Аналитичка механика

Во теоретската физика и математичката физика, аналитичката механика или теоретската механика е збирка на тесно поврзани формулации на класичната механика . Аналитичката механика користи скаларни својства на движењето што го претставува системот како една целина - обично со кинетичка енергија и потенцијалната енергија . Равенките на движење се изведени од скаларната количина според некои основни принципи за варијацијата на скаларот.

Аналитичката механика била развиена од многу различни научници и математичари во текот на 18 век и понатаму, по Њутновата механика . Њутновата механика ги разгледува векторските количини на движење, особено забрзувањата, моментите, силите на составните делови на системот; може да се нарече и векторска механика .  Скаларот е количина, додека векторот е претставен со количина и насока. Резултатите од овие два различни пристапи се еквивалентни, иако се слични, пристапот на аналитичката механика има многу предности за сложени проблеми.

Аналитичка меџаникаа ги користи предностите на ограничувањата на системот за да решава проблеми. Ограничувањата се однесуваат на степените на слобода што може да ги има системот и може да се користат за да се намали бројот на координати потребни за решавање на движењето. Формализмот е добро прилагден на произволни избори на координати, познати во контек т како генерализирани координати . Кинетичката и потенцијалната енергија на системот се изразуваат со помош на овие генерализирани координати или моменти, а равенките на движење можат лесно да се постават, така што аналитичката механика дозволува бројни механички проблеми да се решат со поголема ефикасност од колкуцсо елосно векторските методи. Не секогаш функционира за неконзервативни сили или за дисипативни сили како триењето, во кој случај може да се вратиме на Њутновата механика.

Две доминантни гранки на аналитичката механика се Лагранжовата механика (со користење на генерализирани координати и соодветните генерализирани брзини во конфигурацискиот простор ) и Хамилтоновата механика (користејќи координати и соодветни моменти во фазниот простор ). Двете формулации се еквивалентни со трансформација на Лежандре на генерализираните координати, брзини и моменти; затоа и двете ги содржат истите информации за опишување на динамиката на системот. Постојат и други формулации како што се теоријата на Хамилтон-Јакоби, рутиската механика и Апеловата равенка на движење . Сите равенки на движење за честички и полиња, во секој формализам, може да се изведат од широко применливиот резултат наречен принцип на најмало дејство . Еден резултат е Нотеровата теорема, изјава која ги поврзува законите за зачувување со нивните поврзани симетрии .

Аналитичката механика не воведува нова физика и не е поопшта од Њутновата механика. Наместо тоа, тоа е збирка на еквивалентни формализми кои имаат широка примена. Всушност, истите принципи и формализми може да се користат во релативистичката механика и општата релативност, а со некои модификации, квантната механика и квантната теорија на полето .

Методите на аналитичката механика се применуваат на дискретни честички, секоја со конечен број на степени на слобода. Тие можат да се модифицираат за да опишат континуирани полиња или течности, кои имаат бесконечни степени на слобода. Дефинициите и равенките имаат блиска аналогија со оние на механиката.

Мотивација за аналитичка механика

Целта на механичката теорија е да ги реши механичките проблеми, како што се појавуваат во физиката и инженерството. Почнувајќи од физички систем - како што е механизам или ѕвезден систем - математички модел се развива во форма на диференцијална равенка. Моделот може да се реши нумерички или аналитички за да се одреди движењето на системот.

Њутновиот векторски пристап кон механиката го опишува движењето со помош на векторски величини како што се сила, брзина, забрзување . Овие количини го карактеризираат движењето на телото идеализирано како „точка на маса“ или „ честичка “ сфатена како единствена точка на која е прикачена маса. Методот на Њутн е успешно применет за широк опсег на физички проблеми, вклучувајќи го и движењето на честичката во гравитационото поле на Земјата и движењето на планетите околу Сонцето. Во овој пристап, Њутновите закони го опишуваат движењето со диференцијална равенка и потоа проблемот се сведува на решавање на таа равенка.

Меѓутоа, кога механичкиот систем содржи многу честички (како сложен механизам или течност ), Њутновиот пристап е тешко да се примени. Користењето на Њутновиот пристап е можно, под соодветни мерки на претпазливост, имено изолирање на секоја поединечна честичка од другите и одредување на сите сили што дејствуваат на неа. Таквата анализа е гломазна дури и во релативно едноставни системи. Њутн мислеше дека неговиот трет закон „дејството е еднакво на реакцијата“ ќе се погрижи за сите компликации. Ова е неточно дури и за таков едноставен систем како што се ротации на цврсто тело . Во покомплицирани системи, векторскиот пристап не може да даде соодветен опис.

Аналитичкиот пристап ги поедноставува проблемите со третирање на механичките системи како ансамбли на честички кои комуницираат едни со други, наместо да ја разгледува секоја честичка како изолирана единица. Во векторскиот пристап, силите мора да се одредат поединечно за секоја честичка, додека во аналитичкиот пристап доволно е да се знае една единствена функција која ги содржи имплицитно сите сили што дејствуваат на и во системот. Таквото поедноставување често се прави со користење на одредени кинематички услови кои се наведени априори . Сепак, аналитичкиот третман не бара познавање на овие сили и ги зема здраво за готово овие кинематички услови. 

