Кејсиева теорема

Кејсиева теорема, позната и како воопштена Птоломеева теорема — теорема во Евклидовата геометрија именувана по ирскиот математичар Џон Кејси .

 Формулација на теоремата 
мини|
Нека  е кружница со радиус . Нека  се  (по тој редослед) четири непресечни кружници кои лежат во внатрешноста на  и ја допираат. Ја означуваме со  должината на надворешната заедничка битангента на кружниците . Важи:



Забележете дека во дегенерираниот случај, каде што сите четири кружници се намалуваат до точки, ова е токму Птоломеевата теорема.

 Доказ 
Следниов доказ му се припишува на Захаријас. Го означуваме радиусот на кружницата со  и допирните точки со кружницата  со . Ќе ги означиме со  центрите на кружниците. Од Питагоровата теорема, важи



Ќе се обидеме да ја изразиме оваа должина преку точките  . Според косинусната теорема во триаголникот  ,



Бидејќи кружниците  и  се тангентни една на друга, важи



Нека  е точка на кружницата . Од синусната теорема во триаголникот :



Затоа,



и заменувајќи ги овие во формулата погоре, добиваме







И конечно, должината која ја бараме е



Сега можеме да ја изразиме левата страна, со помош на изворната Птоломеева теорема применета на впишаниот четириаголник  :



 Понатамошни воопштувања 
Може да се види дека четирите кружници не мора да лежат во внатрешноста на големата кружница. Всушност, тие можат да бидат тангентни на неа и однадвор. Во тој случај треба да се направи следнава промена:

Ако  и двете ја допираат  од иста страна (и двете однатре или и двете однадвор),  е должината на надворешната заедничка тангента.

Ако  се ја допираат   од различни страни (едната однатре, а другата однадвор),  е должината на внатрешната заедничка тангента.

Обратното тврдење на Кејсиевата теорема е исто така точно.Johnson, Roger A. (1929). Modern Geometry. Houghton Mifflin, Boston (republished facsimile by Dover 1960, 2007 as Advanced Euclidean Geometry). Тоа значи дека, ако важи равенство, кружниците се допираат со една иста кружница.

 Примени 
Кејсиевата теорема и нејзината спротивна може да се користат за докажување на различни тврдења во Евклидовата геометрија. На пример, во најкраткиот познат доказ 
 на Фојербаховата теорема се користи обратната теорема.

 Наводи 

 Надворешни врски 

 Shailesh Shirali: "'On a generalized Ptolemy Theorem'". In: Crux Mathematicorum, Vol. 22, No. 2, pp. 49–53

Категорија:Евклидова геометрија
Категорија:Теореми за кружници