Проективна геометрија

Во математиката проективната геометрија е делот кој ги проучува геометриските својства кои се непроменливи во однос на проективните трансформации. Ова значи дека, во споредба со елементарната Евклидова геометрија, проективната геометрија има поинаква поставеност, проективен простор и избрано множество на основни геометриски концепти. Основните интуиции се дека проективниот простор има повеќе точки од Евклидовиот простор, за дадена димензија, и дека се дозволени геометриски трансформации кои ги трансформираат дополнителните точки (наречени „точки во бесконечност“) во Евклидови точки, и обратно.

Својствата кои имаат смисла за проективната геометрија се почитуваат со оваа нова идеја за трансформација, која е порадикална во нејзините ефекти отколку што може да се изрази со трансформациона матрица и транслации (афини трансформации). Првото прашање за геометрите е каква геометрија е адекватна за оваа нова ситуација. Не е можно да се зборува за агли во проективната геометрија како што е во Евклидовата геометрија бидејќи аголот е пример за концепт кој не е непроменлив во однос на проективните трансформации, како што се гледа во цртежите на перспективност. Еден извор за проективната геометрија била теоријата за перспективности. Друга разлика од елементарната геометрија е тоа дека паралелните линии се сечат во точка во бесконечност, откако концептот ќе се преведе во термини на проективна геометрија. Повторно, овој поим има интуитивна основа, како што се железничките пруги кои се среќаваат на хоризонтот во перспективен цртеж. Погледнете ја проективната рамнина за основите на проективната геометрија во две димензии.

Додека идеите биле достапни од претходно, проективната геометрија главно била развиена во XIX век. Тука била вклучена теоријата на комплексен проективен простор, во која употребените координати (хомогени координати) се комплексни броеви. Неколку главни типа на поапстрактна математика (вклучително и теоријата на инваријанти, италијанската школа за алгебарска геометрија и Ерлангенската програма на Феликс Клајн која резултираше со проучување на класичните групи) биле мотивирани од проективната геометрија. Исто така, таа беше тема со многу практичари за самата себе, како синтетичка геометрија. Друга тема која се развила од аксиоматските студии на проективната геометрија е конечната геометрија.

Темата проективна геометрија сама по себе сега е поделена на многу истражувачки поттеми, од кои два примера се проективната алгебарска геометрија (проучувањето на проективни сорти) и проективната диференцијална геометрија (проучување на диференцијалните инваријанти на проективните трансформации).

 Преглед 
мини|Основната теорија на проективната геометрија
Проективната геометрија е елементарна неметричка форма на геометријата, што значи дека не се заснова на концептот за растојание. Во две димензии започнува со проучување на конфигурации на точки и прави . Дека навистина постои одреден геометриски интерес за оваа ретка поставеност првпат било утврдено од Дезарг и други во нивното истражување на принципите на перспективната уметност. Во повисокодимензионалните простори се разгледуваат хиперрамнините (кои секогаш се среќаваат) и други линеарни потпростори, кои го покажуваат принципот на дуалност . Наједноставната илустрација на дуалноста е онаа во проективната рамнина, каде исказите „две различни точки одредуваат единствена права“ (т.е. правата која минува низ нив) и „две различни прави одредуваат единствена точка“ (т.е. нивната пресечна точка) ја покажуваат истата структура како искази. Проективната геометрија може да се гледа и како геометрија на конструкции само со линијари со една страна. Бидејќи проективната геометрија ги исклучува конструкциите со примена на шестар, нема кружници, нема агли, нема мерења, нема паралели и нема концепт за релацијата Посредство (или „Помеѓу“). Било увидено дека теоремите кои се применуваат на проективната геометрија се поедноставни искази. На пример, сите различни конусни пресеци се еквивалентни во (комплексната) проективна геометрија, а некои теореми за кружниците може да се сметаат како посебни случаи на овие општи теореми.

Во текот на раниот XIX век, работата на Жан-Виктор Понселе, Лазар Карно и други ја воспостави проективната геометрија како независно поле на математиката. Нејзините ригорозни основи биле поставени од Карл фон Штаут и усовршени од италијанците Џузепе Пеано, Марио Пјери, Алесандро Падоа и Џино Фано кон крајот на XIX век. Проективната геометрија, како и афината и Евклидовата геометрија, може да се развие и од Ерлангенската програма на Феликс Клајн; проективната геометрија се карактеризира со инваријанти при трансформации од проективната група.

