Бернулиева распределба

Бернулиева распределба во теоријата на веројатноста и статистиката — прекинатата веројатносна распределба на една случајна променлива која ја има вредноста 1 со веројатност  и вредноста 0 со веројатност . Понеформално, таа е модел за множество можни исходи од секој можен опит опит кој поставува прашање „да–не“. Ваквите прашања водат до исходи со една од две вредности: „успех“ (1) со веројатност p и „неуспех“ (0) со веројатност q. Со оваа распределба може да се претстави фрлање паричка каде 1 и 0 би биле „глава“ и „писмо“, а p би била веројатноста да се падне глава (или обратно, каде 1 е писмо, а p ќе биде веројатноста за писмо). Нечесните парички би имале 

Наречена е по швајцараскиот математичар Јакоб БернулиJames Victor Uspensky: Introduction to Mathematical Probability, McGraw-Hill, New York 1937, стр. 45 и претставува посебен случај на биномната распределба со еден спроведен опит (така што n би бил 1 за таква биномна распределба). Воедно таа претставува посебен случај на двоточкестата распределба, чии можни исходи не мора да бидат 0 и 1.

Својства

Ако  е случајна променлива со оваа распределба, тогаш:

Веројатносната фунција  на оваа распределба низ можните исходи k е

Ова може да се изрази и како

или како

Бернулиевата распределба е посебен случај на биномната распределба со 

Зашиленоста оди до бесконечност за високи и ниски вредности на  но за  двоточкестите распределби (вкл. Бернулиевата) имаат помалку вишок зашиленост отколку било која друга веројатносна распределба, имено −2.

Бернулиевите распределби за  сочинуваат експоненцијално семејство.

Процената на максимална веројатност на  според случаен примерок е примерочната средина.

 Средина 
Очекуваната вредност на една Бернулиева случајна променлива  е

Ова се должи на тоа што, за Бернулиево распределена случајна променлива  со  и  имаме

 Веријанса 
Варијансата на Бернулиево распределен  е

Прво имаме

Од ова следи

Од овој резултат лесно е да се докаже дека, за секоја Бернулиева распределба, нејзината варијанса ќе има вредност во рамките на .

 Накосеност 
Накосеноста (коефициентот на асиметрија) е . Кога ја ќе земеме стандардизираната Бернулиево распределена случајна променлива  излегува дека оваа случајна променлива добива  со веројатност  и добива  со веројатност . Така добиваме

Виши моменти и кумуланти
Сите сирови моменти се еднакви поради тоа што  и . 

Централниот момент со степен  се добива со

Првите шест централни моменти се

Вишите централни моменти може да се изразат покомпактно како  и 

Првите шест кумуланти се

Поврзани распределби
Ако  се независни еднакво распределени случајни променливи, сите Бернулиеви опити со веројатност за успех p, тогаш нивното множество е распределено според биномна распределба со параметри n и p: 
 (биномна распределба).

Бернулиевата распределба едноставно е , и се запишува и како 

 Категоричната распределба е воопштувањето на Бернулиевата распределба за променливи со било кој постојан број на прекинати вредности.
 Бета-распределбата е сврзувачкиот претходник of Бернулиевата распределба.
 Геометриската распределба го моделира бројот на независни и еднакви Бернулиеви опити потребни за да се добие еден успех.
 Ако , тогаш  има Радемахерова распределба.

 Поврзано 
 Бернулиев опит
 Бернулиев процес

 Наводи 

 Надворешни врски 

.

  Интерактивна графика за односите на еднопроменливата распределба.

Категорија:Прекинати распределби