Теорема на Помпеју

десно|мини
Теоремата на Помпеју е резултат во рамнинската геометрија. Му припаѓа на романскиот математичар Димитрие Помпеју. Теоремата е едноставна, но не е класична. Таа гласи:

 За даден рамностран триаголник ABC и точка P во рамнината на триаголникот, со отсечките PA, PB и PC може да се формира триаголник (кој може да е и дегенериран).Titu Andreescu, Razvan Gelca: Mathematical Olympiad Challenges. Springer, 2008, , pp. 4-5

мини|Доказ за теоремата на Помпеју со триаголникот на Помпеју 
Доказот е краток. Да ја разгледаме ротацијата за  околу точката . Да претпоставиме дека  се пресликува во  а  се пресликува во . Важи дека , и  па триаголникот  е рамностран и . Затоа . Така, триаголникот  има страни еднакви на PA, PB и PC и доказот со конструкција е завршен (видете го цртежот).

Понатамошните истражувања покажуваат дека ако P не е во внатрешноста на триаголникот, туку на неговата опишана кружница, тогаш  формираат дегенериран триаголник, при што најголемата отсечка е еднаква на збирот на другите две; овој резултат е познат и како теорема на Ван Шутен.

Општо земено, за точката P и должините на нејзините растојанија до темињата на рамностран триаголник -  и  се формираат два рамнострани триаголника (поголем и помал) со страни  и  дефинирани со:

 .

Симболот △ ја означува плоштината на триаголникот чии страни имаат должини  

Помпеју ја објавил теоремата во 1936 година; меѓутоа, Август Фердинанд Мебиус веќе објавил поопшта теорема за четири точки во Евклидовата рамнина во 1852 година. Во овој труд, Мебиус, исто така, ја извел изјавата за Помпејуова теорема експлицитно како посебен случај на неговата поопшта теорема. Поради оваа причина, теоремата е позната и како теорема Мебиус-Помпеју.

 Надворешни врски 

 Страницата на MathWorld за Помпејовата теорема
 Теоремата на Помпеју на cut-the-knot.org

 Белешки 

Категорија:Теореми за триаголници и кружници
Категорија:Елементарна геометрија