Афин простор

Во математиката, афин простор е геометриска структура во која се обопштуваат некои од својствата на Евклидовите простори така што таквите својства да се независни од концептите за растојание и мерка на агол, задржувајќи ги само својствата паралелност и односот на должините на паралелни отсечки.

Во афин простор не постои посебна точка која служи како координатен почеток. Оттука, ниту еден вектор нема фиксен почеток и на ниту еден вектор не може уникатно да му се придружи една точка. Во афиниот простор, наместо тоа, постојат вектори на поместување, наречени и вектори на транслација или едноставно транслации, помеѓу две точки од просторот.The word translation is generally preferred to displacement vector, which may be confusing, as displacements include also rotations. Така, има смисла да се одземаат две точки од просторот при што се добива вектор на поместување (вектор на транслација), но нема смисла да се собираат две точки од просторот. Исто така, има смисла да се додаде вектор на поместување на точка од афин простор што резултира со нова точка преместена (транслирана) од почетната точка за тој вектор.

Секој векторски простор може да се гледа како афин простор. Ова значи да се заборави  посебната улога која ја игра нултиот вектор. Во овој случај елементите на векторскиот простор може да се гледаат или како точки на афиниот простор или како вектори на поместување или транслации. Кога се смета како точка, нултиот вектор се нарекува координатен почеток. Со додавање на фиксен вектор на елементите на линеарен потпростор на векторски простор се добива афин потпростор. Обично се вели дека овој афин потпростор е добиен со преместување (транслација) (од координатниот почеток) на линеарниот потпростор за дадениот вектор на транслација. Во конечни димензии таков афин потпростор е множеството од решенија на некој нехомоген линеарен систем. Векторите на поместување за тој афин простор се решенијата на соодветниот хомоген линеарен систем, кој е линеарен потпростор. За разлика од нив, линеарните потпростори секогаш го содржат координатниот почеток на векторскиот простор.

Димензијата на афиниот простор се дефинира како димензија на векторскиот простор на неговите транслации. Афин простор со димензија 1 е афина права. Афин простор со димензија 2 е афина рамнина. Афин потпростор со димензија  во афин простор или векторски простор со димензија  е афина хиперрамнина.

 Неформален опис 
десно|мини| Координатни почетоци од гледна точка на Алиса и на Боб. Векторското пресметување од гледна точка на Алиса е означено со црвено, додека она на Боб е означено со сино.
Следната карактеризација може да се разбере полесно од вообичаената формална дефиниција: афин простор е она што останува од векторскиот простор откако сте заборавиле која точка е координатен почеток (почеток) (или, според зборовите на францускиот математичар Марсел Берже: „афиниот простор не е ништо повеќе од векторски простор чиј почеток се обидуваме да го заборавиме, со додавање на транслации на линеарните пресликувања“ ). Замислете дека Алиса знае дека одредена точка е вистинскиот координатен почеток, но Боб верува дека некоја друга точка - наречена  - е координатниот почеток. Треба да се соберат два вектора,  и . Боб црта стрелка од точката  до точката  и друга стрелка од точката  до точката , и го комплетира паралелограмот за да го најде она што Боб мисли дека е , но Алиса мисли (знае) дека тој всушност пресметал

 .

Слично на тоа, Алиса и Боб можат да ја пресметаат која било линеарна комбинација на  и  (или на кое било конечно множество од вектори) и генерално ќе добијат различни одговори. Меѓутоа, ако збирот на коефициентите во линеарната комбинација е 1, тогаш Алиса и Боб ќе дојдат до истиот одговор.

Ако Алиса се премести во положбата

 ,

тогаш Боб слично може да се премести во положбата

 .

Под овој услов, за сите коефициенти , па Алиса и Боб опишуваат иста точка со иста линеарна комбинација и покрај тоа што користат различни координатни почетоци.

Додека само Алиса ја знае „линеарната структура“, и Алиса и Боб ја знаат „афината структура“ - т.е. вредностите на афините комбинации, дефинирани како линеарни комбинации во кои збирот на коефициентите е 1. Комплет на множество со афина структура се нарекува афин простор.

