Список на лимеси

Ова е список на лимеси на вообичаени функции како што се елементарните функции. Во оваа статија, поимите a, b и c се константи.

 Лимеси на општи функции 

 Дефиниции на лимеси и сродни концепти 
 ако и само ако  

Ова е (ε, δ)-дефиниција на гранична вредност.

Горниот и долниот лимес на низата се дефинирани како

 и .

За функција, , се вели дека е континуирана во точка, c, ако

 Операции на еден познат лимес 
Ако  тогаш:



   ако L не е еднаков на 0.
  ако n е позитивен цел број   
  ако n е позитивен цел број, а ако n е парен, тогаш L > 0.  

Општо земено, ако g (x) е континуирана во L и  тогаш



 Операции на два познати лимеси 
Ако  и  тогаш:





 Лимеси кои вклучуваат изводи или инфинитиземални промени 
Во овие граници, бесконечно малата промена  често се означува  или . Ако  е диференцијабилна во  ,

 . Ова е дефиницијата за извод. Сите правила за вадење извод, исто така, може да се дефинираат како правила што вклучуваат лимеси. На пример, ако g ( x ) е диференцијабилна во x ,
 . Ова е правило за извод од сложена функција.
 . Ова е правилото за производ.



Ако  и  се диференцијабилни во отворен интервал кој го содржи c, освен можеби самиот c, и , може да се користи Лопиталовото правило:



 Нееднаквости 
Ако  за сите x во интервал кој го содржи c, освен можеби самиот c, и лимесите на  и  постојат во c, тогаш Ако  и  за сите x во отворен интервал кој го содржи c, освен можеби самиот c ,Ова е познато како теорема на стискање.  Ова се однесува дури и во случаите кога f ( x ) и g ( x ) добиваат различни вредности на c, или се дисконтинуирани при c.

 Полиноми и функции во облик xa 



 Полиноми по x 



  ако n е позитивен цел број 


Генерално, ако  е полином тогаш, според континуитетот на полиномите, Ова важи и за рационалните функции, бидејќи тие се континуирани во нивните домени.

 Функции во облик xa 

   Посебно,

 . Посебно,





 Експоненцијални функции 

 Функции во облик ag(x) 

 , поради континуитетот на 




 Функции во облик xg(x) 


 Функции во облик f(x)g(x) 






 . Оваа граница може да се изведе од оваа граница.

 Суми, производи и композити 


  за сите позитивни а. 



 Логаритамски функции 

 Природни логаритми 
 , поради континуитетот на . Посебно,




 . Оваа граница произлегува од Лопиталовото правило.
 , оттука 


 Логаритми на произволни основи 
За b > 1,




За b < 1,




И двата случаи може да се обопштат на:




каде  и  е Хевисајдовата функција

 Тригонометриски функции 
Ако  се изразува во радијани:




И двата овие лимеси произлегуваат од континуитетот на sin и cos.

 .  Или, општо,
 , за не еднаков на 0.

 , за b не е еднакво на 0.



 , за цел број n.
 . Или, општо,
 , за не еднаков на 0.
 , за b не е еднакво на 0.
 , каде што x0 е произволен реален број.
 , каде што d е Дотиев број. x0 може да биде кој било произволен реален број.

 Суми 
Општо земено, секоја бесконечна серија е граница на нејзините парцијални збирови. На пример, аналитичката функција е границата на нејзината Тејлорова серија, во нејзиниот радиус на конвергенција.

 . Ова е познато како хармониска серија.
 . Ова е Ојлер-Маскерониева константа.

 Забележителни посебни граници 

 . Ова може да се докаже со разгледување на нееднаквоста  на .
 . Ова може да се изведе од Виетовата формула за π.

 Ограничувачко однесување 

 Асимптотски еквиваленции 
Асимптотските еквиваленции, , се вистинити ако . Затоа, тие исто така може да се преформулираат како лимеси. Некои значајни асимптотски еквиваленции се:

 , поради теоремата за прости броеви, , каде π(x) е функција на распределба на простите броеви.
 , поради Стирлинговата формула, .

 Нотација големо О 
Однесувањето на функциите опишани со ноцаија големо O може да се опише и со лимеси. На пример

  ако 

 Наводи 

Категорија:Функции и пресликувања
Категорија:Математички списоци