Затоа, после многу работа на многу голем број теореми во предметот, основите на проективната геометрија биле разбрани. Структурата на инциденцата и двојниот однос се фундаментални инваријанти при проективните трансформации. Проективната геометрија може да се моделира со афина рамнина (или афин простор) на која ѝ се додава права (хиперрамнина) „во бесконечност“ и потоа таа линија (или хиперрамнина) да се третира како „обична“. Даден е и алгебарски модел за правење на проективна геометрија во стилот на аналитичката геометрија со хомогени координати.  Од друга страна, аксиоматските студии го откриле постоењето на не-Дезаргејски рамнини, примери кои покажуваат дека аксиомите на инциденцата можат да се моделираат (само во две димензии) од структури кои не се достапни за расудување преку хомогени координатни системи.
мини|Мерка за раст и поларните вртлози. Врз основа на работата на Лоренс Едвардс
Во смисла на основите, проективната геометрија и подредената геометрија се елементарни бидејќи вклучуваат минимум аксиоми и може да се користат како основа за афината и Евклидовата геометрија .  Проективната геометрија не е „подредена“  и затоа претставува посебна основа за геометријата.

 Историја 

Првите геометриски својства од проективна природа биле откриени во текот на III век од Пап Александриски. Филипо Брунелески (1404–1472) започнал да ја истражува геометријата на перспективности во текот на 1425 година  (види ја историјата на перспективностите за потемелна дискусија за работата во ликовната уметност која мотивирала голем дел од развојот на проективната геометрија). Јоханес Кеплер (1571–1630) и Жерар Дезарг (1591–1661) независно го развиле концептот на „точка во бесконечност“. Дезарг развил алтернативен начин на конструирање на перспективни цртежи со генерализирање на употребата на исчезнувачките точки за да го вклучи случајот кога тие се бескрајно далеку. Тој направил Евклидова геометрија, каде паралелните линии се навистина паралелни, во посебен случај на сеопфатен геометриски систем. Студијата на Дезарг за конусните пресеци го привлекла вниманието на 16-годишниот Блез Паскал и му помогнала да ја формулира теоремата на Паскал. Делата на Гаспар Монж на крајот на XVIII и почетокот на XIX век биле важни за последователниот развој на проективната геометрија. Работата на Дезарг била игнорирана сè додека Мишел Шасл не наишол на рачно напишана копија во 1845 година. Во меѓувреме, Жан-Виктор Понселе го објавил основниот трактат за проективна геометрија во текот на 1822 година. Понселе ги испитал проективните својства на објектите (инваријантите при централна проекција) и, базирајќи ја својата теорија на конкретната врска меѓу пол и полара во однос на кружница, воспоставил врска помеѓу метричките и проективните својства. На крајот се покажало дека Неевклидските геометрии, откриени набрзо потоа, имаат модели како што е Клајновиот модел на хиперболичен простор, кој се однесува на проективната геометрија.

Во 1855 A.F. Möbius напишал статија за пермутации, сега наречени Мебиусови трансформации, на генерализирани кружници во комплексната рамнина. Овие трансформации претставуваат проективности на комплексната проективна права. Во проучувањето на линиите во вселената, Јулиус Плукер користел хомогени координати во својот опис, а множеството на линии било гледано на квадриката на Клајн, еден од раните придонеси на проективната геометрија на новото поле наречено алгебарска геометрија, гранка на аналитичката геометрија со идеи за проективности.

Проективната геометрија била корисна при потврдувањето на шпекулациите на Лобачевски и Бољаи во врска со хиперболичната геометрија обезбедувајќи модели за хиперболичната рамнина:John Milnor (1982) Hyperbolic geometry: The first 150 years, Bulletin of the American Mathematical Society via Project Euclid на пример, моделот на кругот на Поанкаре каде генерализираните кругови нормални на единичниот круг одговараат на „хиперболични линии“ (геодезиски линии), а „преводите“ на овој модел се опишани со трансформациите на Möbius кои го пресликуваат единичниот круг во самиот себе. Растојанието помеѓу точките е дадено со метриката на Кејли-Клајн, за која се знае дека е непроменлива при транслации бидејќи зависи од двојниот однос, клучна проективна инваријанта. Транслациите се опишуваат различно како изометрии во теоријата на метрички простори, како линеарни фракциони трансформации формално и како проективни линеарни трансформации на проективната линеарна група, во овој случај SU(1, 1) .