 Дефиниција 
Афин простор е множество  заедно со векторски простор , и транзитивно и слободно дејство на адитивната група на  врз множеството . Елементите на афиниот простор  се нарекуваат точки. Векторскиот простор  се вели дека е поврзан со афиниот простор, а неговите елементи се нарекуваат вектори, транслации или понекогаш слободни вектори.

Експлицитно, дефиницијата дадена погоре значи дека едно дејство е пресликување, генерално означено како собирање,



кое ги има следниве својства.

 Десна единица:
  каде што  е нултиот вектор во 
 Асоцијативност:

 (тука последниот знак  е собирање во  )
 Слободно и транзитивно дејство:
 За секој  пресликувањето  е бијекција .

Првите две својства се едноставно својствата од дефиницијата на дејство на (десна) група. Третото својство ги карактеризира слободните и преодните дејства. Сурјективноста доаѓа од транзитивноста, а потоа инјективноста следи од тоа што дејството е слободно. Постои четврто својство кое следи од 1, 2 погоре:
Постоење на инјективни транслации
За сите  пресликувањето  е бијекција.

Својството 3 често се користи во следнава еквивалентна форма (5-то својство).
Одземање:
За секои  постои единствен  означен со  т.ш. 
Друг начин да се изрази дефиницијата е дека афиниот простор е главен хомоген простор (торзор) за дејството на адитивната група на векторски простор. Хомогените простори по дефиниција поседуваат група од транзитивни дејства, а за главниот хомоген простор таквото транзитивно дејство по дефиниција е слободно.

 Одземање и аксиоми на Веј 
Својствата на групното дејство овозможуваат да се дефинира одземање за секој даден подреден пар  од точки во , со што се добива вектор од . Овој вектор, означен со  или  се дефинира како единствен вектор во  таков што



Од транзитивноста на дејството следи постоењето, а уникатноста следи од тоа што дејството е слободно.

Ова одземање ги има следниве две својства, наречени Вејлови аксиоми:

 , постои единствена точка  такви што 


Во Евклидовата геометрија, втората Вејлова аксиома вообичаено се нарекува правило на паралелограм .

Афините простори може еквивалентно да се дефинираат како множество од точки , заедно со векторскиот простор , и одземање кое ги задоволува Вејловите аксиоми. Во овој случај, додавањето на вектор на точка е дефинирано од првите Вејлови аксиоми.

 Афини потпростори и паралелизам 
Афин потпростор (исто така наречен, во некои контексти, линеарна сорта, рамност, или над реалните броеви - линеарно многуобразие)  на афин простор  е подмножество од , така што за дадена точка , множеството од вектори  е линеарен потпростор на . Ова својство, кое не зависи од изборот на , имплицира дека  е афин простор, кој го има  како негов асоциран векторски простор.

Афините потпростори на  се подмножества на  од обликот



каде што  е точка од , а  линеарен потпростор на .

Линеарниот потпростор поврзан со афин потпростор често се нарекува негова насока, а за два потпростора кои имаат иста насока се вели дека се паралелни.

Ова ја повлекува следнава генерализација на аксиомата на Плејфер (Playfair): ако е  дадена насока , за која било точка  од  постои еден и само еден афин потпростор со насока , кој минува низ ; тоа е потпросторот .

Секоја транслација  го пресликува секој афин потпростор во паралелен потпростор.

Терминот паралелност се користи и за два афини потпростора така што насоката на едниот е вклучена во насоката на другиот.

 Афино пресликување 
За дадени два афини простора  и  чии поврзани векторски простори се  и , афино пресликување или афин хомоморфизам од  во  е пресликувањето



за кое



е добро дефинирано линеарно пресликување. Да биде  добро дефинирано се мисли  дека од  следува .

Ова имплицира дека, за точка  и вектор , важи



Затоа, бидејќи за кое било дадено  во ,  за единствен ,  е целосно дефинирано со неговата вредност во една точка и поврзаното линеарно пресликување .

 Векторски простори како афини простори 
Секој векторски простор  може да се смета како афин простор над себе. Ова значи дека секој елемент на  може да се смета или како точка или како вектор. Овој афин простор понекогаш се означува  за да се нагласи двојната улога на елементите на . Кога се смета за точка, нултиот вектор најчесто се означува  (или , кога се користат големи букви за точки) и се нарекува почеток.

