Инверзна функција

Во математиката, ако функцијата ƒ пресликува множество A во множество B, тогаш нејзината инверзна функција ƒ−1 е таква да го пресликува множеството B во множеството A и тоа така што сложената функција  го пресликува секој елемент од множеството A во самиот себе. Не секоја функција има своја инверзна, онаа која има се вика инверзибилна.

На пр., ако е дадена функцијата ƒ таква што ја дава должината во милји ако е дадена  должината во метри (ƒ(x) = 1,6 • x), тогаш нејзината инверзна функција g = ƒ−1 ја дава должината во метри ако е позната должината во милји (g(x) = x / 1,6).

 Инверзибилност 
 Бидејќи функцијата мора да го пресликува оригиналот само во една слика, функција која не е инјективна не може да има инверзна.
 Од друга страна, ако опсегот на функцијата не е идентичен на нејзиниот кодомен, тогаш за некои елементи на множеството слики нема да биде дефинирано пресликувањето ƒ−1.

Затоа може да се рече дека функцијата е инверзибилна акко е бијекција.

На пр. функцијата  не е ни инјективна (бидејќи позитивните и негативните броеви имаат иста слика), ни сурјективна (бидејќи е ранг , а не цел кодомен ). Истата функција, но дефинирана како  има инверзна функција . Функцијата  има инверзна, а  нема бидејќи не е инјективна ().

 Особини 
 Симетрија 
Нека id е функција на идентитетот idX = x. Тогаш важи

односно .

 Инверзна функција на сложена функција 
При инверзија на композиција од функции, основните функции го менуваат редоследот:

 Автоинверзија 
Функција на идентитет е инверзна сама на себе:

 Графичко претставување 
Функција и нејзината инверзна функција се симетрични во однос на правата .

 Извод на инверзна функција 
Ако почетната функција е диференцијабилна, тогаш за сите точки во кои  важи следната формула за извод на инверзна функција:

 Обележување 
Важно е да се воочи дека −1 во означувањето на инверзна функција не е ознака за експонент. Всушност  се запишува како ƒ(x)−1.

Во инфинитезималното  сметање ознаката ƒ(n) означува n-ти извод на функцијата:

Во тригонометријата, од историски причини,  а не , но е , а не . Токму за да избегне оваа непрецизност, за инверзни тригонометриски функции се користи ознаката arc, а за реципрочни потполно други имиња ().

 Литература 




 Поврзано 
 Теорија на множества
 Функција
 Список на инверзни функции
 Инјективна функција
 Сурјективна функција
 Бијективна функција

Категорија:Функции и пресликувања
Категорија:Теорија на множества
Категорија:Инверзни функции
Категорија:Унарни операции