Работата на Понселе, Јакоб Штајнер и други не се очекувало да ја прошири аналитичката геометрија. Техниките требало да бидат синтетички: всушност проективниот простор, како што сега се разбира, требало да биде воведен аксиоматски. Како резултат на тоа, преформулирањето на почетните работи во проективната геометрија, такви што ќе ги задоволат тековните стандарди на строгост, можело да биде прилично тешко. Дури и само во случајот со проективната рамнина, аксиоматскиот пристап можел да резултира со модели кои не се опишуваат преку линеарна алгебра .

Овој период во геометријата бил надминат со истражувањето на општата алгебарска крива од страна на Клебш, Риман, Макс Ноетер и други, кои ги прошириле постоечките техники, а потоа и теоријата на инваријанти. Кон крајот на векот, италијанското училиште за алгебарска геометрија (Енрикес, Сегре, Севери) произлегло од традиционалната материја на предметот во област која бара подлабоки техники.

Во доцниот дел на XIX век, деталното проучување на проективната геометрија станало помалку модерно, иако литературата била обемна. Прилично важна работа е направена особено во нумеративната геометрија од Шуберт, за која сега се смета дека ја предвидела теоријата на класите на Черн, земена како претставување на алгебарската топологија на Грасманианците .

Проективната геометрија подоцна се покажала како клучна за изумот на квантната механика на Пол Дирак. На основно ниво, откритието дека квантните мерења би можело да не комутираат го вознемирило и го одвратило Хајзенберг, но минатите проучувања на проективните рамнини над некомутативните прстени веројатно го десензибилизирале Дирак. Во неговите понапредни трудови, Дирак користел обемни цртежи во проективна геометрија за да го разбере интуитивното значење на неговите равенки, пред да ја напише својата главна работа во исклучиво алгебарски формализам.

 [ABC]
 [ADE]
 [AFG]
 [BDG]
 [BEF]
 [CDF]
 [CEG]

Проективната геометрија е помалку рестриктивна од Евклидовата геометрија или од афината геометрија. Тоа е суштински неметрична геометрија, што значи дека фактите се независни од која било метричка структура. При проективните трансформации се зачувува структурата на инциденцата и односот на проективните хармонски конјугати. Проективниот опсег е еднодимензионална основа. Проективната геометрија формализира еден од централните принципи на перспективната уметност: дека паралелните линии се среќаваат во бесконечност, и затоа се цртаат на тој начин. Во суштина, проективната геометрија може да се смета како продолжување на Евклидовата геометрија во која „правецот“ на секоја права е вметнат во правата како дополнителна „точка“ и во која „хоризонтот“ на правците кои одговараат на компланарни прави се смета за „права“. Така, две паралелни прави се сечат во точка на правата на хоризонтот затоа што имаат ист правец.

Идеализираните правци се нарекуваат точки во бесконечност, додека идеализираните хоризонти се нарекуваат прави во бесконечност. За возврат, сите овие прави лежат во рамнината во бесконечност. Сепак, бесконечноста е метрички концепт, така што чисто проективната геометрија не издвојува ниедна точка, права или рамнина во овој поглед - оние објекти во бесконечност се третираат исто како и сите други.

Бидејќи Евклидовата геометрија е содржана во проективната геометрија - со проективна геометрија се таа добива поедноставна основа - општите резултати од Евклидовата геометрија може да се изведат на потранспарентен начин, каде што одделни, но слични теореми на оние од Евклидовата геометрија, може да се користат колективно во рамките на проективната геометрија. На пример, паралелните и непаралелните прави не треба да се третираат како посебни случаи; притоа произволна проективна рамнина се издвојува како идеална рамнина и се наоѓа „во бесконечноста“ со помош на хомогени координати .

