Лоренцов скалар

Во релативистичката теорија на физиката,  Лоренцовиот скалар е израз, формиран од предмети од теоријата, која евалуира на скалар, непроменлив под каква било Лоренцова трансформација. Лоренцовиот скалар е генериран од на пр., скаларен производ на вектори, или од тензорите на теоријата. Додека компонентите на векторите и тензорите се вообичаено променети со Лоренцовите трансформации, Лоренцовиот скалар останува непроменет.

Лоренцовиот скалар не секогаш се смета дека е непроменлив скалар во математичка смисла, но добиената скаларна вредност е непроменлива под било која основна трансформација применета на векторскиот простор, на кој се заснова разгледуваната теорија. Едноставен Лоренцов скалар во Минковскиев простор е растојание во просторот ("должина" од нивната разлика) на два фиксни настани во просторот. Додека "позицијата" -4-вектори на настаните се менуваат помеѓу различните инерцијални рамки, нивното растојание во просторот останува непроменето под соодветната Лоренцова трансформација. Други примери за Лоренцов скалар се "должината" на 4-брзини (види подолу), или Ричиево искривување во точка во просторот од Општата теорија за релативноста,која е контракција на тензорот на Римановата кривина .
Едноставни скалари во специјалната релативност

Должината на положбениот вектор


Во специјалната теорија за релативноста локацијата на честичка во 4-димензионалниот простор е дадена со 

каде  е положбата во 3-димензионалниот простор на честичката,  е брзината во 3-димензионалниот простор и  е брзината на светлината.

"Должината" на векторот е Лоренцов скалар и е даден со

каде  е вистинско време мерено со часовник во остатокот од рамката на честичката и Минковскиевата метрика е дадена со

.

Ова е метрика слична на времето.

Често е употребен алтернативниот потпис на Минковскиевата метрика  во кој знаците на оние се обратни.

.

Ова е метрика слична на просторот.

Во Минковскиевата метрика просторот како интервал  е дефиниран како

.

Ние ја користиме Минковскиевата метрика слична на просторот и во останатиот дел од поглавјето.

Должината на векторот на брзината

рамка|лево|Вектори на брзина во просторот за  честичка со две различни брзини. Во релативноста, забрзувањето е еквивалентно на ротацијата во просторот

Брзината во просторот е дефинирана како

каде

.

Магнитудата на 4-брзина е Лоренцов скалар,

.

Оттука, c е Лоренцов скалар.

Внатрешниот производ на забрзувањето и брзината

4-забрзување го дава

.

4-забрзување е секогаш нормално на 4-брзина

.

Затоа, можеме да го сметаме забрзувањето во просторот  како едноставна ротација на 4-брзина. Внатрешниот производ на забрзувањето и брзината е Лоренцов скалар и е нула. Оваа ротација е едноставно израз на конзервација на енергија:

каде  е енергијата на честичката и  е 3-сила на честичката.
Енергија, останатата маса на честичката, 3-импулс и 3 брзина од 4-импулс

4-импулс на честичката е

каде  е останатата маса на честичката,  е импулс во 3-простор, и

е енергијата на честичката.
Мерење на енергијата на честичката

Да се разгледа втората честичка со 4-брзина  и 3-брзина . Во остатокот од рамката на втората честичка внатрешниот производ   with  е пропорционален на енергијата на првата честичка

каде индексот 1 ја означува првата честичка.

Врската е точна во остатокот од рамката на втората честичка, таа е точна во секоја референтна рамка. , енергијата на првата честичка во рамката на втората честичка е Лоренцов скалар. Затоа,

во било која инерцијална референтна рамка, каде  сè уште е енергијата на првата честичка во рамката на втората честичка.

Мерење на останатата маса на честичката

Во остатокот на рамката на честичката, внатрешниот производ на импулсот е

.

Затоа, останатата маса (m) е Лоренцов скалар. Врската останува точна независно од рамката во која се пресметува внатрешниот производ.
Во многу случаи останатата маса е запишана како  за да се избегне забуна со релативистичката маса, која е 

Мерење на 3-импулс на честичката

Забележи го следново

.

Квадратот на магнитудата на 3-импулсот на честичката, мерена во рамките на втората честичка, е Лоренцов скалар.
Мерење на 3-брзина на честичката

3-брзина, во рамката на втората честичка, може да се конструира од два Лоренцови скалари.

.
Покомплицирани скалари

Скаларите, исто така, може да се конструираат од тензорите и векторите, од контракцијата на тензорите(како ), или комбинации на контракции на тензори и вектори (како ).

 Наводи 

Категорија:Концепти во физиката
Категорија:Минковскиев време-простор
Категорија:Релативност
Категорија:Хендрик Лоренц