Криволиниски интеграл

Криволиниски интеграл — интеграл за кој областа на интеграција е одредена крива, најчесто дефинирана во рамнина или простор. За разлика од обичниот определен интеграл, за чијшто домен на интеграција е земен одреден правоаголен сегмент од просторот, криволинискиот интеграл овозможува пресметување на интеграл во кој доменот на функцијата е претставен со точки на одредена глатка (или дел по дел глатка) крива. Во математиката се дефинирани криволиниски интеграли од прв и втор вид. Во физиката, криволиниски интеграли од втор ред се користат при пресметување на работат извршена од сила по дадена крива.

 Криволиниски интеграл од прв вид 
десно|мини|250x250пкс| Криволиниски интеграл од прв вид
Ако со  ја означиме функцијата чиј интеграл го пресметуваме, а со  ја означиме дадената крива, криволинискиот интеграл од прв вид е означен на следниов начин:

  .

Ако едниот крај на кривата  го означиме со , а нејзиниот друг крај со , криволинискиот интеграл од прв тип се обележува и со:

  .

 Дефиниција 
Нека кривата  е зададена параметарски на интервалот  :

  .

Нека на таак, односно на множеството точки што ја сочинуваат, е дефинирана функцијата .

Можеме да формираме поделба на интервалот  на  делови, со следните ознаки:

  .

Во секој сегмент  можеме да избереме по едно , од кои секое параметарски одредува една точка , каде е . Со  ќе ја означиме должината на кривата на сегментот . Тогаш ја имаме следната ознака:



Јасно е дека за различни поделби на интервалот горенаведениот израз ќе има различни вредности. Нас нè интересира случајот кога  тежи кон нула, т.е. кога поделбата на интервалот  е „бесконечно густа“. На тој начин го воведуваме поимот криволиниски интеграл од прв вид: ако постои некој број , таков што за секого  постои одредено  така што:

  ,

тој број  ќе го наречеме криволиниски интеграл од прв вид на функцијата  на кривата . Се запишува како што е дадено во воведот на текстот. Кривата на интеграција се нарекува и лак на интеграција.

 Особини 
Криволинискиот интеграл од прв вид дели некои од основните својства со обичниот определен интеграл.

  ,
 Ако е точно за секоја домен точка: , тогаш:  ,
  ,
 , ако точката  се наоѓа помеѓу точките  и .

Спротивно на криволинискиот интеграл од втор вид, за кој постои поимот ориентација, за криволинискиот интеграл од прв вид важи следново:

  .

 Пресметување 
Криволинискиот интеграл од прв вид, согласно ознаките во делот „Дефиниција“, се пресметува со следнава формула:Аднађевић и Каделбург 1998, pp. 185. ↓



Условите за користење на оваа формула се  функцијата  да е непрекината и ограничена на кривата  и дека кривата  е глатка и без сингуларни точки. Формулата важи и во случаи кога кривата е глатка дел по дел, а функцијата е непрекината дел по дел.Аднађевић и Каделбург 1998, pp. 186. ↓

 Криволиниски интеграл од втор вид 
десно|мини|250x250пкс| Криволиниски интеграл од втор вид

 Дефиниција 
Нека кривата  е зададена параметарски на интервалот  :

  .

Нека на таа крива, односно на множеството точки што ја сочинуваат, се дефинирани функциите  јас .

Можеме да формираме поделба на интервалот  на  делови, со следните ознаки:

  .

Во секој сегмент  можеме да избереме по едно , од кои секое параметарски одредува по една точка , каде е . Со  ќе ја означиме разликата , и аналогно на тоа  и . Тогаш ги имаме следните ознаки:





Во наредниот текст ќе зборуваме за , имајќи предвид дека аналогните симболи важат и за  и . Јасно е дека за различни поделби на интервалот горенаведениот израз  ќе има различни вредности. Нас нè интересира случајот кога  тежи кон нула, т.е. кога поделбата на интервалот  е „бесконечно густа“. На тој начин, ако постои број , таков што за секое  постои одредено  така што:

  ,

тој број  ќе го наречеме криволиниски интеграл од втор вид на функцијата  на кривата . Се запишува на следниов начин:

 , или само:
  .

Аналогно се дефинираат интегралите и  . Најчесто се посматраат збировите на овие интеграли:

  ,

кои обично се означуваат како:

  . (1)

Ако ја усвоиме ознаката за векторска функција , односно , тогаш ознаката (1) ја нарекуваме (општ) криволиниски интеграл  од втор ред на функцијата .

Во случај кривата  да е затворена т.е. , зборуваме за циркулација и дефинираниот интеграл го обележуваме со:

  ,

иако ова не е задолжително да се најде во литературата, бидејќи понекогаш се смета за излишно.Школа математике Универзитета у Минесоти: Векторска анализа и функције више промјенљивих, Посетено на 9. 4. 2013.

 Особини 
За разлика од криволинискиот интеграл од прв ред, во кој нема поим за ориентација и за кој важи својството:

  ,

кај криволинискиот интеграл од втор ред, важи својството:

  .

Ова својство настанува како последица на дефиницијата на криволинискиот интеграл и фактот дека . На тој начин, не е небитно дали вршиме интеграција во едната или другата насока на кривата, и ова својство на интегралите од втор ред го нарекуваме ориентабилност, односно ориентација на кривата.

 Пресметување 
Формула за пресметување на вредноста на криволиниски интеграл од функцијата од втор ред  (аналогно на , согласно ознаката во пододделот „Дефиниција“ на овој дел) е следна:Аднађевић и Каделбург 1994, pp. 189. ↓



Формулата важи доколку функцијата  е непрекината на кривата , а кривата  е глатка и без сингуларни точки. Таа важи и ако споменатата крива е глатка дел по дел, а функцијата  е непрекината дел по дел.Аднађевић и Каделбург 1994, pp. 190. ↓

Во случај на затворена дводимензионална крива, т.е. криви сместена во рамнина, и под одредени услови, криволинискиот интеграл од втор вид, исто така, може да се пресмета со помош на Гриновата теорема.

 Независност на интеграцијата од патеката 
Јасно е дека во општи случај вредноста на криволинискиот интеграл од втор ред ќе зависи од обликот на кривата на интеграција , т.е. нејзината „патека“. Понекогаш, меѓутоа, тоа не е така и вредноста на интегралот ќе зависи само од почетната и завршната точка, и ќе биде целосно независна од средните точки, т.е. од обликот на кривата. Имено, валидна е следнава теорема која има свои примени во науката и технологијата:Аднађевић и Каделбург 1994, pp. 193. ↓

Следниве искази се еквивалентни:

 За векторска функција  постои функција , таква што е 
 Криволинискиот интеграл  не зависи од траекторијата, туку само од точките  и. Вредноста на интегралот во тој случај ќе биде 
 Циркулација  на произволна затворена патека е еднаква на нула.

 Поврзано 
 Површински интеграл

 Наводи 

 Надворешни врски 
Математика II - Елена Атанасова, Слободанка Георгиевска

Категорија:Комплексна анализа
Категорија:Векторска анализа
Категорија:Интеграли