Како дополнителни својства од фундаментално значење се теоремата на Дезарг и теоремата на Пап. Во проективни простори со димензија поголема или еднаква на 3  постои конструкција која овозможува да се докаже Дезаргеовата теорема. Но, за димензија 2, таа мора да биде посебно постулирана.

Користејќи ја теоремата на Дезарг, комбинирана со другите аксиоми, можно е геометриски да се дефинираат основните аритметички операции. Новодобиените операции ги задоволуваат аксиомите на поле - освен што за комутативноста на множењето е потребнаПаповата теорема за шестоаголник. Како резултат на тоа, постои бијекција помеѓу точките на секоја права и даденото поле, , дополнето со дополнителен елемент, ∞, така што , , , , , , освен што остануваат , , , ,  и  .

Проективната геометрија, исто така, вклучува целосна теорија на конусни пресеци, тема која исто така е широко развиена во Евклидовата геометрија. Притоа се добиваат одредени предности. На пример, може да се замисли дека хиперболата и елипсата се разликуваат само по начинот на кој хиперболата минува преку линијата во бесконечност, а параболата се разликува само по тоа што е тангента на истата права. Целото семејство од кружници може да се смета како коники кои минуваат низ две дадени точки на правата во бесконечност - по цена да се воведат комплексни координати. Бидејќи координатите не се „синтетички“, може да се заменат со фиксирање на права и две точки на неа, а како основен предмет на проучување се смета линеарниот систем на сите коники кои минуваат низ тие точки. Овој метод се покажал како многу привлечен за талентираните геометри, а темата била темелно проучена. Пример за овој метод е повеќетомниот трактат од Х.Ф. Бејкер .

Постојат многу проективни геометрии, кои може да се поделат на дискретни и непрекинати: дискретната геометрија опфаќа множество од точки, кое може, но не мора да биде конечно по број, додека непрекинатата геометрија има бесконечно многу точки без празнини помеѓу нив.

Единствената проективна геометрија со димензија 0 е една точка. Проективна геометрија со димензија 1 се состои од една права која содржи најмалку 3 точки. Геометриската конструкција на аритметичките операции не може да се изврши во ниту еден од овие случаи. За димензијата 2, постои богата структура поради отсуството на Дезарговата теорема .
мини|Рамнината на Фано е проективна рамнина со најмалку точки и прави.
Најмалата 2-димензионална проективна геометрија (онаа со најмалку точки) е рамнината на Фано, која има 3 точки на секоја права, со 7 точки и вкупно 7 прави, со следниве колинеарности:

со хомогени координати , , , , , , , или, во афини координати, , , , , ,  и . Афините координати во Дезарговата рамнина за точките означени како точки на бесконечност (во овој пример: C, E и G) може да се дефинираат на неколку други начини.

Во стандардна нотација, конечната проективна геометрија е напишана  каде што:

Така, примерот со само 7 точки се означува  .

Терминот „проективна геометрија“ понекогаш се користи за да укаже на генерализираната основна апстрактна геометрија, а понекогаш за да укаже на одредена геометрија од поширок интерес, како што е метричката геометрија на рамен простор која ја анализираме преку употреба на хомогени координати и во која може да биде вградена Евклидовата геометрија (оттука и нејзиното име, Проширена Евклидова рамнина ).

Основното својство по кое се разликуваат сите проективни геометрии е eлиптичката  инциденца, т.е. дека секои две различни прави  и  во проективната рамнина се сечат во точно една точка . Специјален случај во аналитичката геометрија на паралелни прави е содржана во поглатката форма на точка во бесконечност во која  лежи. Според тоа, правата во бесконечност е права како и секоја друга во таа теорија: на никој начин не е специјална ниту пак се издвојува од другите прави. Во подоцнежниот дух на Ерлангенската програма може да се истакне начинот на кој групата од трансформации со кои секоја права може да се преслика во правата во бесконечност.

Паралелните својства на елиптичните, Евклидовите и хиперболичните геометрии се разликуваат на следниов начин:

 За дадена права  и точка  која не е на правата,
 Елиптична
 не постои права низ  која не ја сече 
 Евклидова
 постои точно една права низ  која не ја сече 
 Хиперболична
 има повеќе од една права низ  која не ја сече 

Паралелното својство на елиптичната геометрија е клучната идеја која води до принципот на проективна дуалност, што е можеби најважното својство кое е заедничко за сите проективни геометрии.

