Бретшнајдерова формула

Бретшнајдерова формула – формула која во геометријата се користи за одредување на плоштината на четириаголник, и гласи

при што, a, b, c и d се страните на четириаголникот, s е полупериметар на четириаголникот, а  и  се два спротивни агла во четириаголникот.

Бретшнајдеровата формула ја дава плоштината на четириаголник без разлика дали е тој тетивен или не е.

 Доказ 
Ако плоштината на четириаголникот се означи со P, тогаш важи

од каде следува

Според косинусната теорема, важи

бидејќи двете страни на изразот се еднакви на квадратот на должината на дијагоналата BD.

Ако собироците се прегрупираат и двете страни се квадрираат, равенката може да се напише на следниов начин:

Додавајќи ги на двете страни од добиената равенка соодветните страни од горната формула за , се добива

По множење на равенката со 4 и по средување, се добива:

Доколку првиот член на збирот од десната страна се дополни до квадрат на бином, се добива:

Ако потоа разликата на квадрати од десната страна се разложи на множители и ако се примени формулата за половина агол на третиот собирок, се добива:

односно

Претходната еднаквост може да се запише и како:

Земајќи предвид дека попериметарот на четираголник е:

се добива

од што следи Бретшнајдеровата формула.

 Поврзаност со други формули 
Бретшнајдеровата формула е обопштување на Брамагуптината формула за плоштина на тетивен четириаголник, а таа пак е обопштување на Хероновата формула који се користи за пресметување на плоштина на триаголник.

 Надворешни врски 
 Бретшнајдеровата формула на семрежното место wolfram.com

Категорија:Плоштина
Категорија:Теореми за четириаголници