Категорија (математика)

Во математиката, поточно теоријата на категории, една категорија се состои од објекти заедно со морфизми или стрелки меѓу нив, така што секои два морфизми чии целен и почетен објект се совпаѓаат можат да бидат компонирани. Композицијата на морфизми е асоцијативна и секој објект има идентитетски морфизам.

Примери за категории се:
 векторските простори над едно поле заедно со хомоморфизми на векторски простори
 Групите заедно со хомоморфизми на групи
 Тополошките простори заедно со непрекинати функции

Категориите служат како обопштување на случајот каде објектите се посебни структури и морфизмите се функции меѓу нив кои ја запазуваат таа структура, но голем број на примени вклучуваат и категории кои не се од овој вид.

Категориите нудат елегантен јазик за формулиање на голем дел од модерната математика и затао наоѓаат се повеќе и повеќе и примени во разни потгранки.

 Дефиниција 
Една категорија  се состои од
 колекција на објекти 
 колекција на морфизми 
така што
 секој морфизам  има домен  и кодомен ; тогаш пишуваме 
 за сите морфизми  така што кодоменот на  е еднаков со доменот на  постои компониран морфизам  чиј домен е доменот на  и чиј кодомен е кодоменот на ;
 за секој објект  постои морфизам , т.н. идентитетски морфизам. 
Една категорија ги исполнува следниве аксиоми:
 композицијата на морфизми е асоцијативна, т.е.  за сите морфизми  кои што можат да се компонираат
 за секој морфизам  важи .

 Мала и локално мала категорија 
Една категорија се нарекува мала ако сите нејзини морфизми сочинуваат множество. Бидејќи секој објект  дава морфизам , исто така и објектите во една мала категорија сочинуваат множество.

Една категорија се нарекува локално мала ако морфизмите меѓу секои два објекти сочинуваат множество. 

 Hom-множество 
Во локално мала категорија, за секои два објекти  во , со ,  или  го означуваме множеството на морфизми меѓу  и . Ваквите множества се нарекуваат Hom-множества.

 Примери 

 Конкретни категории 

 е категоријата чии објекти се множествата а чии морфизми се функции (на множества).

Нека  е поле. Со  ја означуваме категоријата чии објекти се векторските простори над  и чии морфизми се хомоморфизми меѓу векторски простори. 

Категоријата  ги има групите како објекти и како морфизми хомоморфизмите на групи.

Категоријата  ги има како објекти тополошките простори и како морфизми непрекинатите функции.

 Апстрактни категории 
Нека  е (делумно) подредено множество. Ја дефинираме категоријата  чии објекти се елементите на , а меѓу секои два објекти  има точно еден морфизам  ако и само ако  и нема морфизам  ако и само ако не важи . Идентитетските морфизми постојат поради рефлексивноста а композицијата е добро дефинирана поради транзитивноста на релацијата .

Нека  е група. Тогаш ја дефинираме категоријата  која има само еден објект  а чии морфизми  се сите елементи на групата . Композицијата на два морфизми е дадена преку опрецијата во групата . Оваа категорија е пример за групоид.

 Конструкции на нови категории 

 Спротивна категорија 
Нека  е категорија. Категоријата , чии објекти се објектите од  така што  (т.е. чии морфизми се морфизмите во спортива насока од ) се нарекува спротивната категорија на категоријата .

Контраваријантаните функтори од една категорија  во категорија  се во бијективна кореспонденција со коваријантните функторите .

 Продуктна категорија 
Нека  се категории. Продуктната категорија  е категоријата:
 чии објекти се подредените парови  од објекти  од  и  од ;
 чии морфизми се продедените парови  на морфизми  од  и  од ;

Композицијата на морфизми е компонентна, т.е.  за морфизми  од  и морфизми  од  кои можат да бидат компонирани.

Еден бифунктор од категории  и  во категорија  е функтор .

 Видови морфизми 
Еден морфизам  во енда категорија  се нарекува: 
 мономорфизам ако за од  следи  за сите соодветни морфизми .
 епиморфизам ако за од  следи  за сите соодветни морфизми .
 ретракција ако има десен инверзен морфизам, т.е. постои морфизам  така што .
 секција ако има лев инверзен морфизам, т.е. постои морфизам  така што .
 изоморфизам ако има инверзен морфизам, т.е. постои морфизам  така што .
 ендоморфизам ако .
 автоморфизам ако е ендоморфизам и изоморфизам.

 Видови објекти  

 Иницијален објект 
Еден објект  во една категорија  се нарекува иницијален ако за секој објект  постои еден и само еден морфизам .

 Терминален објект 
Еден објект  во една категорија  се нарекува терминален ако за секој објект  постои еден и само еден морфизам . Еден објект е финален ако и само ако истиот е иницијален во спротивната категорија.

 Нулов објект 
Еден објект кој што е и иницијален и терминален се нарекува нулов објект. Нуловиот објект во една категорија е единствен до изоморфија со единствен изоморфизам меѓу секои два нулови објекти. 

 Поврзано 

 Збогатена категорија
 Кванталоид
 Простор (математика)
 Структура (математика)

 Литература 


Категорија:Математика