Теорема „пеперутка“

Теоремата „пеперутка“ е класичен резултат во Евклидовата геометрија, кој може да се формулира на следниов начин:Johnson, Roger A., Advanced Euclidean Geometry, Dover Publ., 2007 (orig. 1929).

Нека  е тетива во кружница и  е нејзината средина. Низ  се нацртани други две тетиви -  и . Отсечките  и  ja сечат тетивaтa  во точките  и  соодветно. Точката  е средина на отсечката .

 Доказ 
мини|Доказ на теорема „пеперутка“
Формалниот доказ на теоремата е како што следува:

Нека од точката  се повлечени нормалите  и  кон правите  и  соодветно. Слично, нека  и  се нормали повлечени од точката  кон правите  и  соодветно.

Од сличноста  важи



 Слично, заради  важи



Од равенките (1) и (2) имаме дека



Понатаму, од   имаме



a од   важи



Со множење на (4) и (5) добиваме

Сега, Од (3) и (6) имаме



Од теоремата за тетиви кои се сечат (степен на точка), имаме дека



Бидејќи , имаме



Значи, од (6) и (7), добиваме



Со накрсно множење во последната равенка, добиваме



Со елиминација на заедничкиот член  од двете страни на добиената равенка, се добива



бидејќи ,  и  се сите позитивни реални броеви, важи .

Така,  е средина на  .

Постојат и други докази,Martin Celli, "A Proof of the Butterfly Theorem Using the Similarity Factor of the Two Wings", Forum Geometricorum 16, 2016, 337–338. http://forumgeom.fau.edu/FG2016volume16/FG201641.pdf  вклучувајќи го и оној во кој се користи проективна геометрија. , problem 8.

 Историја 
Докажувањето на теоремата „пеперутка“ било поставено како проблем од Вилијам Уолас во „Математички придружник на господата“ од 1803 г. Во 1804 година биле објавени три решенија, а во 1805 година сер Вилијам Хершел повторно го поставил прашањето во писмо до Уолас. Свештеникот Томас Скур повторно го поставил истото прашање во 1814 година во „Дневникот на господата или математичкото складиште“.William Wallace's 1803 Statement of the Butterfly Theorem, cut-the-knot, retrieved 2015-05-07.

 Наводи 

 Надворешни врски 
 Теоремата „пеперутка“ на cut-the-knot
 Подобра теорема за пеперутки  на cut-the-knot
 Доказ за теоремата „пеперутка“ во PlanetMath
 Теорема „пеперутка“ од Џеј Варендорф, Проект за демонстрации на Волфрам .


Категорија:Планиметрија
Пеперутка