 Дуалност (двојност) 
Во 1825 година, Жозеф Жергон го забележал принципот на дуалност кој ја карактеризира геометријата на проективната рамнина: со оглед на која било теорема или дефиниција за таа геометрија, замената на зборовите „точка“ и „права“, „лежи на“ со „минува низ“, „колинеарни“ со „конкурентни“, „се сече со“ со „се спојува со“, и обратно, резултира со друга теорема или валидна дефиниција која е „дуална“ на првата. Слично, во 3 димензии релацијата на дуалност важи помеѓу точките и рамнините, дозволувајќи секоја теорема да се трансформира со замена на термините „точка“ и „рамнина“, „припаѓа на“ и „содржи“ итн. Поопшто, за проективни простори со димензија N, постои двојност помеѓу потпросторите со димензија R и димензијата N−R−1. За N = 2, се добива најпознатата форма на дуалност - онаа помеѓу точките и правите. Исто така, принципот на дуалност независно бил откриен од Жан-Виктор Понселе.

За да се воспостави дуалност потребно е само воспоставување на теореми кои се дуални верзии на аксиомите за димензијата за која станува збор. Така, за 3-димензионални простори, треба да се покаже дека (1*) секоја точка лежи во 3 различни рамнини, (2*) секои две рамнини се сечат во единствена права и дуална верзија на (3*): ако пресекот на рамнините P и Q е копланарна со пресекот на рамнините R и S, тогаш копланарни се и соодветните пресеци на рамнините P и R, Q и S (претпоставувајќи дека рамнините P и S се различни од Q и R).

Во пракса, принципот на дуалност ни овозможува да поставиме двојна кореспонденција помеѓу две геометриски конструкции. Најпознатиот од нив е поларитетот или реципроцитетот на две фигури во коника, (крива) во 2 димензии или квадрика (површина) во 3 димензии. Вообичаен пример се наоѓа во реципроцитетот на симетричен полиедар во концентрична сфера за да се добие дуалниот полиедар.

Друг пример е теоремата на Брианшон, дуалот на веќе споменатата теорема на Паскал, а еден од доказите едноставно се состои од примена на принципот на дуалност на Паскаловата. Ќе наведеме неколку компаративни искази на овие две теореми (во двата случаја во рамките на проективната рамнина):

 Паскал: Ако сите шест темиња на шестоаголник лежат на коника, тогаш пресеците на неговите спротивни страни (се сметаат како прави, бидејќи во проективната рамнина не постои такво нешто како „отсечка“) се три колинеарни точки. Правата која ги спојува се нарекува Паскалова права на шестаголникот.
 Брианшон: Ако сите шест страни на шестаголник се тангентни на коника, тогаш неговите диагонали (т.е. правите кои ги спојуваат спротивните темиња на шестаголникот) се три конкурентни прави. Нивната пресечна точка се нарекува Брианшонова точка на шестаголникот.

 (Ако конуиката дегенерира во две прави, Паскаловата теорема станува теорема на Пап, која нема интересен дуал, бидејќи точката на Бријаншон тривијално станува пресечна точка на двете прави.)

 Аксиоми на проективната геометрија 
Секоја дадена геометрија може да се изведе од соодветен збир на аксиоми . Проективните геометрии се карактеризираат со аксиома за „елиптична паралелност“, т.е. дека секои  две рамнини секогаш се сечат во само една права, или во рамнината, секои две прави секогаш се сечат во точно една точка. Со други зборови, во проективната геометрија не постојат такви работи како паралелни прави или рамнини.

Предложени се многу алтернативни множества на аксиоми за проективна геометрија (види на пример Coxeter 2003, Hilbert & Cohn-Vossen 1999, Greenberg 1980).

 Аксиоми на Вајтхед 
Овие аксиоми се засноваат на Вајтхед, „Аксиоми на проективната геометрија“. Постојат два вида, точки и прави, и една релација „инциденца“ помеѓу точките и правите. Трите аксиоми се:

 G1: Секоја права содржи најмалку 3 точки.
 G2: Секои две различни точки, A и B, лежат на единствена права AB.
 G3: Ако правите AB и CD се сечат, тогаш се сечат и правите AC и BD (при што се претпоставува дека A и D се разликуваат од B и C).

