Ердеш-Морделово неравенство

Во Евклидовата геометрија, Ердеш-Морделовото неравенство вели дека за секој триаголник  и точка  во неговата внатрешност, збирот на растојанијата од  до страните на триаголникот е помал или еднаков на половината од збирот на растојанијата од P до темињата на триаголникот. Ова неравенство е именувано по Пал Ердеш и Луис Мордел.  го поставил проблемот, а доказот го дале Мордел и Д. Ф. Бароу (1935) две години подоцна. Но, ова решение не било многу елементарно. Последователни поедноставни докази биле дадени од ,  и .

Неравенството на Бароу е зајакната верзија на неравенството на Ердеш-Мордел во која растојанијата од  до страните се заменети со растојанијата од  до точките во кои симетралите на аглите на ∠APB, ∠BPC и ∠CPA ги сечат страните. Иако заменетите растојанија се подолги, нивниот збир сепак е помал или еднаков на половина од збирот на растојанијата до темињата.

 Формулација 
десно|мини|Ердеш-Морделово неравенство (Erdős–Mordell)
Нека  е произволна точка во даден триаголник , и нека ,  и  се нормалите од  кон страните на триаголникот. (Ако триаголникот е тапоаголен, една од овие нормали може да пресече друга страна на триаголникот и да заврши на потпорната права која содржи една од страните.) Тогаш неравенството гласи



 Доказ 
Нека страните на  се:  - наспроти темето   - наспроти темето  и  - наспроти темето  Исто така, нека  Прво,  докажуваме дека



што е еквивалентно на



Десната страна е еднаква на плоштината на триаголникот  На левата страна збирот  не е помал од висината на триаголникот. Следствено, левата страна не може да биде помала од десната страна. Сега, ја пресликуваме точката  симетрично во однос на симетралата на аголот при темето  Гледаме дека  за сликата (рефлексијата) на  Слично се покажува дека  и  Ги решаваме овие неравенки по  и 





Се собираат трите неравенки и добиваме



Бидејќи збирот на позитивен број и неговиот реципрочен број е најмалку 2, заради неравенството помеѓу аритметичката и геометриската средина, доказот е завршен. Еднаквост важи само за рамностран триаголник, каде што  е неговиот центар.

 Појака верзија 
Нека  е триаголник впишан во кружница  и  е точка во триаголникот  Нека  се ортогоналните проекции на  врз  редоследно. Нека  се ортогоналните проекции на  врз тангентите на  во  соодветно. Tогаш:



Eднаквост важи ако и само ако триаголникот  е рамностран ( ;  )

 Обопштувањe 
Нека  е конвексен многуаголник и  е точка од внатрешноста на . Нека  е растојанието помеѓу  и темето ,  е растојанието од  до страната ,  е отсечката на симетралата на аголот  од  до нејзиниот пресек со страната , тогаш ():



 Во апсолутна геометрија 
Во апсолутната геометрија, Ердеш-Морделовото неравенство е еквивалентно, што е докажано во , на ставот дека збирот на аглите во триаголник е помал или еднаков на два прави агли.

 Поврзано 
 Список на неравенства за триаголници

 Наводи 
 .
 .
 .
 .
 .
 .
 .
 .
 .

 Надворешни врски 

 Alexander Bogomolny, "Erdös-Mordell Inequality", from Cut-the-Knot.

Категорија:Неравенства на триаголници