однос на која било алгебарска крива на сличен начин.

 Геометриски својства 
Покрај својствата споменати во воведот постојат и други својства:

 Ортогонална кружница 
мини|Ортогонална кружница (со зелена боја)
За која било точка  надвор од кружницата  постојат две тангентни точки  на кружницата , кои имаат еднакво растојание до  Оттука и кружницата  со центар  која минува низ , исто така, поминува и низ  и ја сече  ортогонално:

 кружницата со центар  и радиус  ја сече кружницата  ортогонално.

мини|Агол помеѓу две кружници
Ако радиусот  на кружницата со центар во  е различен од  аголот  помеѓу двете кружници се добива со примена на косинусната теорема (видете го дијаграмот):




(  и  се нормали на тангентите на кружниците.)

Ако  лежи во сината кружница, тогаш  и  секогаш е различно од  .

Ако аголот  е даден, тогаш радиусот  се добива со решавање на квадратната равенка

 .

 Теорема за секанти кои се сечат, теорема за тетиви кои се сечат 
мини|Теорема за тетиви и секанти
За теоремата за секанти што се сечат и <i id="mwkg">теоремата за тетиви кои се сечат,</i> степенот на точката игра улога на инвариантна вредност :

 Теорема за секанти кои се сечат: За точка  надвор од кружницата  и пресечните точки  на секантата  и  важи: . Значи, производот е независен од правата . 
 Ако  е тангента, тогаш  и исказот е теоремата за тангентно-секантно растојание.
 Теорема за тетиви кои се сечат: За точка  во внатрешноста на кружницата  и пресечните точки  од секантата  со  важи: , па оттука производот не зависи од правата .

 Радикална оска 
Нека  е точка и  се две неконцентрични кружници со центри  и радиуси  Точката  има степен  во однос на кружницата   Множеството од сите точки  за кои  е права наречена радикална оска. Таа ги содржи сите можни заеднички точки на кружниците и е нормална на правата  .

 Теорема за секанти, теорема за тетиви: општ доказ 
мини|Теорема за секанта/тетива: доказ
И двете теореми, вклучувајќи ја и теоремата за тангента-секанта, можат да се докажат на ист начин:

Нека  е точка,   е кружница со центар во координатниот почеток и  е произволен единичен вектор. Параметрите  на можните заеднички точки на правата  (која минува низ ) и кружницата  може да се одреди со вметнување на параметарската равенка во равенката на кружницата:



Од Виетовата теорема имаме:

 . (независно oд )

 е степенот на  во однос на кружницата .

Поради  се добива следново својство точките  :

 , ако  во надворешноста на кружницата,
 , ако  е во внатрешноста на кружницата  ( имаат различни знаци!).

Ако , правата  е тангента и  е квадратот на тангентното растојание на точката  до кружницата .

 Точки на сличност, заеднички степен на две кружници 

 Точки на сличност 
Точките на сличност се суштинска алатка за истражувањата на Штајнер на кружниците.

Нека се дадени две кружници



Хомотетија (сличност) , која ја пресликува  во  го истегнува (стеснува) радиусот  до  и има центар  на правата , бидејќи  Ако центарот  е помеѓу  коефициентот е . Во другиот случај  Во секој случај:

 .

Ако ставиме  и ја решиме равенката по , добиваме:

 .

мини|Точки на сличност на двe кружници; разни случаи
Точката  се нарекува надворешна точка на сличност додека точката се нарекува внатрешна точка на сличност на кружниците.

Ако  се добива Ако :  е точката во бесконечноста на правата  додека  е центарот на Кога  кружниците се допираат една со друга во точката  однатре (двете кружници се на иста страна од нивната заедничка тангента).Ако  кружниците се допираат една со друга во точката  однадвор (двете кружници се на различни страни од нивната заедничка тангента).

Уште повеќе:

 Ако кружниците се дисјунктни (круговите немаат заеднички точки), надворешните заеднички тангенти се сечат во  а внатрешните во  .
 Ако едната кружница е во внатрешноста на другата, точките  лежат во двете кружници.
 Паровите  се проективно хармониски конјугирани: Нивниот двоен однос е  .

Монжовата теорема вели: Надворешните точки на сличност на три дисјунктни кружници лежат на една права.