Причината поради која се претпоставува дека секоја права линија содржи најмалку 3 точки е да се елиминираат некои дегенерирани случаи. Просторите кои ги задоволуваат овие три аксиоми или имаат најмногу една права, или се проективни простори со некоја димензија над разделниот прстен, или се не-Дезаргови рамнини .

 Дополнителни аксиоми 
Може да се додадат дополнителни аксиоми кои ја ограничуваат димензијата или координатниот прстен. На пример, во Коксетер во неговата Проективна геометрија, се повикува на Веблен во трите горенаведени аксиоми, заедно со дополнителни 5 аксиоми кои ја прават димензијата 3 и координатниот прстен комутативно поле со карактеристика која не е 2.

 Аксиоми со користење на тернарна (тројна) релација 
Може да се продолжи со аксиоматизација со постулирање на тројна врска, [ABC] за да се означи кога три точки (не сите нужно различни) се колинеарни. Аксиоматизацијата може да се запише и во однос на оваа врска:

 C0: [ABA]
 C1: Ако A и B се две точки такви што [ABC] и [ABD] тогаш [BDC]
 C2: Ако A и B се две точки, тогаш постои трета точка C таква што [ABC]
 C3: Ако A и C се две точки, B и D исто така, со [BCE], [ADE], но не и [ABE] тогаш постои точка F таква што [ACF] и [BDF].

За две различни точки, A и B, правата AB е дефинирана така што се состои од сите точки C за кои [ABC]. Аксиомите C0 и C1 потоа обезбедуваат формализирање на G2; C2 за G1 и C3 за G3.

Концептот на права се генерализира на рамнини и потпростори со повисоки димензии. Така, потпростор AB...XY може рекурзивно да се дефинира преку потпросторот AB... X како оној што ги содржи сите точки од сите прави YZ, каде Z се движи во AB... X. Колинеарноста потоа се генерализира на односот „независност“. Множеството {A, B, ..., Z} од точки е независно, [AB...Z] ако {A, B, ..., Z} е минимално генерирачко подмножество за потпросторот AB... Z.

Проективните аксиоми може да се надополнат со дополнителни аксиоми со кои се поставуваат ограничувања на димензијата на просторот. Минималната димензија се одредува со постоење на независно множество со потребната големина. За најниските димензии, релевантните услови може да се наведат во еквивалентна форма како што следува. Проективниот простор е од:

 (L1) најмалку димензија 0 ако има најмалку 1 точка,
 (L2) најмалку димензија 1 ако има најмалку 2 различни точки (а со тоа и права),
 (L3) најмалку димензија 2 ако има најмалку 3 неколинеарни точки (или две линии, или права и точка што не е на правата),
 (L4) најмалку димензија 3 ако има најмалку 4 некомпланарни точки.

Максималната димензија може да се одреди на сличен начин. За најниските димензии, тие ги добиваат следниве форми. Проективниот простор е од:

 (M1) најмногу димензија 0 ако нема повеќе од 1 точка,
 (M2) најмногу димензија 1 ако нема повеќе од 1 линија,
 (M3) најмногу димензија 2 ако нема повеќе од 1 рамнина,

итн. Општа теорема (последица на аксиомата (3)) е дека сите компланарни прави се сечат - основниот принцип кој требало да се отелотвори со Проективната геометрија. Затоа, својството (M3) е еквивалентно на тоа дека сите прави се сечат една со друга.

Генерално се претпоставува дека проективните простори се со најмалку димензија 2. Во некои случаи, ако фокусот е на проективни рамнини, може да се постулира варијанта на М3. Аксиомите на (Eves 1997: 111), на пример, ги вклучуваат (1), (2), (L3) и (M3). Аксиомата (3) станува секогаш вистинита под (M3) и затоа не е потребна во овој контекст.

 Аксиоми за проективни рамнини 
Во геометријата на инциденца, повеќето автори , , , , , , ,  and  among the references given. даваат третман кој ја опфаќа рамнината на Фано PG(2, 2) како најмала конечна проективна рамнина. Аксиомски систем кој го постигнува ова е следниов:

 (П1) Секои две различни точки лежат на единствена права.
 (P2) Секои две различни прави се сечат во единствена точка.
 (П3) Постојат најмалку четири точки од кои нема три колинеарни.