Ако  е друг афин простор над истиот векторски простор (т.е.  ) изборот на која било точка  во  дефинира единствен афин изоморфизам, кој е идентитетот на  и го пресликува  во  . Со други зборови, изборот на почеток  во  ни овозможува да ги идентификуваме  и  до каноничен изоморфизам. Панданот на ова својство е дека афиниот простор  може да се идентификува со векторскиот простор  во кој „местото на почетокот е заборавено“.

 Врска со Евклидовите простори 

 Дефиниција на Евклидови простори 
Евклидови простори (вклучувајќи ја еднодимензионалната права, дводимензионалната рамнина и тридимензионалниот простор кои вообичаено се изучуваат во елементарната геометрија, како и повеќедимензионални аналози) се афини простори.

Навистина, во повеќето современи дефиниции, Евклидов простор е дефиниран како афин простор, така што поврзаниот векторски простор е  конечнодимензионален реален простор со внатрешен производ , т.е. векторски простор над реалното поле со позитивно-дефинитна квадратна форма . Внатрешниот производ на два вектора  и  е вредноста на симетричната билинеарна форма



Вообичаеното Евклидово растојание помеѓу две точки  и  е



Во постарата дефиниција на Евклидовите простори преку синтетичката геометрија, векторите се дефинирани како класи на еквиваленција на подредени парови точки под еквиполенција (паровите  и  се еквиполентни ако точките  ( по овој редослед) формираат паралелограм ). Едноставно е да се провери дека векторите формираат векторски простор, квадратот на Евклидовото растојание е квадратна форма на векторскиот простор, а двете дефиниции за Евклидовите простори се еквивалентни.

 Афини својства 
Во Евклидовата геометрија, вообичаената фраза „афино својство“ се однесува на својство кое може да се докаже во афините простори, односно може да се докаже без користење на квадратната форма и нејзиниот поврзан внатрешен производ. Со други зборови, афино својство е својство кое не вклучува должини и агли. Типични примери се паралелизмот и дефиниција на тангента. Пример за не-афино својство е дефиницијата за нормалност .

Еквивалентно, афино својство е својство кое е непроменливо при афините трансформации на Евклидовиот простор.

 Афини комбинации и барицентар 
Нека  е збирка од  точки во афин простор, а  се  елементи на основното поле .

Да претпоставиме дека . За кои било две точки  и  важи



Така, оваа сума е независна од изборот на почетокот, а добиениот вектор може да се претстави како



Кога , се добива дефиниција за одземање на точки.

Сега, наместо тоа, да претпоставиме дека елементите на полето ја задоволуваат равенката . За одреден избор на почеток , означете ја со  единствената точка за која



Може да се покаже дека  е независна од изборот на  . Затоа, ако



може да се напише



Поентата  се нарекува барицентар на  за тежини . Се кажува и дека  е афина комбинација на  со коефициенти .

 Примери 

 Кога децата ги наоѓаат одговорите на збировите како  или  со броење десно или лево на бројна права, тие ја третираат бројната права како еднодимензионален афин простор.
 Секое комножество на потпростор  на векторски простор е афин простор над тој потпростор.
 Ако  е матрица и  лежи во просторот определен од нејзините колони, множеството од решенија на равенката  е афин простор над потпросторот на решенија од  .
 Решенијата на нехомогена линеарна диференцијална равенка формираат афин простор над решенијата на соодветната хомогена линеарна равенка.
 Генерализирајќи го сето горенаведено, ако  е линеарно пресликување и  лежи на неговата слика, множеството од решенија  на равенката  е косет на јадрото на , и затоа е афин простор над .
 Просторот на (линеарни) комплементарни потпростори на векторски потпростор  во векторски простор  е афин простор, над . Односно, ако  е кратка точна низа од векторски простори, тогаш просторот на сите разделувања на точната низа природно ја носи структурата на афин простор над  .

 Афин распон и основи 
За секое подмножество  од афиниот простор , постои најмал афин потпростор кој го содржи, наречен афин распон на . Тоа е пресекот на сите афини потпростори кои го содржат , а неговата насока е пресекот на насоките на афините потпростори што го содржат .

