Изводи на тригонометриски функции

Функција Извод                        
Вадење извод на тригонометриски функции — математички процес на пронаоѓање на изводот на тригонометриската функција, или нејзината брзина на промена во однос на променливата. На пример, изводот на синусната функција се запишува sin′(a) = cos(a), што значи дека брзината на промена на sin(x) за одреден агол x = a е дадена со косинус на тој агол.

Сите изводи на кружни тригонометриски функции може да се најдат од оние на sin(x) и cos(x) со помош на правилото за количник што се применува на функции како што се tan(x) = sin(x)/cos(x). Знаејќи ги овие изводи, изводите на инверзните тригонометриски функции се пронајдени со помош на имплицитна диференцијација .

 Докази за изводи на тригонометриски функции 

 Лимес на sin(θ)/θ кога θ се стреми кон 0 
мини|
Дијаграмот десно покажува кружница со центар O и полупречник r = 1. Нека двата полупречници OA и OB прават лак од θ радијани. Бидејќи ја разгледуваме границата кога θ се стреми кон нула, може да претпоставиме дека θ е мал позитивен број, да речеме 0 < θ < ½ π во првиот квадрант.

На дијаграмот, нека R1 е триаголникот OAB, R2 кружниот исечок OAB, и R3 триаголникот OAC . Плоштината на триаголникот OAB е:



Плоштината на кружниот исечок OAB е , додека плоштината на триаголникот OAC е дадена со:



Бидејќи секој дел е содржан во следниот, се добива:



Покрај тоа, бидејќи  во првиот квадрант, можеме да го поделиме со ½ , со што се добива:



Во последниот чекор ги ги зедовме реципрочните вредности на трите позитивни члена, со што ги свртивме нееднаквостите.

Заклучуваме дека за 0 < θ < ½ π, количината  е секогаш помала од 1 и секогаш поголема од cos(θ). Така, како што θ се приближува до 0,  се „стиска“ помеѓу горна граница 1 и долна граница , која расте кон 1; оттука sin(θ)/ θ мора да се стреми кон 1 како што θ се стреми кон 0 од позитивната страна:За случајот кога θ е мал негативен број –½ π < θ < 0, го користиме фактот дека синусот е непарна функција :



 Лимес од (cos(θ)-1)/θ кога θ се стреми кон 0 
Последниот дел ни овозможува релативно лесно да го пресметаме овој лимес. Ова се прави со користење на едноставен трик. Во оваа пресметка, знакот θ е неважен.



Користејќи  фактот дека лимес на производ е производ на лимесите и добиениот лимес од претходниот дел, добиваме дека:



 Лимес на tan(θ)/θ кога θ се стреми кон 0 
Користејќи го лимесот за синусната функција, фактот дека функцијата тангенс е непарна и фактот дека лимес на производ е производ на лимеси, наоѓаме:



 Извод на синусна функција 
Го пресметуваме изводот на синусната функција од дефиницијата на лимес:



Користејќи ја формулата за збир на агли , имаме:



Со користење на лимес за синусните и косинусните функции:



 Извод на косинусна функција 

 Од дефиницијата за извод 
Повторно го пресметуваме изводот на косинусната функција од дефиницијата за лимес:



Користејќи ја формулата за збир на агли , имаме:



Со користење на лимесите за синусните и косинусните функции, добиваме:



 Од правилото за извод на сложена функција
За да се пресмета изводот на косинусната функција од правилото за извод на сложена функција, прво се земаат следните три факти:





Првиот и вториот се тригонометриски идентитети, а третиот е докажан погоре. Користејќи ги овие три факти, можеме да го напишеме следново:



Можеме ова да го диференцираме користејќи го правилото за извод од сложена функција . Ако , имаме:

  .

Значи, докажавме дека

  .

