Точни тригонометриски вредности

Во математиката, вредностите на тригонометриските функции можат да се изразат приближно, како во , или точно, како во . Додека тригонометриските таблици содржат многу приближни вредности, точните вредности за одредени агли може да се изразат со комбинација на аритметички операции и квадратни корени.

 Вообичаени агли 
Тригонометриските функции на аглите кои се множители на 15°, 18° или 22,5° имаат едноставни алгебарски вредности. Овие вредности се наведени во следната табела за агли од 0° до 90°. За агли вон овој опсег, тригонометриските вредности може да се најдат со примена на еднаквостите на рефлексија и поместување. Во табелата подолу,  значи сооднос 1:0. Овие вредности може да се сметаат и за недефинирани (види делење со нула).

{| class="wikitable" style="text-align: center;"
!Радијани!!Степени!!!!!!!!!!!!
|-
!!! 
|||||||||||
|-
! !! 
||| || || || || 
|-
! !! 
|||
||||||||
|-
! || 
| || || || || || 
|-
! !! 
||| || || || || 
|-
! !! 
|||||||||||
|-
! !! 
||| || || || || 
|-
! !! 
|||||||||||
|-
! !! 
||| || || || || 
|-
! || 
| || || || || || 
|-
! !! 
|||||||||||
|-
! !! 
||| || || || || 
|-
! !! 
||| |||||||| 
|}

 Изразување со квадратни корени 
Некои точни тригонометриски вредности, како на пример , може да се изрази во смисла на комбинација од аритметички операции и квадратни корени. Таквите броеви се нарекуваат конструктибилни, бидејќи една должина може да се конструира со шестар и линијар од друга, ако и само ако односот помеѓу двете должини е таков број. Сепак, некои тригонометриски вредности, како на пример , докажано е дека не се конструктибилни.

Синусот и косинусот на агол се конструктибилни ако и само ако аголот е конструктибилен. Ако аголот е рационален множител на π радијани, дали е конструктибилен или не, може да се одреди на следниов начин. Аголот нека биде  радијани, каде што a и b се заемно прости цели броеви. Тогаш аголот е конструктибилен ако и само ако првичната факторизација на именителот, b, се состои од кој било број на прости Фермаови броеви, секој со експонент 1, помножено со кој било степен на двојка. На пример,  и  се конструктибилни бидејќи се еквивалентни на  и  радијани соодветно. 12 е производ од 3 и 4, а 3 е прост Фермаов број и 4=2*2 е производ на прост Фермаов број и степен на двојка, а 15 е производ на Фермаовите прости броеви 3 и 5. Од друга страна,  не е конструктибилен затоа што одговара на именителот 9 = 32, а простиот број на Ферма не може да се подигне на степен поголем од еден. Друг пример,  не е конструктибилен, бидејќи именителот 7 не е прост Фермаов број.

 Изведување на конструктибилни вредности 
Вредностите на тригонометриските броеви може да се изведат преку комбинација на методи. Вредностите на синус и косинус од 30, 45 и 60 степени се добиени со анализа на триаголниците 30-60-90 и 90-45-45. Ако аголот е изразен во радијани како , ова го опфаќа случајот кога a е 1, а b е 2, 3, 4 или 6.

 Формула со половина агол 
Ако именителот, b, се помножи со дополнителни множители на 2, синусот и косинусот може да се изведат со формулите за половина агол. На пример, 22,5° (π /8 rad) е половина од 45°, така што неговиот синус и косинус се:




Повторената примена на формулата за половина агол на косинус доведува до вгнездени квадратни корени кои продолжуваат во шема каде што секоја примена додава  на броителот и именителот е 2. На пример:




 Синус од 18° 
Случаите кога именителот, b, е 5 пати поголем од степенот 2, може да започнат од следното изведување на , со оглед дека  радијани. Изведувањето ги користи формулите за повеќекратни агли за синус и косинус. Со формулата за двоен агол за синус:



Според формулата за троен агол за косинус:



Бидејќи sin(36°) = cos(54°), ги изедначуваме овие два изрази и го поништуваме факторот cos(18°):



Оваа квадратна равенка има само еден позитивен корен:



 Користење на други еднаквости 
Синусите и косинусите на многу други агли може да се изведат користејќи ги резултатите опишани погоре и комбинација од формулите за повеќекратни агли и формулите за збир и разлика. На пример, за случајот кога b е 15 пати поголема од степенот 2, бидејќи , неговиот косинус може да се изведе со формулата за разлика од косинус:

 Именител 17 
Бидејќи 17 е прост Фермаов број, правилен 17-аголник е конструктибилен, што значи дека синусите и косинусите на аглите како што се  радијани може да се изразат со квадратни корени. Конкретно, во 1796 година, Карл Фридрих Гаус покажал дека:Arthur Jones, Sidney A. Morris, Kenneth R. Pearson, Abstract Algebra and Famous Impossibilities, Springer, 1991, , p. 178. Callagy, James J. "The central angle of the regular 17-gon", Mathematical Gazette 67, December 1983, 290–292.



Оттука може да се изведат синусите и косинусите на другите конструктибилни агли со именител делив со 17.

 Корени од единица 
Ирационален број што може да се изрази како синус или косинус на рационален повеќекратник на π радијани се нарекува тригонометриски број. Бидејќи  случајот на синус може да се изостави од оваа дефиниција. Затоа секој тригонометриски број може да се запише како , каде k и n се цели броеви. Овој број може да се замисли како реален дел од комплексниот број . Формулата на Де Моавр покажува дека броевите од овој облик се корени на единицата:



Бидејќи коренот на единицата е корен од полиномот x n − 1, тој е алгебарски. Бидејќи тригонометрискиот број е просекот на коренот на единицата и неговиот комплексен конјугат, а алгебарските броеви се затворени со аритметички операции, секој тригонометриски број е алгебарски.

Реалниот дел од кој било корен на единица  е тригонометриски, освен ако не е рационален. Според Нивеновата теорема, единствените рационални броеви кои можат да се изразат како реален дел од коренот на единица се 0, 1, −1, 1/2 и −1/2.

 Проширена табела со точни вредности: до 360 степени 
+ Exact values of common anglesРадијанСтепен

 Поврзано 
 Список на тригонометриски еднаквости

 Наводи 

 Библиографија 









Категорија:Тригонометрија
Категорија:Ирационални броеви