Сепак, изведувањето на равенките на движење на комплициран механички систем бара обединувачка основа од која тие следат.Не е сосема јасно што се подразбира под „решавање“ на множество диференцијални равенки. Проблемот се смета за решен кога координатите на честичките во времето t се изразени како едноставни функции на t и на параметрите што ги дефинираат почетните позиции и брзини. Меѓутоа, „простата функција“ не е добро дефиниран концепт: во денешно време, функцијата f ( t ) не се смета за формален израз во t ( елементарна функција ) како во времето на Њутн, туку најопшто како количина одредена од t, и не е можно да се повлече остра линија помеѓу функциите „едноставни“ и „не едноставни“. Ако се зборува само за „функции“, тогаш секој механички проблем се решава веднаш штом е добро наведен во диференцијални равенки, бидејќи со оглед на почетните услови и t ги одредуваат координатите на t . Ова е факт особено во моментов со современите методи на компјутерско моделирање кои обезбедуваат аритметички решенија за механички проблеми до кој било посакуван степен на точност, при што диференцијалните равенки се заменуваат со равенки за разлика . Ова е обезбедено од различни принципи на варијација : зад секое множество равенки постои принцип кој го изразува значењето на целото множество. Со оглед на основната и универзална величина наречена акција, принципот дека ова дејство е неподвижно при мала варијација на некоја друга механичка величина го генерира потребниот сет на диференцијални равенки. Изјавата на принципот не бара некој посебен координатен систем, а сите резултати се изразени во генерализирани координати . Ова значи дека аналитичките равенки на движење не се менуваат при координатна трансформација, својство на непроменливост што недостасува во векторските равенки на движење. 

Не е сосема јасно што се подразбира под „решавање“ на множество диференцијални равенки. Проблемот се смета за решен кога координатите на честичките во времето t се изразени како едноставни функции на t и на параметрите што ги дефинираат почетните позиции и брзини. Меѓутоа, „простата функција“ не е добро дефиниран концепт: во денешно време, функцијата f (t) не се смета за формален израз во t ( елементарна функција ) како во времето на Њутн, туку најопшто како количина одредена од t, и не е можно да се повлече остра линија помеѓу функциите „едноставни“ и „не едноставни“. Ако се зборува само за „функции“, тогаш секој механички проблем се решава веднаш штом е добро наведен во диференцијални равенки, бидејќи со оглед на почетните услови и t ги одредуваат координатите на t . Ова е факт особено во моментов со современите методи на компјутерско моделирање кои обезбедуваат аритметички решенија за механички проблеми до кој било посакуван степен на точност, при што диференцијалните равенки се заменуваат со равенки за разлика .

Сепак, иако нема прецизни дефиниции, очигледно е дека проблемот со две тела има едноставно решение, додека проблемот со три тела нема. Проблемот со две тела се решава со формули кои вклучуваат параметри; нивните вредности може да се променат за да се проучува класата на сите решенија, односно математичката структура на проблемот. Згора на тоа, може да се направи точна ментална или нацртана слика за движењето на две тела и може да биде исто толку реална и точна како што се движат и комуницираат вистинските тела. Во проблемот со три тела, на параметрите може да им се доделат и специфични вредности; сепак, решението на овие доделени вредности или збирката од такви решенија не ја открива математичката структура на проблемот. Како и во многу други проблеми, математичката структура може да се разјасни само со испитување на самите диференцијални равенки.

Аналитичката механика има за цел уште повеќе: не да ја разбере математичката структура на еден механички проблем, туку онаа на класа на проблеми толку широки што опфаќаат поголем дел од механиката. Се концентрира на системи на кои се применливи Лагранжовите или Хамилтоновите равенки на движење и кои навистина вклучуваат многу широк опсег на проблеми. 

Развојот на аналитичката механика има две цели: (i) зголемување на опсегот на решливи проблеми преку развивање стандардни техники со широк опсег на применливост и (ii) разбирање на математичката структура на механиката. Меѓутоа, на долг рок, (ii) може да помогне (i) повеќе од концентрација на конкретни проблеми за кои методите се веќе дизајнирани.

Внатрешно движење

Генерализирани координати и ограничувања

Во Њутновата механика, вообичаено се користат сите три Декартови координати, или друг 3Д координатен систем, за да се осврне на положбата на телото за време на неговото движење. Во физичките системи, сепак, некоја структура или друг систем обично го ограничува движењето на телото од преземање одредени насоки и патишта. Така, целосен сет на Декартови координати често е непотребен, бидејќи ограничувањата ги одредуваат еволуирачките односи меѓу координатите, кои односи може да се моделираат со равенки што одговараат на ограничувањата. Во Лагранжовиот и Хамилтонов формализам, ограничувањата се инкорпорирани во геометријата на движењето, намалувајќи го бројот на координати на минимумот потребен за моделирање на движењето. Овие се познати како генерализирани координати, означени q i ( i = 1, 2, 3...). Kibble, Tom, and Berkshire, Frank H. "Classical Mechanics" (5th Edition). Singapore, World Scientific Publishing Company, 2004. 

 Поврзано 
Лагранжова механика
Хамилтонова механика
Теориска механика
Класична механика
Хамилтон-Јакобиева равенка
Хамилтоново начело
Кинематика
Кинетика (физика)
Неавтономна механика

 Наводи 

 Надворешни врски 

Категорија:Математичка физика
Категорија:Динамички системи