 Извод од функцијата тангенс 

 Од дефиницијата за извод 
За да го пресметаме изводот на функцијата тангенс tan θ, ги користиме првите принципи . По дефиниција:



Користејќи ја добро познатата формула за збир на агли , имаме:



Користејќи го фактот дека лимес на производ е производ на лимеси:



Користејќи го лимесот на функцијата тангенс и фактот дека tan δ се стреми кон 0 како што δ се стреми кон 0:



Веднаш гледаме дека:



 Од правилото за количник 
Може да се пресмета изводот на функцијата тангенс користејќи го правилото за извод на количник .



Броителот може да се поедностави на 1 со Питагоровиот идентитет, и се добива:



Значи,



 Докази за изводи на инверзни тригонометриски функции 
Следниве изводи се наоѓаат со поставување на променлива y еднаква на инверзната тригонометриска функција од која сакаме да извадиме извод. Користејќи имплицитна диференцијација и потоа решавање по dy/dx, изводот на инверзната функција се наоѓа во однос на y. За да го претвориме dy/dx назад да биде во однос на x, можеме да нацртаме референтен триаголник на единечниот круг, оставајќи θ да биде y. Користејќи ја Питагоровата теорема и дефиницијата на правилните тригонометриски функции, конечно можеме да го изразиме dy/dx во однос на x.

 Диференцирање на инверзна синусна функција 
Нека



Каде



Потоа



Диференцирајќи во однос на  на двете страни и решавање по dy/dx:





Заменувајќи  во погорниот израз, добиваме:



Со замена  ,





 Диференцирање на инверзна косинусна функција 
Нека



Каде



Потоа



Диференцирајќи во однос на  на двете страни и решавање по dy/dx:





Со замена  , добиваме



Со замена , добиваме





Алтернативно, еднаш добиен изводот на , изводот на  веднаш следи со диференцирање на идентитетот  така што  .

 Диференцирање на инверзна тангенсна функција 
Нека



Каде



Потоа



Диференцирајќи во однос на  на двете страни и со решавање по dy/dx:



Левата страна:

  користејќи го Питагоровиот идентитет

Десната страна:



Следува,



Со замена , добиваме





 Диференцирање на инверзна котангенсна функција 
Нека



каде  . Потоа



Диференцирајќи во однос на  на двете страни и решавање по dy/dx:



Левата страна:

  користејќи го Питагоровиот идентитет

Десната страна:



Следува,



Со замена  ,





 Диференцирање на инверзна секансна функција 

 Со користење на имплицитно диференцирање 
Нека



Потоа





(Апсолутната вредност во изразот е неопходна бидејќи производот на секанс и тангенс во интервалот на y е секогаш ненегативен, додека радикалот  е секогаш ненегативен по дефиниција на главниот квадратен корен, така што и преостанатиот фактор мора да биде ненегативен, што се постигнува со користење на апсолутната вредност на x.)



 Со користење на правилото на извод на сложена функција 
Алтернативно, изводот на аркуссекансот може да се изведе од изводот на аркуссинус користејќи го правилото за извод на сложена функција.

Нека



Каде

  и 

Потоа, со примена на правилото за извод на сложена функција на  :



 Диференцирање на инверзна косекансна функција 

 Со користење на имплицитно диференцирање 
Нека



Потоа





(Апсолутната вредност во изразот е неопходна бидејќи производот на косеканс и котангенс во интервалот од y е секогаш ненегативен, додека радикалот  е секогаш ненегативен по дефиниција на квадратен корен, така што и преостанатиот фактор мора да биде ненегативен, што се постигнува со користење на апсолутната вредност на x.)



 Со користење на правилото за извод на сложена функција 
Алтернативно, извод на аркускосеканс може да се изведе од изводот на аркуссинус користејќи го правилото на извод на сложена функција.

Нека



Каде

  и 

Потоа, со примена на правилото за извод на сложена функција на :



 Поврзано 
 Калкулус
 Извод
 Список на интеграли од инверзни тригонометриски функции
 Список на тригонометриски идентитети
 Таблица на изводи
 Тригонометрија

 Библиографија 
 Handbook of Mathematical Functions, Edited by Abramowitz and Stegun, National Bureau of Standards, Applied Mathematics Series, 55 (1964)

Категорија:Математички идентитети
Категорија:Диференцијални равенки
Категорија:Диференцијално сметање