Функтор

Функтор - пресликување помеѓу две категории кој што објектите и морфизмите на едната категорија ги испраќа кон објекти и морфизми во другата категорија. Притоа истиот пресликува компонирани морфизми во компонирани морфизми и идентитетски морфизми во соодветните идентитетски морфизми. Функтори кои ја зачувуваат насоката на морфизмите се нарекуваат коваријантни, а тие што ја свртуваат контраваријантни.

Функторијалноста е важен концепт во математиката бидејќи истата овозможува претворање на прашања во врско со еден вид објекти во прашања за друг вид на објекти (кои се општо полесни или попознати).

 Дефиниција 
Нека  се категории. 

Еден (коваријантен) функтор  испраќа:
 објекти  од  кон објекти  од ;
 морфизми  кон морфизми ,
така што:
 Идентитетски морфизми  се пресликуваат во идентитетски морфизми 
 за сите морфизми  од  кои што можат да се компонираат важи .

Еден контраваријантен функтор  испраќа:
 објекти  од  кон објекти  од ;
 морфизми  кон морфизми ,
така што:
 Идентитетски морфизми  се пресликуваат во идентитетски морфизми 
 за сите морфизми  од  кои што можат да се компонираат важи .

Разликата меѓу ко- и контраваријантни функтори е во тоа што морфизам  во  
 од коваријантен функтор се испраќа кон морфизам 
 од контраваријантен функтор се испраќа кон морфизам .
Оваа разлика исто така се одликува во редоследот на композицијата по наменувањето на функторот.

Ако не е наведена варијантоста на еден функтор (т.е. дали е ко- или контраваријантан) се претпоставува дека истиот е коваријантен.

 Примери 
 Идентитетски функтор  
Нека  е категорија. Функторот  кој го пресликува секој објект и секој морфизам во сам себе си се нарекува идентитетски функтор. 

 Заборавлив функтор 
Функторот од една категорија чии објекти се множества со посебна структура и чии морфизми се посебни функции на множества (како  итн.), кој го испраќа секој објект кон подлежното множество и секој морфизам кон подлежната функција се нарекува заборавлив функтор. Ваков функтор ја „заборавува“ дополнителната структура од првичната категорија.

 Слободен функтор 
Функторот , кој едно можество  го испраќа кон слободната група над , т.е. групата чии елементи се конечни формални линеарни комбинации на елементите од  заедно со операцијата собирање, се нарекува слободниот функтор од  во . Овој функтор е т.н. лев адјунктен функтор на погореспоменатиот заборавлив функтор.

 Дуален функтор 
Дуалниот функтор е контраваријантиот функтор  кој испраќа:
 еден векторски простор  кон својот дуален простор ;
 еден хомоморфизам  кон хомоморфизмот  така што  (дуален хомоморфизам). 

 Претсноп 

Нека  е тополошки простор. Ја дефинираме категоријата  чии објекти се отворените подможества во , така што постои точно еден морфизам  меѓу две отворени подможества  ако и само ако , а во другиот случај не постои таков морфизам.

Еден претсноп (на множества) над  е контраваријантен функтор .
 Литература