Гринова теорема

Во математиката, Гриновата теорема го дава односот меѓу криволинискиот интеграл околу проста затворена крива C и двојниот интеграл над областа D ограничена со C. Тоа е специјален дводимензионален случај на поопштата Стоксова теорема, а името го добила по британскиот научник Џорџ Грин.

Нека C е позитивно ориентирана, дел по дел регуларна, проста затворена крива во рамнина и нека Dе област ограничена со кривата C. Ако L и M имаат непрекинати парцијални изводи на отворената област која го содржи D, тогаш

при што интегрирањето оди спротивно од стрелките на часовникот.
Понекогаш се црта крукче на симболот за интеграл () за да се означи дека кривата C е затворена. За позитивна ориентација, на ова крукче може да се нацрта стрелка во спротивна насока од стрелките на часовникот.

 Доказ кога D е проста област 
мини|десно|300п|Ако D е проста област чии граници се состојат од кривите C1, C2, C3, C4, може да се демонстрира Гриновата теорема.
Следи доказ на теоремата за поедноставена област D, област тип I каде C2 и C4 се вертикални линии. Сличен доказ постои кога D е област тип II, каде  C1 и C3 се хоризонтални линии.

Ако може да се покаже дека исказите

и

се точни, тогаш може да се докаже Гриновата теорем во првиот случај.

Област тип I, D на сликата десно, дефинирана со:

каде g1}- и -{g2 се непрекинати функци. Нека се пресмета двојниот интегра од (1):

{|
|-
|
| 
|-
|
|
|}

C може да се запише како унија на четири криви: C1, C2, C3, C4.

Кај C1, се користат параметарските равенки: x = x, y = g1(x), a ≤ x ≤ b. Тогаш

Кај C3, се користат параметерските равенки: x = x, y = g2(x), a ≤ x ≤ b. Тогаш

Интегралот над C3 се негира, бидејќи оди во негативна наоска од b до a, бидејќи C е позитивно ориентирана (во насока спротивна од стрелките на часовникот). На C2 и C4, -{x}- останува константно, што значи дека

Затоа,

{|
|
|
|-
|
|
|}

Со комбинирање на (3) се (4), се добива (1). На сличан начин се добива и (2).

 Поврзано 
 Стоксова теорема
 Криволиниски интеграл

 Надворешни врски 

 Mathworld
 Флеш демонстрација на Гриновата теорема

Категорија:Математички теореми
Категорија:Математичка анализа