Група (математика)

Група — алгебарска структура што се состои од множество заедно со бинарна операција која е асоцијативна, има неутрален елемент и за секој елемент во множеството има инверзен елемент.

Групата е една од најраспространетите структури во математиката. Често се појавува во контекст на симетрии, но има и други примени. Целите броеви  заедно со операцијата собирање претставуваат група.

 Дефиниција 
Една група е множество  заедно со операција , така што:
 операцијата е асоцијативна, т.е. за секои . 
 постои елемент , така што  за секој , наречен неутрален елемент
 за секој елемент  постои елемент , така што , наречен инверзен елемент. Овој елемент обично се означува со .

Една група се нарекува Aбелова (по норвешкиот математичар Абел) или комутативна, ако за сите  важи .

Кардиналитетот на множеството на една група се нарекува ред на групата. Една група се нарекува конечна ако нејзиното множество е конечно.

Често  се испушта и наместо  пишуваме .

Неутралниот елемент во една група е единствен. Нека  е уште еден неутрален елемент. Тогаш , бидејќи  е неутрален елемент. Но исто така , бидејќи  е неутрален елемент. Од тоа следи дека .

Исто така и инверзниот елемент на еден елемент е единствен. Нека  се инверзени елементи на . Тогаш .

Третото барање може да се олабави: Доволно е да са претпостави дека секој елемент има десен (или симетрично лев) инверзен елемент. Нека е  десен инверзен елемент на . Тогаш и  има десен инверзен елемент . Исто како горе важи . Ова значи дека  е инверзен елемент на  (од двете страни).

 Примери 
 Цели броеви 
Целите броеви заедно со обичното собирање претставуваат Абелова група.

 Тривијална група 
Множеството  заедно со единствената можна операција  сочинуваат Абелова група.

 Симетрична група 
Нека  е произволно множество и нека  е множеството на сите инвертибилни функции . Тогаш  е група заедно со композиција на функции. Голем број на групи настануваат на сличен начин со додавање на дополнителни рестрикции на функциите.

Ако , тогаш пишуваме  и ја нарекуваме оваа група -та симетрична група.

 Литература 


Категорија:Теорија на групите
Категорија:Апстрактна алгебра