Хиперсфера

Хиперсфера или n-сфера – во геометријата генерализација на сфера во Евклидов простор од која било димензија. Еден од наједноставните примери е сфера од n-та димензија или n-сфера, поточно хиперплоштина на Евклидов простор , со општа ознака .

 Дефиниција 

Нека E е Евклидов простор со димензија n + 1, A точка во E, и R реален број строго позитивен. Множеството точки M чие растојание до A е R се нарекува хиперсфера со центар A и полупречник R.

Со дадени афини репери, можно е со транслација, со што воопшто не се менуваат геометриските својства, хиперсферата да се центрира во почетокот, чија равенка ќе биде:
.

На пример :
 за n = 0, хиперсферата се состои од две точки на апсцисата R и –R ;
 за n = 1, хиперсферата е круг ;
 за n = 2, хиперсферата е сфера во вообичаена смисла.

 Својства 
 Зафатнина 
За зафатнина на просторот определен со хиперсфера со димензија n – 1 и полупречник R, што е Евклидова топка од n-та димензија, важи :

,

каде  е гама-функција. 
Конкретно :

   n парни  n непарни     

Во следната табела се дадени вредностите за зафатнина на првите 8 топки со димензија n и полупречник 1:

 n  Зафатнина точна  приближна 1     2     3     4     5     6     7     8    

Зафатнината на една таква топка е максимална за n = 5. За n > 5, зафатнината опаѓа кога n расте и нејзината гранична вредност во бесконечност е нула:

.

Хиперкоцка опишана околу единична хиперсфера има рабови со должина 2 и зафатнина 2n. Односот меѓу зафатнините на топка и впишана хиперкоцка е опѓачка во функција од n.

 Плоштина 
Плоштината на хиперсфера со димензија n-1 и полупречник R може да се определи вадејќи извод во однос на полупречникот R од зафатнината Vn :
.

.

   n парен  n непарен     

Значи плоштината на единичната n-сфера  е:

Следната табела ги дава вредностите за плоштина на првите 7 n-сфери со полупречник 1:

 n  Плоштина на  точна  приближна 1     2     3     4     5     6     7    

Плоштината на единична n-сфера е максимална за n = 6. За n > 6, плоштината опаѓа кога n расте и нејзината гранична вредност во бесконечност е нула :

.

 Поврзано 
 Хиперпирамида
 3-сфера
Хиперкоцка

Категорија:Геометрија
Категорија:Сфера
Категорија:Зборови што ги нема во ТРМЈ