Афиниот распон на  е множество од сите (конечни) афини комбинации на точки од , а неговата насока е линеарниот распон на  за  и  во . Ако се избере одредена точка , насоката на афиниот распон на  е исто така линеарниот распон на  за  во .

Се вели, исто така, дека афиниот распон на  е генериран од  и дека  е генерирачко множество од неговиот афин распон.

Се вели дека едно множество од точки  од афин простор е афино независно или, едноставно, независно, ако афиниот распон на кое било строго подмножество на  е строго подмножество на афиниот распон на . Афина база или барицентрична рамка (види , долу) на афин простор е генерирачко множество кое е исто така независно (тоа е минимално генерирачко множество).

Потсетете се дека димензија на афин простор е димензијата на неговиот поврзан векторски простор. База на афиниот простор со конечна димензија  се независните подмножества од  елементи, или, еквивалентно, генерирачките подмножества од  елементи. Еквивалентно,  } е афина база на афин простор ако и само ако  } е линеарна база на поврзаниот векторски простор.

 Координати 
Постојат два силно поврзани типа на координатни системи кои може да се дефинираат на афините простори.

 Барицентрични координати 
Нека  е афин простор со димензија  над полето , и  биде афина база на . Својствата на афина база имплицираат дека за секој  во  има единствена  - торка  на елементи од  такви што



и



 се нарекуваат барицентрични координати на  над афината база  . Ако  се гледаат како тела кои имаат тежини (или маси)  соодветно, тогаш точката  е  барицентарот на , и ова го објаснува потеклото на поимот барицентрични координати.

Барицентричните координати дефинираат афин изоморфизам помеѓу афиниот простор  и афиниот потпростор од  дефиниран со равенката .

За афините простори со бесконечна димензија, се применува истата дефиниција, користејќи само конечни збирови. Ова значи дека за секоја точка, само конечен број на координати не се еднакви на нула.

 Афини координати 
Афина рамка на афин простор се состои од точка, наречена почеток, и линеарна база на поврзаниот векторски простор. Поточно, за афин простор  со поврзан векторски простор , почетокот  припаѓа на , а линеарната основа е основа  на  (за едноставност на ознаките, го разгледуваме само случајот со конечна димензија, додека општиот случај е сличен).

За секоја точка  од , постои единствена низа  на елементи од основното поле така што



или еквивалентно



 се нарекуваат афини координати на  над афината рамка  .

Пример: Во Евклидовата геометрија, Декартовите координати се афини координати во однос на ортонормална рамка, т.е. афина рамка  таква што  е ортонормална база .

 Врска помеѓу барицентрични и афини координати 
Барицентричните координати и афините координати се силно поврзани и може да се сметаат за еквивалентни.

Всушност, ако е дадена барицентричната рамка



веднаш се изведува афината рамка



и ако



се барицентричните координати на точка над барицентричната рамка, тогаш афините координати на истата точка над афината рамка се



Обратно, ако



е афина рамка, тогаш



е барицентрична рамка. Ако



се афините координати на точка над афината рамка, тогаш нејзините барицентрични координати над барицентричната рамка се



Затоа, барицентричните и афините координати се речиси еквивалентни. Во повеќето апликации, се претпочитаат афини координати, бидејќи вклучуваат помалку координати кои се независни. Меѓутоа, во ситуациите каде што важните точки на проучуваниот проблем се независни од афинитет, барицентричните координати може да доведат до поедноставно пресметување, како во следниов пример.

 Пример за триаголник 
Темињата на нерамниот триаголник формираат афина база на Евклидовата рамнина . Барицентричните координати овозможуваат лесно карактеризирање на елементите на триаголникот кои не вклучуваат агли или растојание:

Темињата се точките со барицентрични координати ,  и . Правите на кои се рабовите се точките кои имаат нулта координата. Самите рабови се точките кои имаат нулта координата и две ненегативни координати. Внатрешноста на триаголникот се точките кај кои сите координати се позитивни. Медијаните се точките кои имаат две еднакви координати, а центроид е точката со координати .

 Својства на афините хомоморфизми 

 Слика и влакна 
Нека



е афин хомоморфизам, со



како поврзано линеарно пресликување.