Во книгата „Вовед во геометрија“ од Коксетер е даден список од пет аксиоми за порестриктивен концепт на проективна рамнина припишана на Бахман, и на листата од аксиоми погоре им е додадена теоремата на Пап (која ги елиминира не-Дезарговите рамнини), а исто така се исклучуваат проективните рамнини над полињата со карактеристика 2 (оние кои не ја задоволуваат аксиомата на Фано). Ограничените рамнини дадени на овој начин повеќе наликуваат на реалната проективна рамнина .

 Перспективност и проективност 
Ако се дадени три неколинеарни точки, постојат три прави кои ги поврзуваат. Но, за четири точки меѓу кои нема три колинеарни, има шест прави кои ги поврзуваат и се добиваат три дополнителни „диагонални точки“ определени со пресеците на тие шест прави. Науката за проективна геометрија го доловува овој вишок определен од четири точки преку кватернарна (четворна) релација и проективностите кои ја зачувуваат конфигурацијата на комплетен четириаголник .

Хармонична четворка точки на права се јавува кога има комплетен четириаголник чии две диагонални точки се на првата и на третата позиција на четворката, а другите две позиции се точки на правите кои ги поврзуваат две точки од четириаголникот со третата диагонална точка.

Просторната перспективност на проективна конфигурација во една рамнина дава таква конфигурација во друга рамнина, и тоа се однесува на конфигурацијата на комплетниот четириаголник. Така, хармоничните четворки се запазуваат при перспективност. Ако се земе композиција две перспективности, конфигурациите се запазуваат. Но, составот на две перспективности повеќе не е перспективност, туку проективност .

Иако правите низ соодветните точки при перспективност се сечат во точка, ова не е точно за проективност која не е перспективност. Во проективната геометрија од особен интерес е пресекот на прави определени од соодветните точки при проективност во рамнината. Множеството од таквите пресеци се нарекува проективна коника, а како признание за работата на Јакоб Штајнер, се нарекува Штајнерова коника .

Да претпоставиме дека проективноста е формирана од две перспективности со центри во точките A и B, кои ги поврзуваат x со X со посредство на p :



Тогаш проективноста е  Потоа, со оглед на проективноста  индуцираната коника е



За дадена коника C и точка P која не е на неа, две различни секанти низ P ја сечат C во четири точки. Овие четири точки одредуваат четириаголник за кој P е диагонална точка. Правата низ другите две диагонални точки се нарекува полара на P, а P е пол на оваа права. Алтернативно, полара на P е множеството од проективни хармонични конјугати на P на променлива секанта која минува низ P и C.

 Поврзано 

Проективна права
Проективна рамнина
Инциденца
Основна теорема на проективната геометрија
Теорема на Дезарг
Теорема на Пап за шестаголник
Теорема на Паскал
Проективна права над прстен
Џозеф Ведербрн
Алгебра на Грасман-Кејли

 Наводи 

 Надворешни врски 
























 Santaló, Luis (1966) Geometría proyectiva, Editorial Universitaria de Buenos Aires

 Надворешни врски 

 Проективна геометрија за машинска визија — туторијал од Џо Мунди и Ендрју Зисерман.
 Белешки засновани на Реалната проектна рамнина на Коксетер.
 Проективна геометрија за анализа на слики — бесплатен туторијал од Роџер Мор и Бил Тригс.
 Проективна геометрија. — бесплатен туторијал од Том Дејвис.
 Грасмановиот метод во проективната геометрија Компилација од три белешки од Чезаре Бурали-Форти за примената на надворешната алгебра во проективната геометрија
 Ц. Бурали-Форти, „Вовед во диференцијалната геометрија, по методот на Х. Грасман“ (англиски превод на книгата)
 Е. Кумер, „Општа теорија на системи со праволиниски зраци“ (англиски превод)
 М. Паш, „За фокалните површини на системите со зраци и површините на сингуларноста на комплексите“ (англиски превод)

Категорија:Геометрија
Категорија:Проективна геометрија