Метод на Фробениус

Во математиката, методот на Фробениус, (Фердинанд Георг Фробениус), е начин на барање решение во облик бесконечен ред на една линеарна обична диференцијална равенка од втор ред од обликот:



со  и  .

во близина на регуларната сингуларна точка .

Ако се подели со , се добива диференцијална равенка од обликот:

што не може да се реши со методи на регуларни степенски низи ако  или  не е аналитичка во . Методот на Фробениус овозможува добивање на решение од степенски низи за таква диференцијална равенка, под услов p (z) и q (z) да се аналитички на 0 или, бидејќи се аналитички на друго место, двете нивни граници на 0 постојат (и се конечни).

 Објаснување 
Со методот на Фробениус се бара решение за степенски низи од обликот:

Со диференцирање: 

Заменувајќи ја горенаведената диференцијација во нашата оригинална ОДР: 

Изразот:

е познат како индициски полином, кој е квадратен по r . Општата дефиниција на индицискиот полином е дека тој е коефициентот на најмалиот степен на z во бесконечниот ред. Во овој случај тоа е r -тиот коефициент, но можно е најнискиот можен степен да биде r. − 2, р − 1 или нешто друго во зависност од дадената диференцијална равенка. Овој детаљ е важно да се има предвид. Во процесот на синхронизирање на сите редови на диференцијалната равенка да започнуваат со истата индексна вредност (што во горенаведениот израз е к = 1), може да се добијат комплицирани изрази. Сепак, при решавање на индициските корени, вниманието се насочува само на коефициентот на најмалиот степен на z .

Со користење на ова својство, за општиот израз на коефициентот на  се добива:

Овие коефициенти мора да бидат еднакви на нула, бидејќи треба да бидат решенија на диференцијалната равенка. Затоа:

Решението на редот со :

 го задоволува изразот: 

Ако се избере еден од корените на индицискиот полином, се добива едно решение на диференцијалната равенка. Ако разликата помеѓу корените не е цел број, се добива друго линеарно независно решение користејќи го другиот корен.

 Пример 
Се разгледува равенката:

Ако се подели со z^2, може да се добие;



што ја има потребната сингуларност кај z = 0.

Користејќи го решението на редот:

Со замена: 

Од  се добива двоен корен. Користејќи го овој корен, коефициентот на  се поставува да е еднаков на нула (за да биде решение), што дава: 



од каде се добива рекурентната релација:

Со дадени почетни услови, можеме или целосно да се реши рекурентноста или да се добие решение во форма на степенски низи.

Бидејќи односот на коефициентите  даварационална функција, степенскиот ред може да се запише како генерализиран хипергеометриски ред.
Категорија:Обични диференцијални равенки