 Заедничка степен на две кружници 
мини|Точки на сличност на две кружници и нивниот заеднички степен
Нека  се две кружници,  е нивната надворешна точка на сличност и  е права низ , која ги сече двете кружници во четири точки  Од дефинирачкото својство на точката  се добива




и од теоремата за секанти (видете погоре) ги имаме двете равенки



Комбинирањето на овие три равенки дава:  Оттука:  (независно од правата !). Аналогното тврдење за точката на внатрешна сличност  е вистинито.

Инваријантите  се нарекуваат од Штајнерови заеднички степени на двете кружници (gemeinschaftliche Potenz der beiden Kreise bezüglich ihrer Ähnlichkeitspunkte).

Паровите  и  од точки се викаат антихомологни точки. Паровите  и  се нарекуваат хомологни точки.William J. M'Clelland: A Treatise on the Geometry of the Circle and Some Extensions to Conic Sections by the Method of Reciprocation,1891, Verlag: Creative Media Partners, LLC, , p. 121,220

 Одредување на кружница што е тангентна на две кружници 
мини|Заеднички степен на две кружници: примена
мини|Кружници што се тангентни на две кружници
За друга секанта низ :



Од теоремата на секанти се добива:

 Четирите точки  лежат на кружница.

И аналогно:

 Четирите точки  лежат на кружница.

Бидејќи радикалните оски на три кружници се сечат во нивниот радикален центар (видете ја статијата за радикална оска), се добива дека:

 Секантите  се сечат на радикалната оска на дадените две кружници.

Со поместување на долната секанта (видете го дијаграмот) накај горната, црвената кружница станува кружница која е тангентна на обете дадени кружници. Центарот на тангентната кружница е пресекот на правите  Секантите  стануваат тангенти во точките  Тангентите се сечат на радикалната оска  (на дијаграмот означена со жолто).

Слични размислувања ја генерираат втората тангентна кружница, која ги сече дадените кружници во точките  (видете го дијаграмот).

Сите тангентни кружници на дадените кружници може да се најдат со менување на правата  .

 Позиции на центрите

мини|Кружници што се тангентни на две кружници
Ако  е центарот и  радиусот на кружницата која е тангентна на дадените кружници во точките , тогаш:




Оттука: центрите на кружниците кои допираат две дадени кружници лежат на хипербола

 со фокуси 
 растојание меѓу темињата   
 со центар  кој е средишната точка на  ,
 линеарен ексцентрицитет  и 
   .

Размислувањата за надворешните тангентни кружници водат до аналогниот резултат:

Ако  е центарот и  радиусот на кружницата која е тангентна на дадените кружници во точките , тогаш:




Центрите лежат на истата хипербола, но на десната гранка.

Видете го, исто така, проблемот на Аполониј.
мини|Степен на точка во однос на сфера

 Степен во однос на сфера 
Идејата за степен на точка во однос на кружница може да се прошири на сфера. Теоремите за секантите и за тетивите се точни и за сфера и можат да се докажат буквално како во случајот со кружница.

 Производ на Дарбу 
Степенот на точка е посебен случај на Дарбуовиот производ помеѓу две кружници, кој е дефиниран соPierre Larochelle, J. Michael McCarthy:Proceedings of the 2020 USCToMM Symposium on Mechanical Systems and Robotics, 2020, Springer-Verlag, , p. 97



каде што  и  се центрите на двете кружници, а  и  се нивните радиуси. Степенот на точката произлегува во посебниот случај кога еден од радиусите е еднаков на нула.

Ако двете кружници се ортогонални, Дарбуовиот производ е нула.

Ако двете кружници се сечат, тогаш нивниот Дарбуов производ е



каде што φ е аголот на пресек (видете го делот ортогонална кружница).

 Лагерова теорема 
Лагер го дефинирал степенот на точката  во однос на алгебарска крива со степен  како збир од растојанијата од точката до пресеците на кружница низ точката со кривата, поделен со -тиот степен на дијаметарот . Лагер покажал дека овој број е независен од дијаметарот (). Во случај кога алгебарската крива е кружница, ова не е сосема исто како степенот на точка во однос на кружница дефиниран на почетокот од овој текст, туку се разликува од него за фактор 

 Наводи 

 Литература 






 .

 .



 Надворешни врски 

 Јакоб Штајнер и моќта на точката при конвергенција 

 Power of a Point Theorem at cut-the-knot
 Pythagorean Theorem (Proof #22) at cut-the-knot
 Intersecting Chords Theorem at cut-the-knot
 Intersecting Chords Theorem With interactive animation
 Intersecting Secants Theorem With interactive animation

Категорија:Аналитичка геометрија
Категорија:Планиметрија
Категорија:Статии со извори на германски (de)