Слика на  е афиниот потпростор  од , кој го има  како поврзан векторски простор. Бидејќи афиниот простор нема нулти елемент, афиниот хомоморфизам нема јадро. Меѓутоа, за која било точка  од , инверзната слика  од  е афин потпростор на , со насока  . Овој афин потпростор се нарекува влакно на  .

 Проекција 
Важен пример е проекцијата паралелна со некоја насока на афин потпростор. Важноста на овој пример лежи во фактот дека Евклидовите простори се афини простори и дека овој вид на проекции е фундаментален во Евклидовата геометрија .

Нека



Ова е афин хомоморфизам чие поврзано линеарно пресликување  се дефинира со



за  и  во .

Сликата на оваа проекција е , а нејзините влакна се потпростори на насоката .

 Количник простор 
Иако јадрата не се дефинирани за афините простори, сепак може да се дефинираат количник-простори (фактор-простори). Ова произлегува од фактот дека „припаѓањето на истото влакно на афиниот хомоморфизам“ е релација за еквиваленција .

Поточно, за даден афин простор  со поврзан векторски простор , нека  е афин потпростор на насоката , и  биде комплементарен потпростор на  во  (ова значи дека секој вектор на  може да се разложи на единствен начин како збир на елемент од  и елемент од  ). За секоја точка  од , нејзината проекција на  паралелна на  е единствената точка  во  таква што



Овој количник е афин простор, кој го има  како сврзан векторски простор.

За секој афин хомоморфизам , сликата е изоморфна на количникот на  во однос јадрото на поврзаното линеарно пресликување. Ова е првата теорема за изоморфизам за афините простори.

 Аксиоми 
Афините простори обично се проучуваат со аналитичка геометрија преку користење на координати, или еквивалентно со векторски простори. Исто така, тие може да се изучуваат со синтетичка геометрија со наведување на аксиоми, иако овој пристап е многу поредок. Постојат неколку различни системи на аксиоми за афиниот простор.

Во  има аксиоматизација на специјалниот случај на aфина геометрија над реалните броеви како подредена геометрија заедно со афина форма на теоремата на Дезарг и аксиома според која во рамнината постои најмногу една права која минува низ дадена точка која не сече дадена права.

Афините рамнини ги задоволуваат следниве аксиоми () во кои две прави се нарекуваат паралелни ако се еднакви или дисјунктни:

 Секои две различни точки лежат на единствена права.
 За дадени точка и права постои единствена права која ја содржи точката и е паралелна со правата
 Постојат три неколинеарни точки.

Како и афините рамнини над полињата (или прстените на делење ), исто така има и многу не-Дезаргови рамнини кои ги задоволуваат овие аксиоми. Во   се дадени аксиоми за афините простори со повисоки димензии.

Чисто аксиоматската афина геометрија е поопшта од афините простори и е обработена во посебна статија .

 Поврзаност со проективни простори 
мини|Афин простор е потпростор на проективен простор, кој пак е количник на векторски простор со еквиваленција (не со линеарен потпростор)
Афините простори се содржани во проективни простори . На пример, афина рамнина може да се добие од која било проективна рамнина со отстранување на една права и сите точки на неа, и обратно која било афина рамнина може да се користи за да се конструира проективна рамнина како затворач со додавање на права на бесконечност чии точки одговараат на класите на еквиваленција на паралелни прави. Слични конструкции можат да се направат во простори со повисока димензија.

Понатаму, трансформациите на проективниот простор кои го зачувуваат афиниот простор (еквивалентно, кои ја оставаат хиперрамнината во бесконечност непроменлива како множество) даваат трансформации на афиниот простор. Обратно, секоја афина линеарна трансформација уникатно може да се прошири до проективна линеарна трансформација, така што афината група е подгрупа на проективната група . На пример, трансформациите на Мебиус (трансформации на комплексната проективна права или Римановата сфера) се афини (трансформации на комплексната рамнина) ако и само ако ја фиксираат точката во бесконечност.

 Афина алгебарска геометрија 
Во алгебарската геометрија, афина сорта (или, поопшто, афино алгебарско множество) се дефинира како подмножество на афин простор кое е множество од заедничките нули на множество од таканаречени полиномни функции над афиниот простор. За дефинирање на полиномна функција над афиниот простор, треба да се избере афина рамка . Тогаш, полиномна функција е функција таква што сликата на која било точка е вредноста на некоја мултиваријатна полиномна функција на координатите на точката. Бидејќи промена на афините координати може да се изрази со линеарни функции (поточно со афини функции) на координатите, оваа дефиниција е независна од некој одреден избор на координати.

