Теорема за симетрала на агол

Теорема за симетрала на агол — теорема што во рамнинската геометрија ги поврзува должините на спротивните страни на аглите со должините на другите две страни на триаголникот: симетралата на аголот на триаголникот ја дели неговата спротивна страна на делови кои се сразмерни со другите две страни.

Во триаголникот ABC, симетралата на внатрешниот агол A треба да ја сече страната a (BC) во точката D. Според теоремата, односот на должините на отсечките BD и DC е еднаков на односот на должините на страните c (AB) и b (AC):



Теоремата важи и за симетралите на надворешните агли.

 Обопштување 
Општо земено, исто така важи дека ако D е произволна точка на страната a (BC), тогаш:



Ако AD е симетрала на аголот BAC, тогаш:



што го дава претходниот необопштен облик на теоремата.

Општиот облик на теоремата се применува и во случај точката D да лежи некаде во продолжение на страната a (BC), надвор од триаголникот, при што мора да се почитува правилната насока на растојанијата (вектори) и аглите.

 Хармонична четворка точки 
десно|мини|252x252пкс| Точките C, B, D и E образуваат хармонична четворка точки
Симетралата на внатрешниот агол со точката D и симетралата на надворешниот агол со точката E ја делат страната BC (a) така што тие образуваат хармонична четворка точки и важи следново:



Множество од сите точки за кои односот на нивните растојанија од две фиксни точки - во овој случај пресеците на страната a (B и C) - е константен (еднаков ):



е Аполониев круг. Тоа е посебен случај за , кога точките лежат на симетралата на растојанието BC, а точката D е средишницата на BC, а соодветната точка E не постои. Односот на растојанието се означува со k или на пр. со обратна вредност ,  .

Категорија:Геометрија на триаголникот
Категорија:Планиметриски теореми
Категорија:Агол
Категорија:Елементарна геометрија