Лежандрова функција

Во физичките науки и математиката, Лежандровите функции , ; придружените Лежандрови функции ,  и Лежандровите функции од втор вид, , се решенија на Лежандровата диференцијална равенка. Лежандровите полиноми и придружените Лежандрови полиноми се исто така решенија на диференцијалната равенка во посебни случаи, кои, бидејќи се полиноми, имаат голем број дополнителни својства, математичка структура и примени.
мини|500x500пкс|Поврзани криви на Лежандров полином за  .

 Лежандровата диференцијална равенка 
Општата равенка на Лежандр е дадена со:

каде  и  може да бидат комплексни, и се нарекуваат степен и ред на дадената функција, соодветно. Решенијата на полиномите кога  е цел број (означено ) и  се Лежандровите полиноми . Во случај кога  е цел број (означено со ) и  е исто така цел број со  се придружените Лежандрови полиноми. Сите други случаи на  и  може да се дискутираат како еден, а решенијата се запишуваат како ,  . Доколку , горниот индекс се изоставува и се пишува само ,  . Сепак, решението  кога  е цел број често се дискутира одделно како Лежандрова функција од втор вид и се означува со .

Станува збор за линеарна равенка од втор ред со три правилни сингуларни точки (на ,  и ). Како и сите останати равенки од овој вид, и оваа може да се трансформира во хипергеометриска диференцијална равенка со промена на променливата, а нејзините решенија може да се изразат со употреба на хипергеометриски функции.

 Решенија на диференцијалната равенка 
Затоа што диференцијалната равенка е линеарна, хомогена (десната страна е еднаква на нула) и од втор ред, таа има две линеарно независни решенија. Овие решенија може да се изразат преку хипергеометриската функција . Првото решение е дадено со:ж

 а втората е 

каде   е гама функцијата.
алт=Plot of the Legendre function of the second kind Q n(x) with n=0.5 in the complex plane from -2-2i to 2+2i with colors created with Mathematica 13.1 function ComplexPlot3D|мини|График на Лежандровата функција од втор вид Q n(x) со n=0.5 во комплексната рамнина од -2-2i до 2+2i со бои креирани со функцијата Mathematica 13.1 ComplexPlot3D
Горенаведените функции се општо познати како Лежандрови функции од прв и втор вид на нецел број, со дополнителен квалификатор „поврзан“ ако  е различен од нула. Корисна релација помеѓу решенијата на  и  е Випловата формула.

 Лежандрови функции од втор вид (  ) 
мини|384x384пкс|График на првите пет Лежандрови функции од втор вид.
Неполиномното решение за специјалниот случај на целоброен степен  и , честопати се разгледува одделно од останатите. Ваквото решение е дадено е со:

Ова решение е сингуларно кога  .

Споменатите Лежандрови функции од втор вид е можно да се дефинираат и рекурзивно преку Бонеовата рекурзивна формула, односно:

 Придружни Лежандрови функции од втор вид 
Неполиномното решение за специјалниот случај на целоброен степен  и  е дадено со следниот израз:

 Интегрални претставувања 
Лежандровите функции можат да се напишат како контурни интеграли, односно: 

каде контурата се затвора околу точките  и  во позитивна насока и не се затвора околу точката . За реални , се добива:

Категорија:Математички фунции