Сферичен дизајн

Сферичен дизајн, дел од теоријата на комбинаторниот дизајн во математиката, е конечно множество од N точки на d -димензионалната единица хиперсфера S d така што просечната вредност на кој било полином f од степен t или помал во множеството е еднаква на просекот вредност на f на целата сфера (односно, интегралот на f над S d поделен со плоштината или мерката на S d ). Таквото множество често се нарекува и сферичен t - дизајн за да се означела вредноста на t, што е основен параметар. Концептот на сферичен дизајн се должи на Делсарт, Геталс и Зајдел,  иако овие објекти порано биле сфатени како посебни примери на кубатурни формули.

Сферичните дизајни можат да бидат од вредност во теоријата на апроксимација, во статистиката за експериментален дизајн, во комбинаториката и во геометријата. Главниот проблем е да се најдат примери, дадени d и t, кои не се премногу големи; сепак, може да биде тешко да се дојде до такви примери. Сферичните т-дизајни, исто така, неодамна биле присвоени во квантната механика во форма на квантни т-дизајни со различни апликации во теоријата на квантната информација и квантното пресметување.

 Постоење на сферични дизајни 

Постоењето и структурата на сферични дизајни на кругот беа проучени во длабочина од Хонг.  Набргу потоа, Сејмур и Заславски  докажале дека такви дизајни постојат од сите доволно големи димензии; односно, дадени позитивни цели броеви d и t, постои број N ( d, t ) таков што за секој N ≥ N ( d, t ) постои сферичен t -дизајн на N точки во димензија d. Сепак, нивниот доказ не дал идеја за тоа колку е голем N ( d, t ).

Мимура конструктивно нашол услови во однос на бројот на точки и димензијата што го карактеризираат токму кога постојат сферични 2-дизајн. Колекциите на рамноаголни линии со максимална големина (до идентификација на линиите како антиподални точки на сферата) се примери на сферични 5-дизајни со минимална големина. Постојат многу спорадични мали сферични дизајни; многу од нив биле поврзани со конечни групни дејства на сферата.

Во 2013 година, Бондаренко, Радченко и Виазовска  ја добиле асимптотската горна граница  за сите позитивни цели броеви d и т . Ова асимптотички се совпаѓала со долната граница дадена првично од Делсарт, Геталс и Зајдел. Вредноста на C d засега е непозната, додека точните вредности на  се познати во релативно малку случаи.

Прикажани се докази кои сугерираат дека, во три димензии, сферични

1-дизајни со N точки постојат ако N >= 2 (ова е познато);

2-дизајни со N точки постојат ако N = 4 или >= 6 (ова е познато);

3-дизајни со N точки постојат ако N = 6, 8, >= 10;

4-дизајни со N точки постојат ако N = 12, 14 >= 20;

5-дизајни со N точки постојат ако N = 12, 16, 18, 20 >= 22 ;

6-дизајни со N точки постојат ако N = 24 , 26, >= 28 ;

7-дизајни со N точки постојат ако N = 24 , 30, 32, 34, >= 36 ;

8-дизајни со N точки постојат ако N = 36 , 40, 42, >= 44 ;

9-дизајни со N точки постојат ако N = 48 , 50, 52, >= 54 ;

10-дизајни со N точки постојат ако N = 60 , 62, >= 64 ;

11-дизајни со N точки постојат ако N = 70 , 72, >= 74 ;

12-дизајни со N точки постојат ако N = 84 , >= 86 .

 Поврзано 

 Проблем со Томсон

 Надворешни врски 

 Сферични т-дизајни за различни вредности на N и t може да се најдат претходно пресметани на веб-страницата на Нил Слоун .

 Белешки 

 Наводи 

 .
 .
 . Reprinted in .
 .
 .
http://neilsloane.com/sphdesigns/

Категорија:Алгебра