Избор на систем на афини координати за афин простор  со димензија  над поле  индуцира афин изоморфизам помеѓу  и афиниот координатен простор . Ова објаснува зошто, за поедноставување, во многу учебници се пишува , и се воведуваат афини алгебарски сорти како заеднички нули на полиномните функции над .

Бидејќи целиот афин простор е множество од заедничките нули на нултиот полином, афините простори се афини алгебарски сорти.

 Прстен од полиномни функции 
Според погорната дефиниција, изборот на афина рамка на афин простор  овозможува да се идентификуваат полиномните функции на  со полиноми од  променливи, i -тата променлива ја претставува функцијата која ја пресликува точка на нејзината i-та координата. Следи дека множеството од полиномни функции над  е k-алгебра, означена со , која е изоморфна на полиномниот прстен  .

При смена на координатите изоморфизмот помеѓу  и  соодветно се менува и притоа индуцира автоморфизам на  кој ја пресликува секоја неопределена во полином од прв степен. Следи дека вкупниот степен дефинира филтрација на  која е независна од изборот на координатите. Вкупниот степен дефинира и степенување, но зависи од изборот на координатите бидејќи промената на афините координати може да пресликува неопределени во нехомогени полиноми .

 Топологија на Зариски 
Афините простори над тополошки полиња, како што се реалните или комплексните броеви, имаат природна топологија . Топологијата на Зариски, која е дефинирана за афините простори над кое било поле, дозволува користење на тополошки методи во секој случај. Топологијата на Зариски е единствена топологија на афин простор чии затворени множества се афини алгебарски множества (тоа се множества од заедничките нули на полиномни функции над афиното множество). Бидејќи, над тополошко поле, полиномните функции се непрекинати, секое затворено множество на Зариски е затворено во однос на вообичаената топологија, ако таква постои. Со други зборови, над тополошко поле топологијата на Зариски е погруба од природната топологија.

Постои природна инјективна функција од афин простор во множеството на прости идеали (т.е. спектарот) од неговиот прстен од полиномни функции. Кога се избрани афините координати, оваа функција ја пресликува точката со координати  во максималниот идеал . Оваа функција е хомеоморфизам (за топологијата на Зариски на афиниот простор и на спектарот на прстенот на полиномните функции) на афиниот простор на сликата на функцијата.

Во алгебарската геометрија особено е важен случајот на алгебарски затворено основно поле бидејќи во овој случај хомеоморфизмот од погоре е пресликувањето помеѓу афиниот простор и множеството од сите максимални идеали на прстенот на функции (ова е Хилбертовиот Nullstellensatz).

Ова е почетната идеја на теоријата на шеми на Гротендик која се состои од разгледување на „точки“, не само точките од афиниот простор туку и од сите основни идеали на спектарот (за проучување на алгебарските сорти). Ова овозможува лепење на алгебарски сорти на сличен начин како што, кај многуобразијата, графиконите се лепат заедно за да се изгради многуобразието.

 Кохомологија 
Како и сите афини сорти, локалните податоци за афиниот простор секогаш може да се прикачат заедно на глобално ниво: кохомологијата на афиниот простор е тривијална. Поточно,  за сите кохерентни снопови F и цели броеви . Ова својство го имаат и сите други афини сорти. Но, исто така, сите слабо кохомолошки групи на афиниот простор се тривијални. Особено, секој сноп на прсви е тривијален. Поопшто, теоремата Квилен-Суслин имплицира дека секој алгебарски векторски пакет над афин простор е тривијален.

 Поврзано 

 Афина обвивка – најмал афин потпростор кој содржи некое множество
 Комплексен афин простор – афин простор над полето од комплексни броеви
 Егзотичен афин простор – реален афин простор од парна димензија што не е изоморфен на комплексен афин простор 
 Простор (математика) – математичко множество на кое е додадена некоја структура

 Литература 











 Наводи 
Категорија:Линеарна алгебра
Категорија:Афина геометрија